4.4 二次型及其标准型.ppt

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1、二次型及其标准形,本节重点,二次型及其标准形的概念；用正交变换化实二次型为标准形的方法；惯性定理；正定二次型的概念、性质及判定。,二次型的概念,定义,叫做二次型。,含有n个自变量 的二次齐次函数,如果二次型的系数都为实数，则称二次型为实二次型。,例如,是二次型,不是二次型,我们要研究它的什么问题?,为平面上一条二次曲线,经坐标变换:,几 何 背 景,为空间上一二次曲面的一般形式,经坐标变换:,几 何 背 景,经坐标变换,1、这种结果能否推广到四元，甚至n元二次型上去？,2、如果可以，相应的变换如何寻找，结果如何实现？,现有两个问题：,二次型 f,对称矩阵 A,对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f

2、 的秩,一一对应,二次型可表示为 矩阵形式,（其中A为对称矩阵）,二次型的矩阵及其秩,只含平方项的二次型,对应的矩阵为对角形矩阵,二次型的标准形,定义,就称此二次型为原来二次型的标准形。,定理1,经过可逆线性变换后，二次型的秩不变。,如果二次型 经过可逆线性变换x=Hy变成y的二次型,如,经线性变换,化得标准形,将二次型化为标准形的实质问题,一般形式,化为标准形式,经可逆变换,本质问题：寻找可逆矩阵P，使得,回顾上一章知识，能否解决？如何解决？,问题的结论,定理4.11. 对实二次型,上一章的结论:,对于实对称阵A, 一定存在正交阵P使得A相似对角阵, 即:,事实上：,定理 设A是n阶实对称矩

3、阵，则必有正交矩阵P,使,用正交变换化二次型为标准型,对相应的二次型,作正交变换,则有,即化得标准形,得特征值,可顺次求得单位特征向量,例 用正交变换，化下列二次型为标准形,解 二次型的矩阵为,由,令,则经正交变换 ，可得标准形,用正交变换化二次型为标准型的具体步骤,2.求矩阵A的特征值,3. 对每个特征值 ，求对应的特征向量,4. 将特征向量正交化、单位化，得到,1. 写出二次型的矩阵A,5. 构造正交矩阵，写出相应的正交变换及标准形,正交矩阵,正交变换,标准形,练习试用正交变换化二次型,为标准型,解,矩阵A的特征多项式为,特征值,正交化,得线性无关的特征向量,可得特征向量,单位化,作正交变换,代入f ，得到标准型,合同矩阵,定义 设A，B为n阶方阵，如果存在可逆矩阵C，使得B=CTAC，则称矩阵A与B是合同的，称矩阵C为合同变换矩阵。,结论 实对称矩阵一定与对角形矩阵合同。,定理 如果矩阵A与B合同，则 R(A)=R(B).,结论：任何一个二次型都有标准形。,用配方法把二次型化成标准型,作线性变换,即,解,可得二次型的标准形,（1）,所作变换为,