利用导数解决恒成立能成立问题.doc-得力文库

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1、如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流利用导数解决恒成立能成立问题【精品文档】第 13 页利用导数解决恒成立能成立问题一利用导数解决恒成立问题不等式恒成立问题的常规处理方式。（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）(1)恒成立问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上1若在x1，+）上恒成立，则a的取值范围是_2若不等式x44x32a对任意实数x都成立，则实数a的取值范围_3设a0，函数，若对任意的x1，x21，e，都有f（x1）g（x2）成立，则a的取值范围为_4若不等式|ax3lnx|1对

2、任意x（0，1都成立，则实数a取值范围是_15设函数f（x）的定义域为D，令M=k|f（x）k恒成立，xD，N=k|f（x）k恒成立，xD，已知，其中x0，2，若4M，2N，则a的范围是_6f（x）=ax33x（a0）对于x0，1总有f（x）1成立，则a的范围为_7三次函数f（x）=x33bx+3b在1，2内恒为正值，则b的取值范围是_8不等式x33x2+2a0在区间x1，1上恒成立，则实数a的取值范围是_9当x（0，+）时，函数f（x）=ex的图象始终在直线y=kx+1的上方，则实数k的取值范围是_10设函数f（x）=ax33x+1，若对于任意的x1，1都有f（x）0成立，则实数a的值为_1

3、1若关于x的不等式x2+1kx在1，2上恒成立，则实数k的取值范围是_12已知f（x）=ln（x2+1），g（x）=（）xm，若x10，3，x21，2，使得f（x1）g（x2），则实数m的取值范围是（）A，+）B（，C，+）D（，13已知，若对任意的x11，2，总存在x21，2，使得g（x1）=f（x2），则m的取值范围是（）A0，B，0C，D，1二利用导数解决能成立问若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.14已知集合A=xR|2，集合B=aR|已知函数f（x）=1+lnx，x00，使f（x0）0成立，则AB=（）Ax|xBx|

4、x或x=1Cx|x或x=1Dx|x或x115设函数，（p是实数，e为自然对数的底数）（1）若f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；（2）若在1，e上至少存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求p的取值范围16若函数y=f（x），xD同时满足下列条件：（1）在D内的单调函数；（2）存在实数m，n，当定义域为m，n时，值域为m，n则称此函数为D内可等射函数，设（a0且a1），则当f （x）为可等射函数时，a的取值范围是_17存在x0使得不等式x22|xt|成立，则实数t的取值范围是_18存在实数x，使得x24bx+3b0成立，则b的取值范围是_19已知存在实数x使得不等式|x3|x

5、+2|3a1|成立，则实数a的取值范围是_20存在实数a使不等式a2x+1在1，2成立，则a的范围为_21若存在x，使成立，则实数a的取值范围为_22设存在实数，使不等式成立，则实数t的取值范围为_23若存在实数p1，1，使得不等式px2+（p3）x30成立，则实数x的取值范围为_参考答案1若在x1，+）上恒成立，则a的取值范围是（，解：=a1， lnx+a1，在x1，+）上恒成立，y=x+在x1，+）上的最小值不小于a1，令=0，得x=1，或x=1（舍），x1，+）时，0，y=x+在x1，+）上是增函数，当x=1时，y=x+在x1，+）上取最小值=，故，所以a点评：本题考查实数的取值范

6、围的求法，具体涉及到分离变量法、导数性质、等价转化思想等知识点的灵活运用，解题时要关键是在x1，+）上恒成立等价转化为y=x+在x1，+）上的最小值不小于a12若不等式x44x32a对任意实数x都成立，则实数a的取值范围（29，+）解答解：记F（x）=x44x3x44x32a对任意实数x都成立，F（x）在R上的最小值大于2a求导：F（x）=4x312x2=4x2（x3）当x（，3）时，F（x）0，故F（x）在（，3）上是减函数；当x（3，+）时，F（x）0，故F（x）在（3，+）上是增函数当x=3时，函数F（x）有极小值，这个极小值即为函数F（x）在R上的最小值即F（x）min=F（3）=27

