同济版大一高数下第七章习题课ppt课件.ppt

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1、“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。1高等数学 第三十三讲“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2一阶微分方程的 习题课 (一)解法及应用 第七章 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。3一、一阶微分方程求解一、一

2、阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解 关键关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法 代换自变量自变量代换因变量因变量代换某组合式某组合式(2) 积分因子法 选积分因子, 解全微分方程四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。4例例1. 求下列方程的通解:将方程改写为xyyxxxy2ln21dd3(贝努里方程) 0)1ln(dln2. 12xxyyyxx

3、d解解通解1lnlncxdexexxxdxxxd2y)(ln21ln12cxx“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。53223632.32xxyyx yy 方法方法 1 这是一个齐次方程 .方法方法 2 化为微分形式 0d)23(d)36(3223yyyxxyxx故这是一个全微分方程 .xyu 令xQyxyP6“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工

4、程”。6例例2.设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f (x), g(x) 在(,+)内满足以下条件:, 0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;(03考研) (2) 求出F(x) 的表达式 .解解: (1) )()()()()(xgxfxgxfxF)()(22xfxg)()(2)()(2xgxfxfxg)(2)2(2xFex所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:.2)()(xexgxfxexFxF24)(2)(“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全

5、视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。7(2) 由一阶线性微分方程解的公式得CxeeexFxxxd4)(d22d2Cxeexxd442代入上式，将0)0()0()0(gfF1C得于是 xxeexF22)(xexFxF24)(2)(xxCee22例例2.2.设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f (x), g(x) 在(,+)内满足以下条件:, 0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且.2)()(xexgxf“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”

6、。8练习题练习题:P353 题2 求以1)(22yCx为通解的微分方程.提示提示:1)(22yCx02)(2yyCx消去 C 得1) 1(22 yyP353 题3 求下列微分方程的通解:xyyyx2) 1 (提示提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 :uu2) 1ln(ln)2(xxayxyx提示提示: 原式：,ln1)(xxxP)ln11()(xaxQ11(1)lnlnyyaxxx“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。9)ln(2dd)3(xyyxy提

7、示提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程yyxyyxln22dd0dd)4(33yxyxxy提示提示: 为贝努里方程 , 令2 yz0d)5(22yxyxxyyyxxddd提示提示: 为全微分方程 , 通解Cyxyxarctan)(2122“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。10练习题练习题:P354 题题5 . 已知某曲线经过点( 1 , 1 ),轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 .提示提示: 设曲线 y =f (x)上的动点为 M (x,y),)(xX

8、yyY令 X = 0, 得截距, xyyY由题意知微分方程为xxyy即11yxy定解条件为.11xy此点处切线方程为它的切线在纵切线上的动点为 ( X,Y ),“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。11二阶微分方程的 习题课 (二)解法及应用 一、两类二阶微分方程的解法一、两类二阶微分方程的解法 第七章 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。

9、12一、两类二阶微分方程的解法一、两类二阶微分方程的解法 1. 可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法)(dd22xfxy)dd,(dd22xyxfxy令xyxpdd)(),(ddpxfxp)dd,(dd22xyyfxy令xyypdd)(),(ddpyfypp逐次积分求解 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。132. 二阶线性微分方程的解法二阶线性微分方程的解法 常系数情形齐次非齐次代数法“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥

10、平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。14解答提示解答提示P353 题题2 求以xxeCeCy221为通解的微分方程 .提示提示: 由通解式可知特征方程的根为,2,121rr故特征方程为,0)2)(1(rr0232 rr即因此微分方程为023 yyyP352 题题3 求下列微分方程的通解, 01)6(2 yyy提示提示: 令ppyypy , )(则方程变为,01dd2 pyppyyypppd1d2即“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应

