《二次型及其标准型》PPT课件.ppt

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1、中南财经政法大学信息系中南财经政法大学信息系第六章第六章 二次型二次型定义定义6.16.1 称称n元二次齐次函数元二次齐次函数 (6.1) 212111121211221122222221122,nnnnnnnnnnnnfx xxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x xa x 1211,()nnnijijijjiijfx xxa x xaa 为为 的一个的一个n元元二次型二次型，若其中系数，若其中系数 均均为实数，称之为为实数，称之为实二次型实二次型。本章只讨论实二次型。本章只讨论实二次型。12,nx xxija一、二次型的定义(6.1)(6.1)式可以写成式可

2、以写成 2121111212112222222,222nnnnnnnnfx xxa xa x xa x xa xa x xa x 记记 12nxxXx 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 12(,)nf Xf x xx Tf XX AX (6.2)f 也可写成如下的也可写成如下的矩阵和向量的乘积形式矩阵和向量的乘积形式： nnnnnnnnTxxxaaaaaaaaaxxxAXX2121222211121121, nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121),( njnijiijxxa11证明如下证明如下: :),(

3、21nxxxf 称式（称式（6.2）为二次型（）为二次型（6.1）的）的矩阵形式矩阵形式，矩阵矩阵A称为二次型称为二次型 所对应的矩阵所对应的矩阵，矩阵，矩阵A的秩称为的秩称为二次型二次型 的秩的秩。在在A中，中， 为为（6.1) )中中 的系数，的系数， 为为（6.1）中混合项系数）中混合项系数 的一半。的一半。显然，显然，A是一个是一个n阶对称矩阵，即阶对称矩阵，即 。 f X f Xiia2ix()ijaij ijx xTAA 从二次型的定义可以看到：从二次型的定义可以看到：(1) (1) 二次型的矩阵二次型的矩阵都是对称的矩阵。都是对称的矩阵。(2) (2) 二次型和它的矩阵是一二次型

4、和它的矩阵是一一对应的。一对应的。例例1 1）写出二次型）写出二次型 所对应的矩阵。所对应的矩阵。 2）写出矩阵）写出矩阵 所对应的二次型。所对应的二次型。 22123112233,23f x xxxx xx xx 123202321A11031023012B 解解 1）原二次型所对应的对称矩阵为：）原二次型所对应的对称矩阵为： 2212311213233,464f x xxxx xx xx xx 2 2）矩阵对应的二次型为：）矩阵对应的二次型为： 定义定义6.2 设有两组变量设有两组变量 ； ，其中一组变量可以写成另外一组变量的线性组合，其中一组变量可以写成另外一组变量的线性组合，即有：即有

5、：12,nx xx12,nyyy11111221221122221122nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc ycyxc ycycy （6.3）二、线性变换则称上式为由则称上式为由 到到 的一个的一个线性变换（或线性替换）线性变换（或线性替换） 12,nx xx12,nyyy由系数组成的矩阵由系数组成的矩阵111212122212nnnnnnccccccCccc 称为称为线性变换（线性变换（6.3）的矩阵。）的矩阵。 记记 ； ， 那么，（那么，（6.3）式可以写为：）式可以写为：12nxxXx 12nyyYy X = CY若若 ，则称（，则称（6.3）式为）式为可逆（或非退化）

6、可逆（或非退化）的线性变换的线性变换。若。若C为正交矩阵，则称（为正交矩阵，则称（6.3）为）为正交线性变换正交线性变换。0C 注意：注意：本章中的线性变换都为可逆或正交线性变本章中的线性变换都为可逆或正交线性变换换 . 本章主要问题之一：本章主要问题之一：找一个恰当的线性变换，找一个恰当的线性变换，使二次型形式更简单（只含有平方项）。使二次型形式更简单（只含有平方项）。 做线性变换后，二次型所对应的矩阵和原二次做线性变换后，二次型所对应的矩阵和原二次型矩阵之间具有某种关系，这种关系就是型矩阵之间具有某种关系，这种关系就是合同合同。定义定义6.3 设设A和和B为两个为两个n阶矩阵，如果存在一个

7、阶矩阵，如果存在一个n阶可逆矩阵阶可逆矩阵C，使得，那么，使得，那么 ，称，称A与与B合同。合同。TC AC = B合同关系具有下列性质合同关系具有下列性质：(1)(1)反身性反身性(2)(2)对称性对称性(3)(3)传递性传递性(4)(4)合同的矩阵有相同的秩合同的矩阵有相同的秩三、矩阵的合同关系定理定理6.1 6.1 二次型经非退化线性替换后仍为二次型，二次型经非退化线性替换后仍为二次型，且新二次型矩阵与原二次型矩阵合同。且新二次型矩阵与原二次型矩阵合同。证明：证明：设二次型设二次型 ，经过可逆线性，经过可逆线性替换替换 , ,得：得： Tf XX AX X = CY TTTf XCYA

