随机变量的数字特征ppt课件.ppt

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1、变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 在第二章的讨论知道，离散型随机变量的变化规律由其概在第二章的讨论知道，离散型随机变量的变化规律由其概率分布完全描述，连续型随机变量由其密度函数完全描述。但率分布完全描述，连续型随机变量由其密度函数完全描述。但在实际应用中，概率分布或密度函数的获得通常是困难的。另在实际应用中，概率分布或密度函数的获得通常是困难的。另一方面，在

2、应用中，有时并不需要知道概率分布或密度函数，一方面，在应用中，有时并不需要知道概率分布或密度函数，而只需知道该随机变量的某些特征。而只需知道该随机变量的某些特征。 例如，为了对某市高一学生的某门课的考试成绩作分析，例如，为了对某市高一学生的某门课的考试成绩作分析，一般并不需要所有学生的考试成绩，而只需知道每所学校的平一般并不需要所有学生的考试成绩，而只需知道每所学校的平均成绩，或者各所学校成绩相对于平均成绩的偏离程度，有了均成绩，或者各所学校成绩相对于平均成绩的偏离程度，有了这些指标，就可以作横向和纵向的比较。这里平均成绩就是学这些指标，就可以作横向和纵向的比较。这里平均成绩就是学生成绩这一随

3、机变量的特征。生成绩这一随机变量的特征。 用以刻画随机变量某方面特征的量，称为随机变量的数字特征。用以刻画随机变量某方面特征的量，称为随机变量的数字特征。 常用的数字特征：常用的数字特征：数学期望、方差、矩、众数、中位数、协方数学期望、方差、矩、众数、中位数、协方差、相关系数差、相关系数。变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分随机变量的数学期望随机变量的数学期望例例1 1 某工厂生产一批产品，一等品占某工厂生产一批产品，一等品占50%50%，二等，二等品占品占40%40%，次品占，次品占10%10

4、%。如果生产一件次品，工。如果生产一件次品，工厂要损失厂要损失 1 1元钱，生产一件一等品，工厂获得元钱，生产一件一等品，工厂获得2 2元元钱的利润，生产一件二等品，工厂获得钱的利润，生产一件二等品，工厂获得 1 1 元钱的元钱的利润。假设生产了大量这样的产品，问工厂每件利润。假设生产了大量这样的产品，问工厂每件产品获得的期望利润是多少？产品获得的期望利润是多少？设设X X表示每件产品获得的利润，则它是随机变量，表示每件产品获得的利润，则它是随机变量，其概率分布为其概率分布为2110.50.40.1kXp 解：解：变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电

5、任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分解：解：假设工厂一共生产了假设工厂一共生产了N N件产品，其中一等品件产品，其中一等品 n n1 1件，件，二等品二等品 n n2 2件，次品件，次品 n n3 3件件这这N N 件产品获得的平均利润为件产品获得的平均利润为12321( 1)nnnN 或者写为31221( 1)nnnNNN 312nnnNNNN、 、 分分别别为为件件产产品品中中一一等等品品、二二等等品品、次次品品出出现现的的频频率率变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分而在

6、大量重复试验下当而在大量重复试验下当N N无限增大时，频率的稳无限增大时，频率的稳定值即为概率，因此，每件产品的平均利润将趋定值即为概率，因此，每件产品的平均利润将趋近于近于12321( 1)ppp 2 0.51 0.4( 1) 0.11.3 或者说，如果工厂生产了大量该产品，可期望每或者说，如果工厂生产了大量该产品，可期望每件产品获得件产品获得1.31.3元的利润。元的利润。数值数值1.31.3称为随机变量称为随机变量X X的的数学期望数学期望或或均值均值。变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分

7、 一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望随机变量的数学期望随机变量的数学期望定义定义 设离散型随机变量设离散型随机变量 的概率分布为：的概率分布为：X, 1,2,iiP Xxpi若若 绝对收敛，则称绝对收敛，则称 为随机变量为随机变量 的数学期望或均的数学期望或均值，记为值，记为 ，即，即1iiix pXEX1.iiiEXx p1iiix p 注：注：u 度量了随机变量度量了随机变量 取值的加权平均！取值的加权平均！ u 为权重！为权重！EXX(1,2,)ip i 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接

8、线组成中一个重要组成部分随机变量的数学期望随机变量的数学期望例例 甲乙二人射击，X：甲击中的环数；Y：乙击中的环数。他们命中环数的分布律分别为89100.10.30.6kXp89100.20.50.3kYp试问哪一个人的射击水平较高? ?变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望定义定义 设离散型随机变量设离散型随机变量 的概率分布为：的概率分布为：X, 1,2,iiP Xxpi若若 ，则称，则称 为随机变量为随机变量 的数学期望或均值。的数学

