四随机变量的数字特征ppt课件.ppt

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1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第一节第一节 数学期望数学期望第二节第二节 方差方差第三节第三节 协方差与相关系数协方差与相关系数第四节第四节 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵第一节第一节 数学期望数学期望上一页上一页下一页下一页返回返回X-打靶得分，打靶得分，“脱靶脱靶”记记0分，分，“中靶中靶未中未中靶心靶心”记记1分，分，“中靶心中靶心”记记2分分X-打靶得分，打靶得分，“脱靶脱靶”记记0分，分，“中靶中靶未中未中 若统计若统计100天天,可以可以得到这得到这100天中每天天中每天的平均废品数为的平均废品数为 引例：引例： 某车间对工人的生产情况进行考察某车间对工人的生产情

2、况进行考察. 车工车工小张每天生产的废品数小张每天生产的废品数X是一个随机变量是一个随机变量. 如何定义如何定义X的平均值呢？的平均值呢？32天没有出废品天没有出废品;30天每天出一件废品天每天出一件废品;17天每天出两件废品天每天出两件废品;21天每天出三件废品天每天出三件废品;27. 1100213100172100301100320这个数能否作为这个数能否作为X的平均值呢？的平均值呢？ 可以想象，若另外统计可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外天一般不会

3、完全相同，这另外100天每天的平均废天每天的平均废品数也不一定是品数也不一定是1.27.n0天没有出废品天没有出废品;n1天每天出一件废品天每天出一件废品;n2天每天出两件废品天每天出两件废品;n3天每天出三件废品天每天出三件废品.nnnnnnnn32103210可以得到可以得到n天中每天的平均废品数为天中每天的平均废品数为 一般来说一般来说,若统计若统计n天天, (假定小张每天至多出假定小张每天至多出三件废品三件废品) 这是这是以频率为权的加权平均以频率为权的加权平均nnnnnnnn32103210由频率和概率的关系由频率和概率的关系 不难想到，在求废品数不难想到，在求废品数X的平均值时，用

4、概率代替的平均值时，用概率代替频率，得平均值为频率，得平均值为32103210pppp这是这是以概率为权的加权平均以概率为权的加权平均 这样得到一个确定的数这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随我们就用这个数作为随机变量机变量X的平均值的平均值 .则对则对X作一系列观察作一系列观察(试验试验)，所得，所得X的试验值的平的试验值的平均值也是随机的均值也是随机的.由此引入离散型由此引入离散型r.vX的数学期望的定义如下的数学期望的定义如下: 1kkkpx 对于一个随机变量对于一个随机变量X，若它可能取的值是，若它可能取的值是x1,x2, , 相应的概率为相应的概率为 p1,p2, , 但是，

5、如果试验次数很大，出现但是，如果试验次数很大，出现xk的频率会接近于的频率会接近于pk，于是可期望试验值的平均值接近于是可期望试验值的平均值接近:1定定义义kkkkkkpxpx 11绝绝对对收收敛敛，则则称称级级数数若若级级数数为随机变量为随机变量X的数学期望，简称期望，记为的数学期望，简称期望，记为E(X)，即，即 kkkpxXE 1)(.21 X ，的的分分布布律律为为设设离离散散型型随随机机变变量量 kpxPXkk dxxxfXEXEXdxxxfdxxfxxfX)()( )()(,)()( ，即即数数学学期期望望，记记为为的的为为则则称称积积分分绝绝对对收收敛敛若若，具具有有概概率率密密

6、度度设设连连续续型型随随机机变变量量 E(X)是一个实数，形式上是是一个实数，形式上是X 的可能值的加权的可能值的加权平均数，实质上它体现了平均数，实质上它体现了X 取值的真正平均。又称取值的真正平均。又称E(X)为为X 的平均值，简称均值。它完全由的平均值，简称均值。它完全由X 的分布的分布所决定，又称为分布的均值所决定，又称为分布的均值.上一页上一页下一页下一页返回返回例例1: 某种产品即将投放市场，根据市场调查估计每件某种产品即将投放市场，根据市场调查估计每件产品有产品有60%的把握按定价售出，的把握按定价售出，20%的把握打折售出的把握打折售出及及20%的可能性低价甩出。上述三种情况下