8、CYYC AC Y 设设 ，则可得：，则可得：TB = C AC Tf XY BY 又因为又因为 TTTTTTB = C ACC A C = C AC = B 所以所以B是对称矩阵，为新二次型对应的矩阵是对称矩阵，为新二次型对应的矩阵 又因为有又因为有 ，C可逆，所以可逆，所以A与与B合同。合同。 TC AC = B注：注：新二次型的秩与原二次型相等。新二次型的秩与原二次型相等。定义定义6.4 若二次型若二次型 经过经过可逆线性替换可逆线性替换 化为化为 12,Tnf x xxX AX X = CY2221122nnfd yd yd y （6.46.4） 称这种只具有平方项的二次型（称这种只具

9、有平方项的二次型（6.46.4）为）为二次型二次型（6.16.1）的标准形）的标准形 . .一、二次型的标准形 将二次型的将二次型的标准型化成矩阵形式标准型化成矩阵形式，易知，标准形，易知，标准形的矩阵具有对角阵形式：的矩阵具有对角阵形式： 12nddD =d二次型二次型 的秩等于中非零元素的秩等于中非零元素 的个数的个数 12,nf x xx12,nd dd说明说明2222211nnykykyk 使使就就是是要要变变成成标标准准形形经经可可逆逆变变换换要要使使二二次次型型, CyxCyxf 寻找可逆替换,),(212121 yyykkkyyynnn.,成成为为对对角角矩矩阵阵使使也也就就是是

10、要要找找矩矩阵阵ACCBCT yACCyCyACyAxxfTTTT)()()(定理定理6.2 任意一个二次型任意一个二次型 都可以都可以经过非退化的线性变换经过非退化的线性变换 化为标准形：化为标准形： Tf XX AX X = CY二、配方法化二次型为标准形,2222211nnyyyf 证明：证明：数学归纳法。数学归纳法。定理定理6.26.2的矩阵描述：的矩阵描述：定理定理6.3 6.3 任何一个对称矩阵都与一个对角矩阵任何一个对称矩阵都与一个对角矩阵合同。即对任意一个对称矩阵合同。即对任意一个对称矩阵A，存在一个可逆，存在一个可逆矩阵矩阵C C，使，使 ，D为对角形。为对角形。 TC AC

11、 = D证明：证明：设设A为为n阶对称矩阵阶对称矩阵，那么可以得到唯一的，那么可以得到唯一的二次型二次型 Tf XX AX 根据定理根据定理6.2， 可以通过可逆线性变换可以通过可逆线性变换 化为标准化为标准形形 ，其中，其中D为对角形。为对角形。又根据定理又根据定理6.16.1可知可知 f XX = CYTY DYTC AC = D解解32312123222162252xxxxxxxxxf .,62252 323121232221并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵为为标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 例例2 231212122xxxxx 322322652xxxx 的项配方

12、的项配方含有含有x1含有平方项含有平方项 2321xxx 322322652xxxx 3223222xxxx 去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项 322322232144xxxxxxx .22322321xxxxx 3332232112xyxxyxxxy令令 3332232112yxyyxyyyx 321321100210111yyyxxx32312123222162252xxxxxxxxxf .2221yy 所用变换矩阵为所用变换矩阵为 .01,100210111 CC例例3 3 化二次型化二次型 为标准形，并求所用的非退化线性变换。为标准形，并求所用的非退化线性变换。 1231213

13、23,f x xxx xx xx x 解解 在二次型在二次型 中，不含有中，不含有 的平方的平方项，而含有交叉项项，而含有交叉项 ，为了利用上面配方时所用，为了利用上面配方时所用的方法，先作可逆线性变换：的方法，先作可逆线性变换： 123,f x xx1x12x x1121233xyxyyxy （6.6） 1231121312321121323,2f x xxyyyy yyyyyy yy yy y 再用例再用例3的方法进行配方，即的方法进行配方，即 2221231232311,24fx xxyyyyy 1123223312zyyyzyzy 令令 即即 （6.7） 1123223312yzzzy

14、zyz 在上面的配方中，用了两个可逆的线性变换，将在上面的配方中，用了两个可逆的线性变换，将（6.7）式代入（）式代入（6.6）式，可得：）式，可得：11232123331212xzzzxzzzxz 11223311121112001xzxzxz即为所求的可逆线性变换即为所求的可逆线性变换 此时，原二次型所对应的标准形为：此时，原二次型所对应的标准形为： 2221231231,4fx xxzzz 配方法化二次型标准形：配方法化二次型标准形：（1 1）若二次型中若二次型中含有平方项含有平方项，则在针对某个，则在针对某个含平方项的变量进行配方时，应对所有含此变含平方项的变量进行配方时，应对所有含此

15、变量的项进行配方，使得此配方过程完成后，在量的项进行配方，使得此配方过程完成后，在剩下的项中不能再含有该变量；然后对剩下的剩下的项中不能再含有该变量；然后对剩下的其它变量进行配方，直到所有的变量都完成配其它变量进行配方，直到所有的变量都完成配方。根据配方结果就可以得到可逆线性变换，方。根据配方结果就可以得到可逆线性变换，使得原二次型变为标准形。使得原二次型变为标准形。(2)若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换则先作可逆线性变换0 ija),(ji 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按化二次型为含有平方项的二次型，然后再按(1)中方中方法配方法配方. k