9、期望或均值。1iiix p 1iiix pX离离 散散连连 续续概率概率ip密度函数密度函数( )f x定义定义 设随机变量设随机变量 的密度函数为的密度函数为 , 若若 绝对收绝对收敛，则敛，则X( )f x称称 为随机变量为随机变量 的数学期望或均值，记为的数学期望或均值，记为 X+-( )xf x dx+-( ).EXxf x dx+-( )xf x dx变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分,01( )2,12 .0,otherwisexxf xxx例例3.3 设随机变量设随机变量 的密度

10、函数为的密度函数为X求求 的数学期望的数学期望 。XEX解解 由连续型随机变量数学期望的定义，有由连续型随机变量数学期望的定义，有( )EXxf x dx0120120+(2)0 xdxx xdxxx dxxdx122201+(2)1.x dxxxdx变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望定理定理 设设 为随机变量，为随机变量， 为实函数，为实函数，X( )yg x为求为求 的数学期望，可以不必通过求的数学期望，可以不必通过求 的概率分布（离散

11、）或密度的概率分布（离散）或密度函数（连续），而只需直接利用函数（连续），而只需直接利用 的概率分布或密度函数。的概率分布或密度函数。()Yg XYX,1,2,iiP Xxp i若若 绝对收敛，则绝对收敛，则 存在，且存在，且()E g X（1）设）设 为离散型随机变量，概率分布为为离散型随机变量，概率分布为X1() =( ).iiiE g Xg x p1)(iiipxgX( )f x+-()( ) ( ).E g Xg x f x dx（2）设）设 为连续型随机变量，密度函数为为连续型随机变量，密度函数为 ，若，若 则则 存在，且存在，且()E g Xdxxfxg)()(绝对收敛，绝对收敛，

12、变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分解解 =0 0.1+1 0.6+2 0.3=1.2EX，2222=(01.2)0.1+(1 1.2)0.6+(21.2)0.3=0.36.E XEX22=( )EXx f x dx解解 01222220120+(2)0 xdxxxdxxx dxxdx,01( )2, 12 .0,otherwisexxf xxx 例例3.4 设随机变量设随机变量 的概率分布为的概率分布为X0120.10.60.3P求求2.E XEXX例例3.5 对例对例3.3中的随机变量中的随

13、机变量 ，求，求X2.EX12323017+(2)=.6x dxxx dx变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 四、数学期望的性质四、数学期望的性质（1）若）若 ，则，则 ，特别地，特别地bXabEXa.CEC .aaEXXE（3）（2）.aEXaXE.baEXbaXE（4）变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分随机变量的方差随机变量的方差p 有可能产品的寿命均集中在有可能产品的寿命均集中在9501

14、050小时！小时！p 有可能一半产品的寿命集中在有可能一半产品的寿命集中在700小时，另一半产品的寿命集小时，另一半产品的寿命集 中在中在1300小时！小时！ 对随机变量对随机变量 ，知道了它的数学期望，知道了它的数学期望 ，虽然对该随机变，虽然对该随机变量有了一定的了解，但还不够！量有了一定的了解，但还不够！XEX 例：为评估一批灯泡的质量好坏，从某种途径已知其平均寿例：为评估一批灯泡的质量好坏，从某种途径已知其平均寿命为命为1000小时，即小时，即 ，但不能完全肯定质量的好坏！，但不能完全肯定质量的好坏！1000EX质量稳定！质量稳定！质量相对不稳定！质量相对不稳定！ 有必要找一个量，能够

15、度量随机变量有必要找一个量，能够度量随机变量 相对于相对于 的偏离程度。的偏离程度。XEX变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 什么量，能够度量随机变量什么量，能够度量随机变量 相对于相对于 的偏离程度？的偏离程度？XEX?EXX 不能！不能！EXX 是随机变量是随机变量?)(EXXE不能！不能！. 0)(EXEXEXXE（正负偏差相互抵消）（正负偏差相互抵消）?EXXE不便于计算！不便于计算！2EXXE定义定义 设随机变量设随机变量 的数学期望为的数学期望为 ，则称，则称 为随为随机变量机变量

16、 的方差，记为的方差，记为 ，或，或 ，并称，并称 为为 的标准差。的标准差。 XEX2EXXE)(XD)(XVarXX)(XD变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 方差的计算：方差的计算：2)(EXXXg 考虑到方差实际上为随机变量函数的数学期望：考虑到方差实际上为随机变量函数的数学期望： ，因此，因此X 若若 为离散型随机变量，概率分布为为离散型随机变量，概率分布为 ，则，则 , 2 , 1 ,ixXPpii.)(122iiipEXxEXXEXDX 若若 为连续型随机变量，概率密度函数为为连

