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1、l 在解析几何中,为了便于研究二次曲线l l的几何性质,我们可以选择适当的坐标变换:l l把方程化为标准形) 1 (122cybxyaxcossinsincosyxyyxx122ynxm 从代数学的观点看,化标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式,使它只有平方项。这样的问题,在许多理论问题或是实际问题中常会遇到。 现在我们把这类问题一般化,讨论n个变量的二次齐次多项式的化简问题。) 1 (122cybxyax 定义定义1:含有n个变量x1 , x2 ,xn的二次齐次函数nnnxxaxxaxaxxxf11211221112122),(nnxxaxa22222222nnnxani
2、njjiijxxa11ijjijiijjiijjiijxxaxxaxxaaa2,ninjjiijnxxaxxxf1121),(111 11221221 122221 122()()()nnnnnnnnnnx a xa xa xx a xa xa xx a xa xa xnnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121),(1112112122221212nnnnnnnnaaaxaaaxx xxaaaxTx AxnnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA21212222111211,1)称A为二次型 f 的矩阵,显然 A=AT;2)A=(ai
3、j), 若 aij 为复数,称 f 为复二次型;3) A=(aij), 若 aij 为实数,称 f 为实二次型;4)称为R(A)为二次型 f 的秩。;34),() 1 (22212121xxxxxxf;34),()2(222121321xxxxxxxf321321321000032021),()2(xxxxxxxxxf11212212123xf x xxxx( )(,)解:解:定义定义9. 称只含有平方项的二次型为二次型的标准型(或法式)。2221122nnf y y y112212Tnnyy nyyyyyy 所谓一般二次型的化简问题,就是寻找一个可逆的线性变换:TTTT()()() .fx
4、AxcyA cyyc Ac yTxcyfx Ax即把化成标准型。于是11111221221122221122nnnnnnnnnnxc yc yc y xc yc yc yxc y +c y +c y 定理定理9 任给可逆矩阵 C ,令 B=C TAC,若 A 为对称矩阵,则 B 亦为对称矩阵,且 R(B)=R(A)。 证证: A为对称矩阵,即有 A T=A,于是, B T =(C TAC) T=C TAT(C T) T=C TAC=B .故 B 为对称矩阵. 再证 R(B)=R(A).因 B=C TAC, 故 R(B) R(AC) R(A).又因 A=(C T) -1BC -1,故 R(A)
5、R(BC -1) R(B)于是 R(B)=R(A). 这定理说明:经可逆变换 x=C y ,把 f 化成 yTC TACy ,C TAC 仍为对称矩阵,且二次型的秩不变。要使二次型 f 经过可逆变换 x=C y化成标准形,即使 f = x TAxTTT2221122112212T()CyACyy C ACyyy nnnnn y y yyyyyyy 也就是要使 C TAC 成为对角阵,即, C TAC=,因此,我们主要的问题就是:对于对称矩阵 A ,寻求可逆矩阵 C ,使 C TAC=. 由上节定理 8 知 , 任给实对称矩阵A,总有正交矩阵 P,使PTAP =. 把此结论用于二次型,即有:定理定理10. 任意 二次型ninjjiijnxxaxxxf1121),(222112212(),xPy A.,总有正交变换使 化为标准型其中, ,是 的矩阵 的 个特征值ijjinnnaaffyyyfn