11、用为重点的“群众性治安防控工程”。15P354 题题4(2) 求解02 yay,00 xy10 xy提示提示: 令),(xpy 则方程变为2ddpaxp积分得,11Cxap利用100 xxyp11C得再解,11ddxaxy并利用,00 xy定常数.2C思考思考若问题改为求解0321 yy,00 xy10 xy则求解过程中得,112xp问开方时正负号如何确定正负号如何确定?“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。16. 1) 1 () 1 (,) 1(2 yyexyyyx

12、求特解解解特征方程, 0122 rr, 121 rr对应的齐次方程的通解为.)(21xexCCY,2)3()(23*xebxxbaaxy则,2)46()6()(23*xebxbaxbaaxy 例例1代入原方程比较系数得将)( , )( ,* yyy,21,61ba原方程的一个特解为,2623*xxexexy故原方程的通解为.26)(2321xxxexexexCCy设原方程的特解为xebaxxy)(2*xebxax)(23“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。17故原方

13、程的通解为.26)(2321xxxexexexCCy, 1) 1 (y, 1)31(21eCC,6) 1()(3221xexxCCCy. 1) 1 () 1 (,) 1(2 yyexyyyx求特解例例1, 1) 1 ( y, 1)652(21eCC,31121eCC,651221eCC由由解得,121,61221eCeC所以原方程满足初始条件的特解为.26)121(61223xxxexexexeey“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。18例例2 : 设, 0)0(,

14、d)()(0 xxuuxxex?)(x如何求提示提示: 对积分换元 ,uxt 令则有xxttex0d)()()()(xexx 解初值问题: xexx )()(,0)0(1)0(答案:xxexex41) 12(41)(xxuxuxex0d)()(xtxutu00“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。19例例3：设 f (x) 具有二阶连续导数 00,01,ff且 02ydyxxfxdyxfyxyx为一全微分方程，求此微分方程的通解。解解 令yxP, yxfyxyx yx

15、xf2yxQ,xQyP 2xxfxf 解得xCxCYsincos21令特解CBxAxy2*2*2 xy 2sincos221xxCxCxf“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。20 2sincos221xxCxCxf利用 1000ff1221CC 2sincos22xxxxfyxP,yxxxyxyx)2sincos2(2yxxxx22cossin2yxQ,xxdxPyxU00,yydyxQ0,ydyxxxxy)2sin2(cos0222212sin2cosyxyxxy

16、xy通解通解cyxyxxyxy22212sin2cos“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。21例例4 ( )( )yp x yf x有特,1xy 解而对应齐次方程有解,2xy ( ),( )p xf x求及微分方程的通解 . 解解: 将将2( )0,yxyp x y代入1( )p xx 得代入再将xy1)(1xfyxy 33)(xxf得故所给二阶非齐次方程为331xyxy ),(xpy 令方程化为331xpxp设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程“雪亮工程是以区（县）

17、、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。22331xpxp故py xxed1xCx121再积分得通解2211CxCxy)(1211CC1d13d3Cxexxx)()(xfyxpyCxexfeyxxpxxpd)(d)(d)(复习: 一阶线性微分方程通解公式 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。23例例5! )3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn(1) 验证

18、函数)(x满足微分方程;xeyyy (2) 利用(1)的结果求幂级数! )3(30nxnn的和.解解: (1)! )3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn! ) 13(!8!5!2)(13852nxxxxxyn ! )23(!7!4)(2374nxxxxxyn(02考研考研)“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。24!0nxnn所以 yyyxe(2) 由(1)的结果可知所给级数的和函数满足xeyyy , 1)0(y0)0( y其特征方程:,012 rr特征根:ir23212, 1齐次方程通解为)23sin23cos(2121xCxCeYx设非齐次方程特解为,xeAy 代入原方程得,31A故非齐次方程通解为xe31)23sin23cos(2121xCxCeyx“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。25xe31)23sin23cos(2121xCxCeyx代入初始条件可得0,3221CC故所求级数的和)(3123cos3221xexexx! )3(30nxnnxeyyy , 1)0(y0)0( y