7、因此当2a27，即a29时，等式对任意实数x都成立点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值、函数恒成立问题等等知识点，属于中档题3设a0，函数，若对任意的x1，x21，e，都有f（x1）g（x2）成立，则a的取值范围为e2，+）解答解：求导函数，可得g（x）=1，x1，e，g（x）0，g（x）max=g（e）=e1 ，令f（x）=0，a0，x= 当0a1，f（x）在1，e上单调增，f（x）min=f（1）=1+ae1，ae2；当1ae2，f（x）在1，上单调减，f（x）在，e上单调增，f（x）min=f（）=e1 恒成立；当ae2时 f（x）在1，e上单调减，f（x）min=f（e）=e

9、评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导是关键5设函数f（x）的定义域为D，令M=k|f（x）k恒成立，xD，N=k|f（x）k恒成立，xD，已知，其中x0，2，若4M，2N，则a的范围是解解：由题意，x0，2时，令，则g（x）=x2x=x（x1）x0，2，函数在0，1上单调递减，在1，2上单调递增 x=1时，g（x）min=g（0）=0，g（2）= g（x）max= 2a且4a 6f（x）=ax33x（a0）对于x0，1总有f（x）1成立，则a的范围为4，+解答：解：x0，1总有f（x）1成立，即ax33x+10，x0，1恒成立当x=0时，要使不

10、等式恒成立则有a（0，+）当x（0，1时，ax33x+10恒成立，即有：在x（0，1上恒成立，令，必须且只需ag（x）max 由0得，所以函数g（x）在（0，上是增函数，在，1上是减函数，所以=4，即a4点评：本题考查函数的导数，含参数的不等式恒成立为题，方法是转化为利用导数求函数闭区间上的最值问题，考查了分类讨论的数学思想方法7三次函数f（x）=x33bx+3b在1，2内恒为正值，则b的取值范围是：解：方法1：可以看作y1=x3，y2=3b（x1），且y2y1 x3的图象和x2类似，只是在一，三象限，由于1，2，讨论第一象限即可直线y2过（1，0）点，斜率为3b观察可知在1，2范围内，直线

11、y2与y1=x3相切的斜率是3b的最大值对y1求导得相切的斜率3（x2），相切的话3b=3（x2），b的最大值为x2 相切即是有交点，y1=y2 3x2（x1）=x3 x=1.5 则b的最大值为x2=9/4，那么b9/4方法2：f（x）=x33bx+3b f（x）=3x3b b0时，f（x）在R上单调增，只需f（1）=10，显然成立；b0时，令f（x）=0 x=bf（x）在b，+）上单调增，在b，b上单调减；如果b1即b1，只需f（1）=10，显然成立；如果b2即b4，只需f（2）=83b0b8/3，矛盾舍去；如果1b2即1b4，必须f（b）=bb3bb+3b0b（2b3）0 b3/2 b

12、9/4，即：1b9/4 综上：b9/48不等式x33x2+2a0在区间x1，1上恒成立，则实数a的取值范围（2，+）解答：解：原不等式等价于x33x2+2a区间x1，1上恒成立，设函数f（x）=x33x2+2，x1，1 求出导数：f/（x）=3x26x，由f/（x）=0得x=0或2可得在区间（1，0）上f/（x）0，函数为增函数，在区间（0，1）上f/（x）0，函数为减函数，因此函数在闭区间1，1上在x=0处取得极大值f（0）=2，并且这个极大值也是最大值所以实数a29当x（0，+）时，函数f（x）=ex的图象始终在直线y=kx+1的上方，则实数k的取值范围是（，1解答：解：G（x）=f（

13、x）y=exkx+1， G（x）=exk，x（0，+） G（x）单调递增，当x=0时G（x）最小，当x=0时G（x）=1k当G（x）0时G（x）=f（x）y=exkx+1单调递增，在x=0出去最小值0所以1k0 即k（，110设函数f（x）=ax33x+1，若对于任意的x1，1都有f（x）0成立，则实数a的值为4解答：解：由题意，f（x）=3ax23，当a0时3ax230，函数是减函数，f（0）=1，只需f（1）0即可，解得a2，与已知矛盾，当a0时，令f（x）=3ax23=0解得x=，当x时，f（x）0，f（x）为递增函数，当x时，f（x）0，f（x）为递减函数，当x时，f（x）为递增函数所

