随机变量的数字特征.ppt

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1、随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征通常求出随机变量的分布并不是一件容通常求出随机变量的分布并不是一件容易的事易的事,而人们更关心的是用一些数字而人们更关心的是用一些数字来表示随机变量的特点来表示随机变量的特点,这些与随机变这些与随机变量有关的数字量有关的数字,就是随机变量的数字特就是随机变量的数字特征征.最常用的数字特征为数学期望最常用的数字特征为数学期望,方差方差和相关系数和相关系数.2数学期望数学期望数学期望是任何一个随机变量的最重要数学期望是任何一个随机变量的最重要的也被最广泛使用的数学特征的也被最广泛使用的数学特征,英文是英文是expectatio

2、n,另一种叫法为均值另一种叫法为均值(mean or average value)它的实际意义就是平均值它的实际意义就是平均值.但属于一种但属于一种更为严格的平均值更为严格的平均值,和本书后面讲到的和本书后面讲到的统计平均值有一些小差别统计平均值有一些小差别.3首先从一个例子说起首先从一个例子说起假设一个班共假设一个班共20人人,其中其中18岁的有岁的有6人人,19岁的有岁的有10人人,20岁的有岁的有4人人,现任取现任取一人观察其岁数一人观察其岁数,则观察到的岁数则观察到的岁数x x为一随机变量为一随机变量,不难求出不难求出x x的分布率的分布率如下表所示如下表所示.x x181920P6/

3、2010/204/204现在要计算这个班的学生的平均年龄现在要计算这个班的学生的平均年龄有两种计算办法有两种计算办法,第一种办法是将这个第一种办法是将这个班的学生的每个人的年龄加起来班的学生的每个人的年龄加起来,再除再除以这个班的人数以这个班的人数20人人,即即6个个18岁岁,10个个19岁岁,4个个20岁加起来得平均年龄为岁加起来得平均年龄为5第二种办法是统计的办法第二种办法是统计的办法就是通过对随机变量就是通过对随机变量x进行一遍又一遍地重进行一遍又一遍地重复试验复试验,假设这试验一共做了假设这试验一共做了n次次,而获得了而获得了18,19,20这三个年龄的次数分别为这三个年龄的次数分别为

4、n18,n19,n20次次,则将这则将这n次试验所获得的年龄数统统次试验所获得的年龄数统统加起来除以加起来除以n就是统计平均的年龄就是统计平均的年龄6当然当然,统计平均值统计平均值x x与准确计算的平均值与准确计算的平均值Ex x还可能有差距还可能有差距,但是当试验次数趋向于无穷但是当试验次数趋向于无穷时时,统计平均值统计平均值x x就趋近于数学期望就趋近于数学期望Ex x了了.7定义定义 3.1 假设离散型随机变量假设离散型随机变量x x有概率函数有概率函数Px x=xk=pk(k=1,2,.),若级数若级数绝对收敛绝对收敛,则称这级数为则称这级数为x x的数学期望的数学期望,简简称期望或均

5、值称期望或均值,记为记为Ex x,即即8关于数学期望的一个力学上的解释关于数学期望的一个力学上的解释,在坐标在坐标轴上的轴上的x1,x2,.,等点处放置质量为等点处放置质量为p1,p2,.的的质点质点,则数学期望处为整个质点体系的重心则数学期望处为整个质点体系的重心.x1x2x3p1p2p3Ex9例例1 若若x x服从服从0-1分布分布,其概率函数为其概率函数为Px x=k=pk(1-p)1-k(k=0,1),求求Ex x解 Ex=0(1-p)+1p=pxo1pp1-p10例例2 甲乙两名射手在一次射击中得分甲乙两名射手在一次射击中得分(分别分别用用x x,h h表示表示)的分布律如下表所示的

