同济版大一高数下第七章习题课(2)xgppt课件.ppt

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1、“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。1高等数学 第三十四讲“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2二阶微分方程的 习题课 (二)解法及应用 一、两类二阶微分方程的解法一、两类二阶微分方程的解法 第七章 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点

2、的“群众性治安防控工程”。3一、两类二阶微分方程的解法一、两类二阶微分方程的解法 1. 可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法)(dd22xfxy)dd,(dd22xyxfxy令xyxpdd)(),(ddpxfxp)dd,(dd22xyyfxy令xyypdd)(),(ddpyfypp逐次积分求解 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。4.212yyy 求通解解解.x方程不显含,),(dydPPyyPy 令代入方程，得代入方程，得,212yPdydPP,

3、112yCP 解得，, 11yCP, 11yCdxdy即故方程的通解为故方程的通解为.12211CxyCC例例1.“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。5xecybyay , )1(2xxexey2, 1,0cbaxxxexeCeCy21例例2 已知方程xxyexexxxyxeee 有特解则方程的通解为再求线性齐次齐次方程的通解 .提示提示:()2xxxyxeee 提示提示: 将解代入方程 , 得“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综

4、治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。62. 二阶线性微分方程的解法二阶线性微分方程的解法 常系数情形齐次非齐次代数法“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。7解答提示解答提示P353 题题2 求以xxeCeCy221为通解的微分方程 .提示提示: 由通解式可知特征方程的根为,2,121rr故特征方程为,0)2)(1(rr0232 rr即因此微分方程为023 yyyP352 题题3 求下列微分方程的通解, 01)6

5、(2 yyy提示提示: 令ppyypy , )(则方程变为,01dd2 pyppyyypppd1d2即“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。8P354 题题4(2) 求解02 yay,00 xy10 xy提示提示: 令),(xpy 则方程变为2ddpaxp积分得,11Cxap利用100 xxyp11C得再解,11ddxaxy并利用,00 xy定常数.2C思考思考若问题改为求解0321 yy,00 xy10 xy则求解过程中得,112xp问开方时正负号如何确定正负号如何

6、确定?“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。9. 1) 1 () 1 (,) 1(2 yyexyyyx求特解解解特征方程, 0122 rr, 121 rr对应的齐次方程的通解为.)(21xexCCY,2)3()(23*xebxxbaaxy则,2)46()6()(23*xebxbaxbaaxy 例例3代入原方程比较系数得将)( , )( ,* yyy,21,61ba原方程的一个特解为,2623*xxexexy故原方程的通解为.26)(2321xxxexexexCCy设原

7、方程的特解为xebaxxy)(2*xebxax)(23“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。10故原方程的通解为.26)(2321xxxexexexCCy, 1) 1 (y, 1)31(21eCC,6) 1()(3221xexxCCCy. 1) 1 () 1 (,) 1(2 yyexyyyx求特解例例3, 1) 1 ( y, 1)652(21eCC,31121eCC,651221eCC由由解得,121,61221eCeC所以原方程满足初始条件的特解为.26)121(6

8、1223xxxexexexeey“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。11例例4. 设,)()()(0 xxuduuxex,)(Cx 求. )(x解解: xxxuduuuduxex00)()()(两边对 x 求导)()()()(0 xxxxuduexxx,1)0(求解可得)sincos()(21xexxx,)()(023xxuduxxex1)0(xexx )()(思考思考: 设提示提示: 对积分换元 , 令,uxt 则有xxtdtxex0)()(“雪亮工程是以区（县）

9、、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。12思考思考: 设, 0)0(,d)()(0 xxuuxxex?)(x如何求提示提示: 对积分换元 ,uxt 令则有xxttex0d)()()()(xexx 解初值问题: xexx )()(,0)0(1)0(答案:xxexex41) 12(41)(xxuxuxex0d)()(xtxutu00“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”