7、每件产品的可能性低价甩出。上述三种情况下每件产品的利润分别为的利润分别为5元，元，2元和元和-4元。问厂家对每件产品可元。问厂家对每件产品可期望获利多少？期望获利多少？解解: 设设X表示一件产品的利润表示一件产品的利润(单位：元单位：元),X的分布率为的分布率为 X 的数的数学期望学期望:（元）（元）（6 . 22 . 042 . 026 . 05)( XE虽然任一件产品投放市场都有亏损的风险，但每虽然任一件产品投放市场都有亏损的风险，但每件产品的平均利润为件产品的平均利润为2.6元，还是有利可图的。元，还是有利可图的。上一页上一页下一页下一页返回返回例例2: 设随机变量设随机变量X 取值为取

8、值为时，时，, 2 , 1,2)1( kkxkkkkkp21: 对应的概率为对应的概率为试问随机变量试问随机变量X的的数学期望是否存在数学期望是否存在? 1111212)1(kkkkkkkkkkpx由于由于不存在。不存在。故故发散发散级数级数)(,XEkk 11解解: :例例3：设的概率密度为：设的概率密度为：)(,)(XExxexfx求求 000 dxxxfXE)()( 00 xxxdedxxe1000dxedxexexxx解解:例例3： 设设X服从参数为服从参数为p的（的（0-1）分布，求）分布，求E(X)。解：解： X的分布律为的分布律为0p1,q=1-pppqXE 10）（则则常用随机

9、变量的数学期望：常用随机变量的数学期望：上一页上一页下一页下一页返回返回例例4： 设设Xb(n，p)，求，求E(X)。解解 ： X的分布律为的分布律为qqnkqpCkXPknkkn 1.10 ，则：则：knknkknkknknqpknknkqpkCXE 10）！（！）（knknkqpknknnp 1111）！）！（）！（npqpnpqpCnpnknknkkn11111）（上一页上一页下一页下一页返回返回。的泊松分布，求服从参数为设例)(:5XEXeekekekekXEkkekXPXkkkkkkk11001 1)( .10 :）！（）！（！则，！的分布律为解上一页上一页下一页下一页返回返回例例6

10、： 设设XU(a，b)，求，求E(X)。 其其他他的的概概率率密密度度为为解解 01)(:bxaabxfX21)(badxabxXEba 上一页上一页下一页下一页返回返回).()(:72XENX，求，设例dxexXEx22221)(: ）（解解 dtetXEtxt 2221)(）（，得得换换元元， dtedttett2222221上一页上一页下一页下一页返回返回定理定理1: 设设Y是随机变量是随机变量X的函数，即的函数，即Y=g(X),g(x)是是 连续函数。连续函数。.21 )1(，分布律为分布律为是离散型随机变量，且是离散型随机变量，且设设， kpxXPXkkkkkpxgXgEYE 1)(

11、)()(绝对收敛，则有绝对收敛，则有若若kkkpxg 1)()()2(xfX概概率率密密度度是是连连续续型型随随机机变变量量，有有设设绝绝对对收收敛敛，则则有有若若dxxfxg)()( dxxfxgxgEYE)()()()(随机变量函数的数学期望：随机变量函数的数学期望：上一页上一页下一页下一页返回返回推广推广： 设设Z是随机向量（是随机向量（X,Y）的函数，即）的函数，即Z=g(X,Y) （g(x,y)是连续函数）是连续函数）.21 ),()1(，分分布布律律为为是是离离散散型型随随机机向向量量，且且若若， jipyYxXPYXijji时时，有有则则当当， ijjijipyxg11)(ijj

12、ijipyxgYXgEZE 11)(),()(，有有概概率率密密度度为为连连续续型型随随机机向向量量且且具具若若),(),()2(yxfYX 时时，），（），（则则当当dxdyyxfyxg dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(上一页上一页下一页下一页返回返回有：有：例例8： 设圆的直径设圆的直径XU(a,b)，求圆的面积的期望。，求圆的面积的期望。，则则设设圆圆的的面面积积为为解解24:XAA 式有式有则由定理则由定理1 其其他他）（的的概概率率密密度度为为 01bxaabxfXX）（222212 14)4()(aabbdxabxXEAEba 上一页上一页下一页下一页返回返回

13、例例: (P89)。求：所围三角区域。轴及直线轴为由其中上服从均匀分布，在区域设随机变量)(),(),(12/,),(XYEYEXEyxyxAAYXxy210Y=2-2xAyxAyxyxfSA),(, 0),(, 1),(, 1解：3/1),()(10220 xAdyxdxxdxdydxdyyxxfXE3/2),()(202/10 yAdxydyydxdydxdyyxyfYE6/1)1 (2),()(10210220 dxxxydyxdxxydxdydxdyyxxyfXYExAA定理定理2： 设随机变量设随机变量X,Y的数学期望的数学期望E(X),E(Y)存在存在.；为为常常数数，则则设设cc