6、分布律如下表所示,试比较甲试比较甲,乙两射手的技术乙两射手的技术.解解 Ex x=1 0.4+2 0.1+3 0.5=2.1 Eh h=1 0.1+2 0.6+3 0.3=2.2这表明这表明,如果进行多次射击如果进行多次射击,他们得分的平他们得分的平均值分别是均值分别是2.1和和2.2,故乙射手较甲射手的故乙射手较甲射手的技术好技术好.x123P0.4 0.1 0.5h123P0.1 0.6 0.311例例3 一批产品中有一一批产品中有一,二二,三等品三等品,等外品及废品等外品及废品5种种,相应的概率分别为相应的概率分别为0.7,0.1,0.1,0.06,及及0.04,若其若其产值分别为产值分

7、别为6元元,5.4元元,5元元4元及元及0元元.求产品的平均求产品的平均产值产值.解解 产品产值产品产值x x是一个随机变量是一个随机变量,其分布如下表其分布如下表:因此,Ex=60.7+5.40.1+50.1+40.06+00.04 =5.48(元)x65.4540P0.70.10.1 0.06 0.0412 现在来讨论连续型随机变量现在来讨论连续型随机变量 假设连续型的随机变量假设连续型的随机变量x x的概率密度为的概率密度为j j(x),现在我们将整个实数轴划分成同样的现在我们将整个实数轴划分成同样的宽度为宽度为d dx的无穷多个小区间的无穷多个小区间,试验的结果试验的结果落在第落在第k

8、个小区间的概率近似为个小区间的概率近似为.xkxk+1xk+2xk-1xk-2j(xk)dxdx13在这种情况下我们计算在这种情况下我们计算x x的数学期望的数学期望,可得可得14定义定义 3.2 设连续型随机变量设连续型随机变量x x有概率密有概率密度度j j(x),若积分若积分15例例4 计算在区间计算在区间a,b上服从均匀分布的上服从均匀分布的随机变量随机变量x x的数学期望的数学期望.解解:依题意依题意,16我们都可以用下面的式子来计算我们都可以用下面的式子来计算x x的函的函数数f(x x)的数学期望的数学期望:因为求因为求f(x x)的分布经常是不容易的的分布经常是不容易的,这两个

9、式子这两个式子无须求无须求f(x x)的分布因此极大地简化了数学期望的的分布因此极大地简化了数学期望的计算计算,在各种论文中被广泛使用在各种论文中被广泛使用.17二元随机变量二元随机变量x x,h h的函数的函数f(x x,h h)的数的数学期望的公式为学期望的公式为:这样也避免了求二元随机变量的函数的分这样也避免了求二元随机变量的函数的分布而直接根据原概率函数或概率密度来求布而直接根据原概率函数或概率密度来求二元随机变量的函数的分布二元随机变量的函数的分布,因此也得到因此也得到广泛的应用广泛的应用.18数学期望的性质数学期望的性质(1)常量的期望就是这个常量本身常量的期望就是这个常量本身,即

10、即E(c)=c.(2)证证 常量常量c可以看作是以概率可以看作是以概率1只取一个只取一个值值c的随机变量的随机变量,所以所以(3)E(c)=c 1=c19(2)随机变量随机变量x x与常量与常量c之和的数学期望等于之和的数学期望等于x x的期望与这个常量的期望与这个常量c的和的和E(x x+c)=Ex x+c证证 令令h h=f(x x)=x x+c,则则20(3)常量常量c与随机变量与随机变量x x的乘积等于这个常量的乘积等于这个常量与此随机变量的期望的乘积与此随机变量的期望的乘积,E(cx x)=cEx x证证 令令h h=f(x x)=cx x,则则21(4)随机变量的线性函数的数学期望