14、以f（）0，且f（1）0，且f（1）0即可由f（）0，即a3+10，解得a4，由f（1）0，可得a4，由f（1）0解得2a4，综上a=4为所求点评：本题以函数为载体，考查学生解决函数恒成立的能力，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题11若关于x的不等式x2+1kx在1，2上恒成立，则实数k的取值范围是（，2解答：解：关于x的不等式x2+1kx在1，2上恒成立， kx+，在1，2上的最小值是当x=2时的函数值2，k2，12已知f（x）=ln（x2+1），g（x）=（）xm，若x10，3，x21，2，使得f（x1）g（x2），则实数m的取值范围是（）A，+）B（，C，+）D（，解答：解：

15、因为x10，3时，f（x1）0，ln4；x21，2时，g（x2）m，m故只需0mm故选A13已知，若对任意的x11，2，总存在x21，2，使得g（x1）=f（x2），则m的取值范围是（）A0，B，0C，D，1解答：解：根据对于任意x11，2，总存在x21，2，使得g（x1）=f（x2），得到函数g（x）在1，2上值域是f（x）在1，2上值域的子集求导函数可得：f（x）=x21=（x+1）（x1），函数f（x）在1，1）上单调减，在（1，2上单调增f（1）=，f（1）=，f（2）=，f（x）在1，2上值域是，；m0时，函数g（x）在1，2上单调增，g（x）在1，2上值域是m+，2m+m+且2m+

17、（0，+）上有解令h（x）=xxlnx，可得h（x）=1（lnx+1）=lnx，令h（x）=0，可得 x=1再由当0x1 时，h（x）0，当x1 时，h（x）0，可得当x=1时，h（x）=xxlnx 取得最大值为 1要使不等式axxlnx 在（0，+）上有解，只要a小于或等于h（x）的最大值即可即a1 成立，所以集合B=a|a1 所以AB=x|x，或 x=1 故选C点评：本题主要考查集合的表示方法、分式不等式的解法，利用导数判断函数的单调性，根据函数的单调性求函数的值域，两个集合的交集的定义和求法，属于中档题15设函数，（p是实数，e为自然对数的底数）（1）若f（x）在其定义域内为单调函数，求

18、p的取值范围；（2）若在1，e上至少存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求p的取值范围解答：解：（1）f（x）=，要使“f（x）为单调增函数”，转化为“f（x）0恒成立”，即p=恒成立，又，所以当p1时，f（x）在（0，+）为单调增函数同理，要使f（x）为单调减函数，转化为f（x）0恒成立，再转化为p=恒成立，又，所以当p0时，f（x）在（0，+）为单调减函数综上所述，f（x）在（0，+）为单调函数，p的取值范围为p1或p0（2）因g（x）=在1，e上为减函数，所以g（x）2，2e当p0时，由（1）知f（x）在1，e上递减f（x）max=f（1）=02，不合题意当p1时，由（1）知

19、f（x）在1，e上递增，f（1）2，又g（x）在1，e上为减函数，故只需f（x）maxg（x）min，x1，e，即：f（e）=p（e）2lne2p当0p1时，因x0，x1，e所以f（x）=p（x）2lnx（x）2lnxe2lne2不合题意综上，p的取值范围为（，+）点评：本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题16若函数y=f（x），xD同时满足下列条件：（1）在D内的单调函数；（2）存在实数m，n，当定义域为m，n时，值域为m，n则称此函数为D内可等射函数，设

20、（a0且a1），则当f （x）为可等射函数时，a的取值范围是（0，1）（1，2）解答：解：求导函数，可得f（x）=ax0，故函数为单调增函数存在实数m，n，当定义域为m，n时，值域为m，nf（m）=m，f（n）=nm，n是方程的两个根构建函数g（x）=，则函数g（x）=有两个零点，g（x）=ax10a1时，函数的单调增区间为（，0），单调减区间为（0，+）g（0）0，函数有两个零点，故满足题意；a1时，函数的单调减区间为（，0），单调增区间为（0，+）要使函数有两个零点，则g（0）0，a21a2 综上可知，a的取值范围是（0，1）（1，2）点评：本题考查新定义，考查导数知识的运用，考查函数的单