14、Ec )(；)()(XcEcXE )()()(YEXEYXE )()()( YEXEXYEYX ，则则有有是是相相互互独独立立的的随随机机变变量量与与若若随机变量数学期望的性质：随机变量数学期望的性质：上一页上一页下一页下一页返回返回niiiXi，否则个信封匹配成对张信笺与第第解：引入随即变量.21 0 1例例9：将将n封不同的信的封不同的信的n张信笺与张信笺与n个信封进行随个信封进行随机匹配，记机匹配，记X表示匹配成对数，求表示匹配成对数，求E（X）。）。ninXPXXinii，而而则则有有，.21111 1:1 niiXEXE）（）（所所以以上一页上一页下一页下一页返回返回例例: (P91

15、)的均值。试求电压其他。其他；，概率密度为变量，是两个相互独立的随机与电阻设一电路中电流IRVrrrhiiigRI, 0, 30,9)(, 010,2)(2)(23)9)(2()()()()()()(303102VdrrdiidrrrhdiiigREIEIREVE解：第二节第二节 方差方差引例引例：X-甲厂灯泡的寿命甲厂灯泡的寿命,Y-乙厂灯泡的寿命乙厂灯泡的寿命甲：甲：问问: :哪个厂的灯泡质量好哪个厂的灯泡质量好? ?940 )()(YEXE乙乙： 显然，甲厂灯泡取值集中，而乙厂灯泡取值分散，显然，甲厂灯泡取值集中，而乙厂灯泡取值分散，所以甲厂灯泡应该更好一些所以甲厂灯泡应该更好一些 我们

16、需要引进一个量来描述我们需要引进一个量来描述r.v.X的取值分散的取值分散程度，即程度，即X的取值与的取值与E(X)的偏离程度的偏离程度)(XEX 偏离的度量：偏离的度量：平均偏离：平均偏离： )(XEXE 绝对值（不好研究）绝对值（不好研究）但是，绝对值（大但是，绝对值（大 ） 平方（大平方（大)所以我们研究所以我们研究2)(EXXE 方差方差:1定定义义的偏离程度。的取值与其期望值的平均。表达了的偏差平方与其“中心”方差是随机变量)()(XEXXEX较较大大。取取值值比比较较分分散散，则则若若较较小小，取取值值比比较较集集中中，则则若若)()(XDXXDX的的数数学学期期望望的的函函数数是

17、是随随机机变变量量方方差差2)()()(XEXXgXXD ).()()()( )()(,)()( 222XXXDXEXEXDxVarXDXXEXEXEXEX 为为的标准差或均方差，记的标准差或均方差，记为随机变量为随机变量称称，即，即或或记为记为的方差的方差为为存在，则称存在，则称为随机变量，若为随机变量，若设设 上一页上一页下一页下一页返回返回为为离离散散型型随随机机变变量量，则则若若 X22)()()(:XEXEXD 计计算算方方差差时时，用用公公式式)(xfX率率密密度度为为为为连连续续型型随随机机变变量量且且概概若若kkkpXExXD 12)()(的的分分布布律律为为，其其中中Xkpx

18、XPkk.21 dxxfXExXD)()()(:2 则则2222222)()()()()(2)()()(2)()(:XEXEXEXEXEXEXEXXEXEXEXEXD证明上一页上一页下一页下一页返回返回）。（的的方方差差求求其其它它）（的的密密度度函函数数为为设设随随机机变变量量例例XDXxxxxxfX: 010 101- 1:1 dxxxfXE）（）（解解：dxxfxXE）（）（ 2261:22 ）（）（）（所所以以XEXEXD6111102012 dxxxdxxx）（）（ 0110011dxxxdxxx）（）（上一页上一页下一页下一页返回返回方差的性质方差的性质设随机变量设随机变量X与与Y

19、的方差存在，则的方差存在，则；为为常常数数，则则若若0)()1( cDc；为为常常数数，设设)()()2(2XDccXDc )()()( ,)4(YDXDYXDYX则是相互独立的随机变量与若)()(2)()()()3(YEYEXEXEYDXDYXD )()( ),()5(2cXEXDXEc有对任意的常数上一页上一页下一页下一页返回返回例例: (P96).(),()(),0()(),(2YDYEXEXYXDXEX，求令：的均值为设随机变量0)()(1)(1)()(XEXEXEXEXEXEYE解：1)()(1)()(22XDXEXDXEXDYD的标准化随机变量。为称XXEXY)(几种重要随机变量的