16、kjijiiyxyyxyx jiknk, 2 , 1 且且 kkjijjiiyxyyxyyx或或 .,323121321变变换换并并写写出出所所作作的的可可逆逆线线性性为为标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 思考题思考题P155例例6.4（试用不同的变换）（试用不同的变换）故令故令方项方项由于所给二次型不含平由于所给二次型不含平, 解解 ,33212211 yxyyxyyx,)( 2322312yyyyf 有有 , ,3322311 3322211zyzyzzyyzyzyyz或或再令再令思考题解答思考题解答, 232221zzzf 得标准形得标准形 ., 3332123211zx

17、zzzxzzzx所用可逆线性变换为所用可逆线性变换为有有型型把把此此结结论论应应用用于于二二次次即即使使总总有有正正交交矩矩阵阵阵阵由由于于对对任任意意的的实实对对称称矩矩,.,1 APPAPPPAT 化化为为标标准准形形使使正正交交变变换换总总有有任任给给二二次次型型定定理理fPyxaaxxafjiijnjijiij, 4 . 61, ,2222211nnyyyf .,21的特征值的特征值的矩阵的矩阵是是其中其中ijnaAf 三、正交变换化实对称矩阵为标准型三、正交变换化实对称矩阵为标准型证明：证明：设设 是实二次型，则是实二次型，则A为为实对称矩阵，则一定能找到一个正交矩阵实对称矩阵，则一

18、定能找到一个正交矩阵Q，使得：使得： Tf XX AX 121nQ AQ= D 其中其中 为为A的全部特征值的全部特征值 12,n TQ AQD 则则（6.10） 作正交变换作正交变换 X = QY 2221122nnfXQYA QYY Q AQY =Y DY=yyy TTTT从而得到二次型的标准形从而得到二次型的标准形 用正交替换法化实二次型为标准形的一般步骤：用正交替换法化实二次型为标准形的一般步骤： 1）求出实二次型的矩阵）求出实二次型的矩阵A的全部特征值的全部特征值12,n 2221122nnf X =yyy 2) 求出使求出使A对角化的正交矩阵对角化的正交矩阵Q,即即 .1 AQQA

19、QQT 3)作正交线性替换作正交线性替换 ，可使二次型化为标准形：，可使二次型化为标准形： QYX 解解1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 144241422217A144241422217 AE 9182 .,844141417 323121232221化成标准形化成标准形通过正交变换通过正交变换将二次型将二次型Pyxxxxxxxxxxf 例例4 4从而得特征值从而得特征值.18, 9321 得基础解系得基础解系代入代入将将, 091 xEA 2 2求特征向量求特征向量 得得基基础础解解系系代代入入将将, 01832 xEA ,)0 , 1 , 2(2

20、 T .)1 , 0 , 2(3 T 3 3将特征向量正交化将特征向量正交化,11 取取.)1 , 1 , 21(1T ,22 ,2223233 得正交向量组得正交向量组.)1 , 54, 52(3 T ,)0 , 1 , 2(2 T ,)1 , 1 , 21(1T ,3 , 2 , 1, iiii 令令得得,051522 ,3232311 .4554544523 .45503245451324525231 P 所所以以4 4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵P于是所求正交变换为于是所求正交变换为,45503245451324525231321321 yyyxxx.1

21、8189232221yyyf 且且有有解解.22 2222 , 434232413121化化为为标标准准形形把把二二次次型型求求一一个个正正交交变变换换xxxxxxxxxxxxfPyx 二次型的矩阵为二次型的矩阵为,0111101111011110 A它它的的特特征征多多项项式式为为例例5.111111111111 AE有有四列都加到第一列上四列都加到第一列上三三把二把二计算特征多项式计算特征多项式,:,1111111111111)1( AE有有四行分别减去第一行四行分别减去第一行三三把二把二,1000212022101111)1( AE1221) 1(2 .)3()32() 1() 1(32

22、2 . 1, 34321 的特征值为的特征值为于是于是A, 0)3(,31 xAE解方程解方程时时当当 ,11111 得基础解系得基础解系.1111211 p单位化即得单位化即得, 0)(,1432 xAE解方程解方程时时当当 ,1111,1100,0011232 可得正交的基础解系可得正交的基础解系单位化即得单位化即得 21212121,212100,002121432ppp于是正交变换为于是正交变换为 yyyyxxxx432143212121021212102121021212102121.324232221yyyyf 且有且有 将一个二次型化为标准形，可以用将一个二次型化为标准形，可以用

23、正交变换法正交变换法，也可以用也可以用配方法配方法，或者，或者初等变换方法初等变换方法，这取决于问，这取决于问题的要求题的要求如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用正交变换法的好处换，那么各种方法都可以使用正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用配方法反而比较简单需要注意的是，使用配方法反而比较简单需要注意的是，使用不使用不同的方法同的方法，所得到的标准形可能不相同所得到的标准形可能不相同，但标准形但标准形中含有的非零项数必定相同中含有的非零项数必定相同，项数等于所给二次型项数等于所给二次型的秩的秩注意：注意：