11、等于随机变量的线性函数的数学期望等于这个随机变量期望的同一线性函数这个随机变量期望的同一线性函数,即即E(kx x+c)=kEx x+c证证 E(kx x+c)=E(kx x)+c=kEx x+c22(5)两个随机变量之和的数学期望等于这两两个随机变量之和的数学期望等于这两个随机变量数学期望之和个随机变量数学期望之和.E(x x+h h)=Ex x+Eh h证证 设设f(x x,h h)=x x+h h,则则23这个性质可推广到任意有限个随机变这个性质可推广到任意有限个随机变量的情况量的情况,即对于即对于n2也同样有也同样有E(x x1+x x2+.+x xn)=Ex x1+Ex x2+.+E

12、x xn特别地特别地,n个随机变量的算术平均数仍个随机变量的算术平均数仍是一个随机变量是一个随机变量,其期望值等于这其期望值等于这n个个随机变量期望的算术平均数随机变量期望的算术平均数.24(6)两个相互独立随机变量乘积的数学两个相互独立随机变量乘积的数学期望等于它们数学期望的乘积期望等于它们数学期望的乘积,即即E(xhxh)=Ex x Eh h证证:设设f(x x,h h)=xhxh,则则25例例1 两相互独立的随机变量两相互独立的随机变量x x,h h的分布如的分布如下面两表所示下面两表所示,计算计算E(x x+h h)和和E(xhxh)解解 Ex x=9 0.3+10 0.5+11 0.

13、2=9.9 Eh h=6 0.4+7 0.6=6.6则则E(x x+h h)=Ex x+Eh h=9.9+6.6=16.5且因且因x x与与h h相互独立相互独立,因此因此E(xhxh)=9.9 6.6=65.34例例2 计算上式的计算上式的Eh h2解解 Eh h2=62 0.4+72 0.6=43.8x91011P0.3 0.50.2h67P0.40.626例例3 有一队射手共有一队射手共9人人,技术不相上下技术不相上下,每人射每人射击中靶的概率均为击中靶的概率均为0.8;进行射击进行射击,各自打中靶各自打中靶为止为止,但限制每人最多只打但限制每人最多只打3次次,问大约需为他问大约需为他们

14、准备多少发子弹们准备多少发子弹?解解 设设x xi表示第表示第i名射手所需的子弹数目名射手所需的子弹数目,x x表示表示9名射手所需的子弹数目名射手所需的子弹数目,则则x x=x x1+.+x x9,且且x xi有如下分布律有如下分布律:Ex xi=1.24 Ex x=Ex x1+.+Ex x9=9 1.24=11.16再多准备再多准备10%,则约需为他们准备则约需为他们准备13发子弹发子弹.xi123P0.80.160.0427例例4 某种无线电元件的使用寿命某种无线电元件的使用寿命x x是一个随是一个随机变量机变量,其概率密度为其概率密度为其中其中l l0,求这种元件的使用寿命求这种元件的

15、使用寿命.28例例5 据统计据统计,一位一位40岁的健康岁的健康(一般体检未一般体检未发现病症发现病症)者者,在在5年之内活着或自杀死亡年之内活着或自杀死亡的概率为的概率为p(0pa).b应如何定才能使公司可期望获益应如何定才能使公司可期望获益;若有若有m人参加保险人参加保险,公司可期望从中收益公司可期望从中收益多少多少?29解解 设设x xi表示公司从第表示公司从第i个参加者身上所得个参加者身上所得的收益的收益,则则x xi是一个随机变量是一个随机变量,其分布如下其分布如下:公司期望获益为公司期望获益为Ex xi0,而而Ex xi=ap+(a-b)(1-p)=a-b(1-p)因此因此,aba

16、(1-p)-1.对于对于m个人个人,获益获益x x元元,xiaa-bPp1-p30第第11次课次课:随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量方差随机变量方差协方差和相关系数协方差和相关系数相关与独立的关系相关与独立的关系方差的性质与计算方差的性质与计算习题三（习题三（8，10，12，14，16，18，20，23，24）31先看两个例子设甲,乙两炮射击弹着点与目标的距离分别为x1,x2(为简便起见,假定它们只取离散值),并有如下分布律.则两炮有相同的期望值(Exi=90,i=1,2),但比较两组数据可知乙炮较甲炮准确.弹着点集中.x180859095100P0.20.20.20.20.2x2