20、数学期望与方差几种重要随机变量的数学期望与方差分分布布10. 1 分分布布，分分布布律律为为的的服服从从参参数数为为设设10 pXX 0 1P 1-p p).1 ()()()()(,)(222ppXEXEXDpXEpXE二二项项分分布布. 2的二项分布，服从参数为则pnX,上一页上一页下一页下一页返回返回设：设：X =“=“n 次试验中事件次试验中事件A发生的次数发生的次数” .;,否否则则，发发生生次次试试验验中中事事件件第第引引入入01AiXini, 2 , 1 显然显然, , niinXXXXX121相互独立，且相互独立，且由于由于iXnippXDpXEii, 2 , 1)1 ()(,)

21、( )()()()()()()(pnpXDXDXDnpXEXEXEniiniiniinii 11111所以所以泊泊松松分分布布. 3的的泊泊松松分分布布，分分布布律律为为服服从从参参数数为为设设 X eekekekXEkkkk010)!1(!)( 0, 2 , 1 , 0! kkekXPk 2222202 )!2(!)1( )()1()1()(eekekekkXEXXEXXXEXEkkkk 2222)()()(XEXEXD上一页上一页下一页下一页返回返回 其其他他 01)(bxaabxf21)(badxabxXEba 均均匀匀分分布布. 4密密度度为为服服从从均均匀匀分分布布，其其概概率率，在

22、在区区间间设设baX12)(21 )()()(22222abbadxabxXEXEXDba 上一页上一页下一页下一页返回返回 1)()( dxxxfXE指数分布. 5密度为密度为服从指数分布，其概率服从指数分布，其概率设设X22222112)()()( XEXEXD0)0(00e)(xxxfx2222)()( dxxfxXE正态分布. 6，得得令令tx 222222)( dtetXDt )()(XDX标标准准差差上一页上一页下一页下一页返回返回度度为为的的正正态态分分布布，其其概概率率密密，服服从从参参数数为为设设 X xexfx, 021)(222)( )(XE已知：,dxexdxxfXEx

23、XDx222)(2221)()()()(因而正态分布完全可由它的均值和方差确定。因而正态分布完全可由它的均值和方差确定。上一页上一页下一页下一页返回返回例例: (P98)汽缸的概率。和汽缸，求活塞能装入塞相互独立，任取一只活、，汽缸直径设活塞直径YXNYNX)04. 0 ,50.22(),03. 0 ,40.22(22YXZYXPYXP令解：据题意需求.022205. 004. 003. 0)()()(10. 050.2240.22)()()(YDXDZDYEXEZE)05. 0 ,10. 0(2NZ9772. 0)2()05. 010. 0(05. 0)10. 0(005. 0)01. 0(

24、0ZPZPYXP第三节第三节 协方差与相关系数协方差与相关系数:3定定义义的的协协方方差差（无无量量纲纲量量）与与正正是是)()()()(YDYEYXDXEXXY 的的相相关关系系数数与与为为称称时时，而而当当，即即记记为为的的协协方方差差与与为为为为二二维维随随机机变变量量，称称设设YXYDXDYXYDXDYEYXEXEYXYXYXYEYXEXEYXXY )()(),(Cov0)(0)()()(),(Cov ),(Cov,)()( ),( 上一页上一页下一页下一页返回返回），（）（）（）（YXYDXDYXDCov2 ）（）（）（），（YEXEXYEYX Cov 若若(X,Y)为二维离散型随机

25、变量，其联合分布律为为二维离散型随机变量，其联合分布律为 PX=xi，Y=yj=pij， i, j=1,2,ijijjipYEyXExYX)()(),(Cov若若(X,Y)为二维连续型随机变量，其概率密度为为二维连续型随机变量，其概率密度为f(x,y) yxyxfYEyXExYXdd),()()(),(Cov上一页上一页下一页下一页返回返回0),(,YXCovYX相互独立时，特别：当1 ,1)3(1)2(0)1(, 0)(, 0)( baXYPbaYXYXYDXDXYXYXYXY使使得得的的充充要要条条件件为为存存在在常常数数相相互互独独立立，则则，如如果果相相关关系系数数，则则的的与与为为设

26、设 :3定定理理:协方差性质协方差性质），（），（），（）；）；，（），（）；）；，（），（相互独立，则相互独立，则与与若若ZYZXZYXYXabbYaXXYYXYXYXCovCovCov)4(CovCov)3(CovCov)2(0),(Cov)1( 上一页上一页下一页下一页返回返回略略证明（证明（1） Rk 0)(),cov(2)()(2YDYXkXDkkXYD)1)()()(),(cov1)()(),cov()()()(),cov(222XYYDYDXDYXYDXDYXYDkXYDXDYXk，则令01,0)(, 0)(2XYYDkXYD则1 XY （2）因为因为X,Y 相互独立，有相互独立