10、。13例例5：设 f (x) 具有二阶连续导数 00,01,ff且 02ydyxxfxdyxfyxyx为一全微分方程，求此微分方程的通解。解解 令yxP, yxfyxyx yxxf2yxQ,xQyP 2xxfxf 解得xCxCYsincos21令特解CBxAxy2*2*2 xy 2sincos221xxCxCxf“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。14 2sincos221xxCxCxf利用 1000ff1221CC 2sincos22xxxxfyxP,yxxxyx

11、yx)2sincos2(2yxxxx22cossin2yxQ,xxdxPyxU00,yydyxQ0,ydyxxxxy)2sin2(cos0222212sin2cosyxyxxyxy通解通解cyxyxxyxy22212sin2cos“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。15例例7 ( )( )yp x yf x有特,1xy 解而对应齐次方程有解,2xy ( ),( )p xf x求及微分方程的通解 . 解解: 将将2( )0,yxyp x y代入1( )p xx 得代入

12、再将xy1)(1xfyxy 33)(xxf得故所给二阶非齐次方程为331xyxy ),(xpy 令方程化为331xpxp1. 设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。16331xpxp故py xxed1xCx121再积分得通解2211CxCxy)(1211CC1d13d3Cxexxx)()(xfyxpyCxexfeyxxpxxpd)(d)(d)(复习: 一阶线性微分方程通解公式 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为

13、指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。17例例8! )3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn(1) 验证函数)(x满足微分方程;xeyyy (2) 利用(1)的结果求幂级数! )3(30nxnn的和.解解: (1)! )3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn! ) 13(!8!5!2)(13852nxxxxxyn ! )23(!7!4)(2374nxxxxxyn(02考研考研)“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用

14、为重点的“群众性治安防控工程”。18!0nxnn所以 yyyxe(2) 由(1)的结果可知所给级数的和函数满足xeyyy , 1)0(y0)0( y其特征方程:,012 rr特征根:ir23212, 1齐次方程通解为)23sin23cos(2121xCxCeYx设非齐次方程特解为,xeAy 代入原方程得,31A故非齐次方程通解为xe31)23sin23cos(2121xCxCeyx“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。19xe31)23sin23cos(2121xCx

15、Ceyx代入初始条件可得0,3221CC故所求级数的和)(3123cos3221xexexx! )3(30nxnnxeyyy , 1)0(y0)0( y“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。20P354 题题8 设函数222, )(zyxrrfu在 r 0内满足拉普拉斯方程, 0222222zuyuxu)(rf其中二阶可导, 且,1) 1 () 1 ( ff试将方程化为以 r 为自变量的常微分方程 , 并求 f (r) .提示提示:rxrfxu)( 2222)(rxr

16、fxu )(rf r132rx利用对称性, 0)(2)( rfrrf即0)(2)(2 rfrrfr( 欧拉方程欧拉方程 )原方程可化为“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。21例例7.设函数),()(在xyy,)()(, 0的函数是xyyyxxy内具有连续二阶导(1) 试将 xx( y) 所满足的微分方程 变换为 yy(x) 所满足的微分方程 ;0)dd)(sin(dd322yxxyyx数, 且解解: ,1ddyyx, 1ddyxy即上式两端对 x 求导, 得: (1

17、) 由反函数的导数公式知(03考研考研)0)(dddd222 yyxyxydydxyyyx222)(dd 3)(yy 代入原微分方程0)dd)(sin(dd322yxxyyxxyysin 得“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。22(2) 方程的对应齐次方程的通解为 xxeCeCY21设的特解为 ,sincosxBxAy代入得 A0,21B,sin21xy故从而得的通解: xeCeCyxxsin2121例例7.设函数),()(在xyy,)()(, 0的函数是xyyyxxy内具有连续二阶导数, 且的解. (2) 求变换后的微分方程满足初始条件 , 0)0(y23)0( yxyysin “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。23xeCeCyxxsin2121由初始条件 ,23)0(, 0)0(yy得1, 121CC故所求初值问题的解为 xeeyxxsin21