17、8587.59092.595P0.20.20.20.20.232图示比较:9090959585858010033可见在实际问题中,仅靠期望值(或平均值)不能完善地说明随机变量的分布特征,还必须研究期离散程度.通常人们关心的是随机变量x对期望值Ex的离散程度.定义定义3.3 如果随机变量如果随机变量x x的数学期望的数学期望Ex x存在存在,称称 x x-Ex x 为随机变量的离差为随机变量的离差.显然显然,随机变量离差的期望是零随机变量离差的期望是零,即即E(x x-Ex x)=0不论正偏差大还是负偏差大不论正偏差大还是负偏差大,同样都是离散同样都是离散程度大程度大,为了消除离差为了消除离差x

18、 x-Ex x的符号的符号,用用(x x-Ex x)2来衡量来衡量x x与与Ex x的偏差的偏差.34定义3.435如果x是离散型随机变量,并且Px=xk=pk(k=1,2,.),则可见随机变量的方差是非负数可见随机变量的方差是非负数,Dx x 0,常量的常量的方差是零方差是零.当当x x的可能值密集在它的期望值的可能值密集在它的期望值Ex x附附近时近时,方差较小方差较小,反之则方差较大反之则方差较大.因此方差的因此方差的大小可以表示随机变量分布的离散程度大小可以表示随机变量分布的离散程度36图示,方差大和方差小的情况方差小方差大j1(x)j2(x)xx37例1 计算参数为p的0-1分布的方

19、差解 根据x的概率函数Px=1=p Px=0=1-p=q则Ex=0q+1p=pDx=(0-p)2q+(1-p)2p=p(pq+q2)=pq(p+q)=pq=p(1-p)Ex=pDx=pq38例2 计算本节开始所举甲乙两炮射击中Dx1,及Dx2解 Ex1=Ex2=90,则Dx1=1020.2+520.2+020.2+520.2+1020.2=50Dx2=520.2+2.520.2+020.2+2.520.2+520.2=12.5x180859095100P0.20.20.20.20.2x28587.59092.595P0.20.20.20.20.239方差的性质(1)常量的方差等于零常量的方差等

20、于零 证证 D(c)=E(c-Ec)2=E(c-c)2=0(2)随机变量与常量之和的方差就等于这个随机随机变量与常量之和的方差就等于这个随机变量的方差本身变量的方差本身 证证 D(x x+c)=Ex x+c-E(x x+c)2=Ex x+c-Ex x-c)2=E(x x-Ex x)2=Dx x(3)常量与随机变量乘积的方差常量与随机变量乘积的方差,等于这常量的平等于这常量的平方与随机变量方差的乘积方与随机变量方差的乘积.证证 D(cx x)=Ecx x-E(cx x)2=Ec(x x-Ex x)2 =Ec2(x x-Ex x)2=c2Dx x 40图示性质cx+c的概率密度x的概率密度x的概率

21、密度cx的概率密度41(4)两个独立随机变量之和的方差,等于这两个随机变量方差的和证 D(x+h)=Ex+h-E(x+h)2 =Ex-Ex+h-Eh2 =E(x-Ex)2+(h-Eh)2+2(x-Ex)(h-Eh)=E(x-Ex)2+E(h-Eh)2+2E(x-Ex)(h-Eh)=Dx+Dh这是因为x与h独立,则x-Ex与h-Eh也独立,因此E(x-Ex)(h-Eh)=E(x-Ex)E(h-Eh)=042性质4可以推广到任意有限个随机变量即,若x1,x2,.,xn相互独立,则有D(x1+x2+.+xn)=Dx1+Dx2+.+Dxn进一步可得:n个相互独立的随机变量的算术平均数的方差等于其方差算