27、，有0)()(),(0),(YDXDYXCovYXCovXY独独立立？是是否否不不相相关关？是是否否相相互互与与上上服服从从均均匀匀分分布布，问问），（）在在区区域域，设设（例例YXxyxyxDYX, 10:1 不不相相关关与与，称称的的相相关关系系数数与与若若YXYXXY0 其其它它），（）的的概概率率密密度度为为，因因此此（的的面面积积为为解解：区区域域 0, 10 11xyxyxfYXD上一页上一页下一页下一页返回返回X,Y不相关不相关(弱弱)X,Y相互独立相互独立(强强)(没有线性关系）没有线性关系）(没有任何关系）没有任何关系）负相关；正相关, 0, 0XYXY称称61dd21dd0

28、dd32dd102210221010 xyyYExyxXExyyYExyxXExxxxxxxx）（，）（）（，）（611813221 2 ）（，）（）（所以所以YDXD不相关。不相关。与与即即）（）（），（因此因此YXYDXDYXXY 0Cov 0Cov010 ）（）（）（），（所以所以）（而而YEXEXYEYXxydydxXYExx上一页上一页下一页下一页返回返回其他），（）（其他，），（）（的边缘密度和关于于）的联合概率密度得关，由（ , 001 ),(110,1 010 211yydxyydxdxyxfyfxxdydyyxfxfYXYXyyYxxX）的的连连续续点点（），（），（）是是，

29、可可见见（yfxfyxfYX041不不相相互互独独立立。与与所所以以）（）（），（但但YXfffYX 041041 上一页上一页下一页下一页返回返回。），求求，（），设设（例例XYNYX 222121:2222121222211 ）（，）（，）（，）（），故故，（），（解解：YDXDYEXENYNX上一页上一页下一页下一页返回返回Cov21YXEYX），（dxdyyx）（）（21 21212222212121212）（）（）（）（yyxxe221121上一页上一页下一页下一页返回返回，则，令：1111222)(11xuxyt dtdueutuYXCovtu2222122122)1(21),(2

30、1212222122221222)(21)(22222dtteduuedtedueututu）（2121)()(),(YDXDYXCovXY有：则有则有即不相关即不相关当当 , 0, XY 即独立即独立 ),()(),(yfxfyxfYX 不相关不相关独立独立正态正态第四节第四节 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵:4定义定义阶阶中中心心矩矩。的的称称它它为为存存在在，）（若若kXkXEXEk,.2 , 1, 阶混合原点矩。阶混合原点矩。的的和和称它为称它为存在，存在，若若lkYXlkYXElk ,.2 , 1,),(.阶阶混混合合中中心心矩矩的的和和称称它它为为存存在在，）（）（若若lkYXYEX

31、XEXElk 阶阶矩矩。阶阶原原点点矩矩，简简称称的的称称它它为为存存在在若若为为随随机机变变量量设设kkXkXEYXk,.2 , 1),(, 上一页上一页下一页下一页返回返回设设n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn) 的的1+1阶混合中心矩阶混合中心矩 nnnnnn 212222111211.为为n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的协方差矩阵。的协方差矩阵。都存在，则称矩阵都存在，则称矩阵njiYEYXEXEYXljjkiijiij,.,2 , 1,)()( ),(Cov 协方差矩阵具有以下协方差矩阵具有以下性质性质：（1）协方差矩阵为对称矩阵）协方差矩阵为对称矩阵;（2）协方差

32、矩阵为非负定矩阵。协方差矩阵为非负定矩阵。协方差协方差Cov(X,Y)是是X和和Y的的1+1阶混合中心矩阶混合中心矩上一页上一页下一页下一页返回返回：维维正正态态随随机机变变量量的的性性质质n服服从从一一维维正正态态分分布布。的的任任意意的的线线性性组组合合的的充充要要条条件件是是维维正正态态分分布布服服从从维维随随机机变变量量nnnnXlXlXlXXXnXXXn 22112121 ,),(. 1维维正正态态分分布布。服服从从则则的的线线性性函函数数，是是设设维维正正态态分分布布，服服从从若若KYYYXXXYYYnXXXknkn),(,),(. 221212121两两两两不不相相关关。相相互互独独立立的的充充要要条条件件是是则则维维正正态态分分布布，服服从从设设nnnXXXXXXnXXX,),(. 3212121上一页上一页下一页下一页返回返回