利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题.pdf

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1、利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题1设函数 f(x)(1xx2)ex(e2.718 28是自然对数的底数)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 x0 时，f(x)ax12x2恒成立，求实数 a 的取值范围解：(1)f(x)(2xx2)ex(x2)(x1)ex.当 x1 时，f(x)0；当2x0.所以 f(x)在(，2)，(1，)上单调递减，在(2,1)上单调递增(2)设 F(x)f(x)(ax12x2)，F(0)0，F(x)(2xx2)ex4xa，F(0)2a，当 a2 时，F(x)(2xx2)ex4xa(x2)(x1)ex4x2(x2)(x1)exx2(x2)(x1)ex1，设 h(x

2、)(x1)ex1，h(x)xex0，所以h(x)在0，)上单调递增，h(x)(x1)ex1h(0)0，即 F(x)0 在0，)上恒成立，F(x)在0，)上单调递减，F(x)F(0)0，所以f(x)ax12x2在0，)上恒成立当 a0，而函数 F(x)的图象在(0，)上连续且 x，F(x)逐渐趋近负无穷，必存在正实数x0使得 F(x0)0 且在(0，x0)上 F(x)0，所以 F(x)在(0，x0)上单调递增，此时 F(x)F(0)0，f(x)ax12x2有解，不满足题意综上，a 的取值范围是2，)2设函数 f(x)2ln xmx21.(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)当 f(x)有极值时

3、，若存在 x0，使得 f(x0)m1 成立，求实数 m 的取值范围解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，)，2mx212f(x)2mx，xx当 m0 时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；当 m0 时，令 f(x)0，得 0 x令 f(x)f(x)在0，m，mm，mmm上单调递增，在，上单调递减mm(2)由(1)知，当 f(x)有极值时，m0，且 f(x)在0，mm上单调递增，在，上单mm调递减f(x)maxfm1m2lnm 1ln m，mmm若存在 x0，使得 f(x0)m1 成立，则 f(x)maxm1.即ln mm1，ln mm10)，1g(x)1 0，g(x)在(0，)上单调

4、递增，x且 g(1)0，0m0，g(x)0.当 a1 时，f(x)0，ag(x)0，不满足不等式 f(x)ag(x)；1当 0a1)，令(x)x10，得 x，a当 x 变化时，(x)，(x)的变化情况如下表：x(x)(x)1，1a1a0极大值1，a1(x)maxa(1)0，不满足不等式综上所述，实数 a 的取值范围为1，)4已知函数 f(x)axx2xln a(a0，a1)(1)求函数 f(x)的极小值；(2)若存在 x1，x21,1，使得|f(x1)f(x2)|e1(e 是自然对数的底数)，求实数 a 的取值范围解：(1)f(x)axln a2xln a2x(ax1)ln a.当 a1 时，

5、ln a0，函数 y(ax1)ln a 在 R R 上是增函数，当 0a1 时，ln a1 或 0a0 的解集为(0，)，f(x)0)，a112120，g(a)12 aaa1g(a)a 2ln a 在(0，)上是增函数a而 g(1)0，故当 a1 时，g(a)0，即 f(1)f(1)；当 0a1 时，g(a)0，即 f(1)1 时，f(1)f(0)e1，即 aln ae1.由函数 yaln a 在(1，)上是增函数，解得 ae；1当 0a1 时，f(1)f(0)e1，即 ln ae1，a11由函数 y ln a 在(0,1)上是减函数，解得 0a.ae10，e，)综上可知，所求实数 a 的取值范围为e