22、术平均数的1/n倍.43(5)任意随机变量的方差等于这个随机变量平方的期望与其期望平方之差,即Dx=Ex2-(Ex)2证 Dx=E(x-Ex)2=Ex2-2xEx+(Ex)2=Ex2-2ExEx+(Ex)2=Ex2-(Ex)2 这个公式很重要这个公式很重要,实际上计算一个随实际上计算一个随机变量的方差用的是这个公式机变量的方差用的是这个公式.44计算Ex2的办法:45例3 计算在区间a,b上服从均匀分布的随机变量x的方差.解 已知x的概率密度为在3.1例4中已算出Ex=(a+b)/246另一种简单的解法是另一种简单的解法是:47例1 两相互独立的随机变量x,h的分布如下面两表所示,计算D(x-

23、h)解 Ex=90.3+100.5+110.2=9.9 Eh=60.4+70.6=6.6Ex2=810.3+1000.5+1210.2=98.5Dx=Ex2-(Ex)2=98.5-98.01=0.49Eh2=620.4+720.6=43.8Dh=Eh2-(Eh)2=43.8-43.56=0.24D(x-h)=Dx+Dh=0.49+0.24=0.73x91011P0.30.50.2h67P0.40.648例5 若连续型随机变量的概率密度是49也即从50求方差的统计学办法求方差的统计学办法即是通过反复地试验求方差的统计学办法即是通过反复地试验来获得方差来获得方差.假设经过了假设经过了n次试验次试验

24、,获得了获得了n个随机变量个随机变量x x的数据的数据a1,a2,.,an,51如果有n个相互独立的随机变量x1,x2,.,xn,它们的方差都相同,为s2,则它们的和x1+x2+.+xn的方差就是Dx1+Dx2+.+Dxn=ns2,因此它们的标准差就是例如例如,假设假设100个同方差的相互独立的随个同方差的相互独立的随机变量相加机变量相加,和的方差是每一个方差的一和的方差是每一个方差的一100倍倍,而标准差只是每一个的标准差的而标准差只是每一个的标准差的10倍倍.52例:假设在会计计数时,每个数都四舍五入到角,则四舍五入的误差是一个随机变量,在-5分到5分之间均匀分布,因此方差为如果算帐时有1

25、0000个数相加,则四舍五入的误差也就相加,而和的标准差是每个数的标准差的100倍,即约28.87角,或2.887元.每个数最大可能误差为5分,则10000个数的最大可能误差为5000角,或者500元,但这种情况几乎不可能发生.53协方差与相关系数54对于两个随机变量x和h 当它们是完全相等的时候当它们是完全相等的时候,联系是最紧联系是最紧密的了密的了.而当它们相互独立的时候而当它们相互独立的时候,联系是联系是最差的了最差的了.因此我们先研究它们的和因此我们先研究它们的和x x+h h的方差的方差:D(x x+h h)=Ex x+h h-E(x x+h h)2=Ex x-Ex x+h h-Eh

26、 h2=E(x x-Ex x)2+(h h-Eh h)2+2(x x-Ex x)(h h-Eh h)=E(x x-Ex x)2+E(h h-Eh h)2+2E(x x-Ex x)(h h-Eh h)=Dx x+Dh h+2E(x x-Ex x)(h h-Eh h)55重新写在这里重新写在这里:D(x x+h h)=Dx x+Dh h+2E(x x-Ex x)(h h-Eh h)关键在后一项关键在后一项2E(x x-Ex x)(h h-Eh h),我们定义我们定义E(x x-Ex x)(h h-Eh h)为为x x和和h h的协方差的协方差,用用cov(x x,h h)表示表示.则则 D(x x