17、续型随机变量，概率密度函数为 ，则，则 )(xf.)()(22dxxfEXxEXXEXD 在很多场合，计算方差经常用到如下公式：在很多场合，计算方差经常用到如下公式：.)(22EXXEXD2222)(EXXEXXEEXXEXD222EXEXEXEXE.222222EXXEEXEXXE变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 方差的性质：方差的性质：; 0)(CD （1） （2） );(XDCXD （3） ;2XDCCXDdxxfxXE)(22,01( )2,12 .0,otherwisexxf xx

18、x例例3.6 设随机变量设随机变量 的密度函数为的密度函数为X解解 由例由例3.3的结果，的结果，求求 的方差的方差X).(XD. 1)(XE.670)2(02221210202dxxdxxxxdxxdxx.61)( 22EXXEXD变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例3.7 对任意随机变量对任意随机变量 ，设，设 ，令，令 ，X0)(XD)(XDEXXY求求).(),(YDYE 解解 1( )0.()()XEXE YEE XEXD XD X11( )1.()()()XEXD YDD XEX

19、D XD XD XD X 称称 为为 的标准化的标准化 ，它是一个无量纲的随机变量，将原，它是一个无量纲的随机变量，将原分布中心分布中心 移至原点，且方差为移至原点，且方差为1个单位。个单位。XY()E X变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 证证 例例3.8 对随机变量对随机变量 ，设，设 存在存在 ，令，令 ，证明，证明X()D X2( )l CE XC当当 时，时， 达到最小值，且最小值为达到最小值，且最小值为()CE X( )l C.D X 22( )l CE XCEXEXEXC 222

20、EXEXXEXEXCEXC222EXEXEXEXEXCEEXC2()D XEXC因此当因此当 时，时， 达到最小值，且最小值为达到最小值，且最小值为()CE X( )l C.D X变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分常用分布的数学期望和方差常用分布的数学期望和方差 一、常用离散型分布的数学期望和方差一、常用离散型分布的数学期望和方差 退化分布：退化分布：离散型随机变量离散型随机变量 只取常数只取常数 ，即，即 ，X1P Xcc22()1, ()=0.E XccD XE XEXE cc 2. 0-

21、1分布：分布：离散型随机变量离散型随机变量 的概率分布为的概率分布为X1, 01,P Xp P Xpq 因此因此因此因此()10,E Xpqp 222()10,E Xpqp222()().D XE XEXpppq变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分3. 个点上的均匀分布：个点上的均匀分布：n4. 二项分布：二项分布：, 0,1, ,kkn knP XkC p qkn1, 1,2, .iP Xxinn离散型随机变量离散型随机变量 的概率分布为的概率分布为 XX，即离散型随机变量，即离散型随机变量

22、的概率分布为的概率分布为1211111(),nniiE Xxxxxnnnn因此因此222221211111(),nniiE Xxxxxnnnn22222221111111()()=.nnnniiiiiiiiD XE XEXxxnxxnnn ( , )Xb n p变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分, 0,1, ,kkn knP XkC p qkn.) 1(2222npqnpnppnnEXXEDXknknkknknkknqpknknkqpCkEX00)!( !则则1!(1)!()!nkn kinp

23、 qknk1(1) (1)1(1)!(1)! (1)(1) !nknkinnppqknk1.nnp pqnp2201!(1)!()!nnkkn kkn kniinE XkC p qkp qknk11!(1)(1)!()!(1)!()!nnkn kkn kiinnkp qp qknkknk22(2) (2)2(1)(2)!(2)! (2)(2) !nknkin npnpqnpknk2(1).n npnp变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分5. 几何分布：几何分布：1=1, 1,2,kP X kpp

24、k随机变量随机变量 的概率分布为的概率分布为X112111111.kkkkE Xkpppkpppp1211, 1(1)kkkxxx1122232112211,kkkkppE Xkpppkpppp21311+, 1(1)kkxk xxx2222221().pqD XE XEXppp6. 超几何分布：超几何分布：, 0,1,min,.kn kMN MnNC CP Xkkn MC随机变量随机变量 的概率分布为的概率分布为X变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分, 0,1,min,.kn kMN MnNC

25、 CP Xkkn MC2222()+.D XE XEX2()(), ().(1)MnM NMNnE XnD XNNN（证明略）（证明略）7. 泊松分布：泊松分布：随机变量随机变量 的概率分布为的概率分布为, 0,1,!kP XkekkX101,!(1)!kkkkE Xkeee ekk22011 1!(1)!kkkkE Xkekekk 21(2)!(1)!kkkkeekk21221(2)!(1)!kkkkeekk2 ，变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 二、常用连续型分布的数学期望和方差二、常用

26、连续型分布的数学期望和方差 均匀分布：均匀分布： ,otherwise0,1bxaabxf密度函数为密度函数为ba ,连续型随机变量连续型随机变量 服从区间服从区间 上的均匀分布，上的均匀分布，X01()( )00babE Xxf x dxdxxdxdxba则则211=.22bbaaxabxdxbaba而而2202221()( )00=,3babaabbE Xx f x dxdxxdxdxba从而从而222222()()().3212aabbabbaD XE XEX变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组