21、调性，考查分类讨论的数学思想，正确理解新定义是关键17存在x0使得不等式x22|xt|成立，则实数t的取值范围是（，2）解答：解：不等式x22|xt|，即|xt|2x2，令y1=|xt|，y1的图象是关于x=t对称的一个V字形图形，其象位于第一、二象限；y2=2x2，是一个开口向下，关于y轴对称，最大值为2的抛物线；要存在x0，使不等式|xt|2x2成立，则y1的图象应该在第二象限和y2的图象有交点，两种临界情况，当t0时，y1的右半部分和y2在第二象限相切： y1的右半部分即y1=xt，联列方程y=xt，y=2x2，只有一个解；即xt=2x2，即x2+xt2=0，=1+4t+8=0，得：t=

22、；此时y1恒大于等于y2，所以t=取不到；所以t0；当t0时，要使y1和y2在第二象限有交点，即y1的左半部分和y2的交点的位于第二象限；无需联列方程，只要y1与y轴的交点小于2即可；y1=tx与y轴的交点为（0，t），所以t2，又因为t0，所以0t2；综上，实数t的取值范围是：t2；故答案为：（，2）点评：本小题主要考查函数图象的应用、二次函数、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题18存在实数x，使得x24bx+3b0成立，则b的取值范围是b或b0解答：解：因为命题：存在实数x，使得x24bx+3b0成立的等价说法是：存在实数x，使得函数y=

23、x24bx+3b的图象在X轴下方，即函数与X轴有两个交点，故对应的=（4b）243b0b0或b故答案为：b0或b点评：本题主要考查二次函数的图象分布以及函数图象与对应方程之间的关系，是对函数知识的考查，属于基础题19已知存在实数x使得不等式|x3|x+2|3a1|成立则实数a的取值范围是解答：解：由题意借助数轴，|x3|x+2|5，5存在实数x使得不等式|x3|x+2|3a1|成立，5|3a1|，解得53a15，即a2 点评：本题考查绝对值不等式，求解本题的关键是正确理解题意，区分存在问题与恒成立问题的区别，本题是一个存在问题，解决的是有的问题，故取|3a1|5，即小于等于左边的最大值即满足题

24、意，本题是一个易错题，主要错误就是出在把存在问题当成恒成立问题求解，因思维错误导致错误20存在实数a使不等式a2x+1在1，2成立，则a的范围为（，4解答：解：由于1x2，11x2，2x+1 4存在实数a使不等式a2x+1在1，2成立，a4故a的范围为（，4，点评：本题主要考查指数型复合函数的性质以及应用，属于中档题21若存在x，使成立，则实数a的取值范围为考点：正弦函数的图象；函数的图象与图象变化501974 解答：解：当0x时，0|sinx|=sinx当x0时，0sinx|=sinx即当x，0|sinx|要使成立，则需即点评：本题主要考查了正弦函数的单调性属基础题22设存在实数，使不

25、等式成立，则实数t的取值范围为t解答：解：考虑关键点x=1处，分为以下两端：x（，1时，x0，lnx0，于是t+xelnx，即 t+x+=x，此时tx（1，3时，x0； lnx0，于是t+xelnx，即 tx+x=，此时t，综上所述，t点评：本题考查不等式的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用23若存在实数p1，1，使得不等式px2+（p3）x30成立，则实数x的取值范围为（3，1）解：解：不等式px2+（p3）x30可以化为：p（x23x）3x30，这是一个关于p的一元一次不等式，函数p（x23x）3x3是关于p的一次函数，一次函数图象是直线，在定义域上单调递增或递减，P1，1时，函数p（x23x）3x3的最小值必定在端点1或1处取到，不等式px2+（p3）x30总成立，只需最小值大于0即可x2+（13）x30，即x2+（13）x30，解得：3x1，则x的取值范围为（3，1）点评：考查学生理解函数恒成立时的条件的能力，以及灵活运用一元二次不等式解法的能力

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