27、+h h)=Dx x+Dh h+2cov(x x,h h)当当x x和和h h相互独立时相互独立时,联系最不紧密联系最不紧密,这时候这时候cov(x x,h h)=0,因此因此D(x x+h h)=Dx x+Dh h而当而当x x=h h时时,联系最紧密联系最紧密,这时候这时候Dx x=Dh h=cov(x x,h h),因此因此D(x x+h h)=D(2x x)=4Dx x56进一步研究cov(x,h)=E(x-Ex)(h-Eh)D(x+h)=Dx+Dh+2cov(x,h)当协方差为0时表示x,h联系最不紧密,但协方差多大表示x,h联系最紧密却是与x及h的方差的大小有关的,为去除这个因素,

28、因此定义57现证明|1令令x x=x x-Ex x,h h=h h-Eh h,则则x x,h h都是期望值为都是期望值为0的随机变量的随机变量.对于任给的实数对于任给的实数t,相信相信E(x x+th h)2 0,即即Ex x2+2tE(x xh h)+t2Eh h2 0,即即二次方程二次方程Ex x2+2tE(x xh h)+t2Eh h2=0最多只有最多只有单个实根或者没有实根单个实根或者没有实根,也就说明判别式也就说明判别式58再考虑当|=1时会是什么情况,这时方程Ex2+2tE(xh)+t2Eh2=0 存在着一个单根,假设这单根为t0,则有Ex2+2t0E(xh)+t02Eh2=0即E

29、(x+t0h)2=0,故存在着实数t0使得x+t0h=0,即x和h的离差是正好成比例的,我们将这种情况称作x与h呈线性关系,因此就有定理(接后页)59定理两个随机变量x和h呈线性关系的充分必要条件,是它们的相关系数的绝对值为1,即|=1而另一方面,如果x与h相互独立,则它们的相关系数必为0,即=0.60协方差的统计对协方差对协方差E(x-Ex)(h-Eh)的统计是这样的统计是这样,先是通先是通过试验获得了过试验获得了x x和和h h的的n对数据对数据(a1,b1),(a2,b2),.,(an,bn)然后令然后令61相关与独立的关系定义定义:称随机变量称随机变量x x与与h h不不相关是指它们的

30、协方相关是指它们的协方差为零差为零,即它们的相关系数为零即它们的相关系数为零:cov(x x,h h)=E(x x-Ex x)(h h-Eh h)=0.此时此时:D(x x+h h)=Dx x+Dh h 前面已经说明前面已经说明:若若x x与与h h相互独立则相互独立则cov(x x,h h)=E(x x-Ex x)(h h-Eh h)=0,故下列命题成立故下列命题成立:相互独立必然不相互独立必然不相关相关.不不相关一定相关一定相互独立相互独立吗吗?62X X of stock of electric utility company of stock of electric utility c

31、ompany Y Y of stock of telephone company of stock of telephone companyUncorrelated!Uncorrelated!P(X=1|Y=1)=1/2,P(X=1)=1/3P(X=1|Y=1)=1/2,P(X=1)=1/3Dependent!Dependent!IndependentIndependent random variables are always random variables are always uncorrelateduncorrelated But But DependentDependent ran

32、dom variables can be random variables can be uncorrelated!uncorrelated!EXAMPLEEXAMPLE63协方差的计算协方差的计算在已知两个随机变量x和h的联合分布的情况下怎样计算它们的协方差cov(x,h)呢,这一点书上并没有明讲.cov(x,h)=E(x-Ex)(h-Eh)=Exh-xEh-hEx+ExEh=E(xh)-ExEh-EhEx+ExEh=E(xh)-ExEh即相乘的均值减去均值的相乘.其中Ex和Eh是通过边缘分布计算的,因此关键是如何计算E(xh).64对于离散型随机变量,假设x,h的概率函数为P(x=xi,h=yj)=pij,(i,j=1,2,.),则对于连续型随机变量,假设x,h的联合概率密度为j(x,y),则65例 假设x,h的联合概率函数如下表所示x h01/31-101/121/301/60025/120066而x与h的边缘分布及数学期望为:x-102P5/121/65/12h01/31P7/121/121/367