27、成部分2. 指数分布：指数分布：连续型随机变量连续型随机变量 服从参数为服从参数为 的指数分布，的指数分布，X ,0, 00, xxexfx密度函数为密度函数为00()( )0 xE Xxf x dxdxxedx则则000011=-0,xxxxxd exeedxe 而而2222000()( )=-2xxxE Xx f x dxxedxx exedx从而从而22222211()().D XE XEX22,变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分3. 正态分布：正态分布： 则数学期望为则数学期望为随机变

28、量随机变量 ， 其密度函数为其密度函数为2,X N 22()21 , ,2xf xex 22()21()( )2xE Xxf x dxxedx221=2yyedy （令（令 ） =xy2222=22yyyedyedy=02 = .2变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 方差为方差为 22()21 , ,2xf xex 2()( )D XxEXf x dx2222222=22yyyy edyd e （令（令 ） =xy2222221=-22yyyeedy22()2212xxedx2.变电站电气主接

29、线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 常用离散型分布的数学期望和方差常用离散型分布的数学期望和方差 分布名称分布名称 概率分布概率分布 数学期望数学期望 方差方差 退化分布退化分布1 cXPc 0-1分布分布qXPpXP0 ,1ppq 个点的个点的均匀分布均匀分布n., 1 ,1ninxXPi0niixn11211221niiniixxnn 二项分布二项分布., 2 , 1 ,1kpqkXPknpnpq 几何分布几何分布., 0 ,niqpCkXPknkknp12pq 超几何分布超几何分布nNknMNkMCC

30、CkXPNMn) 1()(2NNnNMNnM 泊松分布泊松分布, 1 , 0,!kekkXPk变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 常用连续型分布的数学期望和方差常用连续型分布的数学期望和方差 分布名称分布名称 密度函数密度函数 数学期望数学期望 方差方差 均匀分布均匀分布otherwisebxaabxf01)(2ba122ab 指数分布指数分布2 正态分布正态分布000)(xxexfx12122221)(xexf变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任

31、务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分随机变量的矩和切比雪夫不等式随机变量的矩和切比雪夫不等式 一、矩一、矩 矩是数学期望和方差的推广，在数理统计中有重要应用。矩是数学期望和方差的推广，在数理统计中有重要应用。定义：定义：对随机变量对随机变量 ，设，设 为正整数，如果为正整数，如果 存在存在kX()kkE X11, k 即为数学期望即为数学期望 。()E X22, k 即为方差即为方差 。1(), 0D X定义：定义：对随机变量对随机变量 ，设，设 为正整数，如果为正整数，如果 存在，存在，kX()kE X 则称则称 为为 的的 阶阶中心矩中心矩。XkkkE XEX()kE X

32、 （即（即 ），则称），则称 为为 的的 阶阶原点矩原点矩。XkkXE|变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 矩的计算：矩的计算： 则则,1,2,iiP Xxp i（1）若）若 为离散型随机变量，概率分布为为离散型随机变量，概率分布为X1.kkkiiiE Xx p+-( ).kkkE XEXxEXf x dxX( )f x（2）若）若 为连续型随机变量，密度函数为为连续型随机变量，密度函数为 ，则，则1.kkkiiiE XEXxEXp+-( ).kkkE Xx f x dx变电站电气主接线是指变

33、电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 二、切比雪夫不等式二、切比雪夫不等式定理：定理：对随机变量对随机变量 ，设，设 均存在，则对任意均存在，则对任意 ， (), ()E XD XX0 有有2()D XP XEX 或者或者2()1.D XP XEX 切比雪夫不等式切比雪夫不等式n 切比雪夫不等式给出了随机变量对其数学期望绝对偏差的概切比雪夫不等式给出了随机变量对其数学期望绝对偏差的概率的估计。率的估计。n 不等式表明，不等式表明， 越小，事件越小，事件 的概率越小，的概率越小，这表明方差用来刻画随机变量这表明方差用来

34、刻画随机变量 的取值相对于的取值相对于 的偏离程度。的偏离程度。()D XXEXXEX（证明略）（证明略）变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例3.9 设随机变量设随机变量 的数学期望为的数学期望为 ，均方差为，均方差为 ，估计，估计 在在700800的概率。的概率。X750)(XE15)(XDX解解 因为因为 等价于等价于 ，所以，所以50750 X800700 X50750800700XPXP.91. 05015122推论：推论：随机变量随机变量 的方差为的方差为 0，当且仅当存在常数，当且仅当存在常数 ，使得，使得Xa. 1 aXP变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分1!(1)!()!nkn kinp qknkknknkqpknkn1)!()!1(!