同济版大一高数下第七章第六节全微分方程xgppt课件.ppt

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1、“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。1高等数学 第二十九讲“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2全微分方程 第五节 第七章 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。3判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导

2、数,xQyPDyx),( 为全微分方程 则求解步骤:方法1 凑微分法;方法2 利用积分与路径无关的条件.1. 求原函数 u (x, y)2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .一、全微分方程一、全微分方程使若存在),(yxuyyxQxyxPyxud),(d),(),(d则称0d),(d),(yyxQxyxP为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) .“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。4),(yxyxo例例1. 求解0)33()35(222324

3、ydyyxyxxdyyxx解解: 因为yP236yyx xQ故这是全微分方程 , 取,0,000yx则有xdxyxux045),(ydyyxyxy0222)33(5x2223yx3yx331y因此方程的通解为5x2223yx3yxCy 331)0 ,(x“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。5例例2. 求解. 0d1d)(2yxxxyx解解:21xyP 这是一个全微分方程 .用凑微分法求通解. 将方程改写为0ddd2xxyyxxx即, 0d21d2xyx故原方程的通解

4、为021d2xyx或Cxyx221,xQ解法二解法二：取0100yxydxxdxyxuxy101,通解同上。注：00 x),(yxyxo)0 ,(x)0 , 1 (“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。6 利用曲线积分求解:,32422),() 1 , 0(3Cdyyxydxyxyx,312142203Cdyyxydxxyx即.113212Cyxyxyy故方程的通解为.132Cyyx. 0324223dyyxydxyx求通解解法解法1 1)2(3yxyyP46yxxQ

5、)0(y方程为全微分方程.例例3 3“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。7.0324223的通解求方程dyyxydxyx解解,64xQyxyP是全微分方程是全微分方程, ,将左端重新组合)32(14232dyyxdxyxdyy)()1(32yxdyd.132Cyxy原方程的通解为原方程的通解为),1(32yxyd例例362233232)(ydyyxdxxyyxd“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础

6、、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。8常用微分倒推公式常用微分倒推公式:)(ddd) 1 yxyx )(ddd)2xyyxyx)(ddd)3yyxx)(2221yx )(ddd)42yyxxyyx)(ddd)52xyxxyxy)(ddd)6yxyxxyyxln)(ddd)722yxyxxyyxarctan)(ddd)822yxyyxx22yx “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。9?0dd)(3yxxyx这不是一个全微分方程 ,12x就化成例

7、2 的方程 ：但若在方程两边同乘0d1d)(2yxxxyx11xQyP思考思考: 如何解方程即, 0d21d2xyx021d2xyx或“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。10二、积分因子法二、积分因子法,0),(yx使0d),(),(d),(),(yyxQyxxyxPyx为全微分方程,),(yx则称在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的积分因子.0d),(d),(yyxQxyxP若存在连续可微函数 积分因子.“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（

8、社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。11积分因子不一定唯一 .)(ddd)42yyxxyyx)(ddd)52xyxxyxy)(ddd)6yxyxxyyxln)(ddd)722yxyxxyyxarctan0ddyxxy例如, 对可取,1yx221yx ,21y,21x“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。12例例1：求下列微分方程的通解ydyydxxdy. 1解法解法1：写成全微

9、分方程的形式：0)(ydyxxdy由于11xQyP原方程不是全微分方程在方程两边同时乘以)(ddd2yxyyxxy21y得：yydyydxxdy2即ydyxdln两边积分得通解：Cyyxln“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。13解法解法2 化为齐次方程. 原方程变形为1ddyxyyxyx,yux 令，则uyux1uuyuyyudd积分得yCuln将yxu 代入 ,yCyxln得通解ydyydxxdy. 1“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。14解法解法3 化为线性方程. 原方程变形为11ddxyyx1,1QyPyyexd11yyed1Cydycyyd1lncyy其通解为yxxPed)(CxexQxxPd)(d)(即Cyyxlnydyydxxdy. 1