2020年九年级中考数学专项训练——二次函数.docx

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1、二次函数1如图，抛物线yax2+x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C直线yx2经过点A，C（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m当PCM是直角三角形时，求点P的坐标；作点B关于点C的对称点B，则平面内存在直线l，使点M，B，B到该直线的距离都相等当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：ykx+b的解析式（k，b可用含m的式子表示）2 设二次函数y=（xx1）（xx2）（x1，x2是实数）（1）甲求得当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；乙求得当x时，y若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗

2、？说明理由（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0x1x21时，求证：00，n0，求m，n的值 5如图，已知抛物线yax2+bx+5经过A（5，0），B（4，3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t当点P在直线BC的下方运动时，求PBC的面积的最大值；该抛物线上是否存在点P，使得PBCBCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由6 某纪念品专卖店上周批发买进100

3、件A纪念品和300件B纪念品，花费9600元；本周批发买进200件A纪念品和100件B纪念品，花费6200元（1）求每件A纪念品和B纪念品的批发价各为多少元？（2）经市场调研，当A纪念品每件的销售价为30元时，每周可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每周的销售数量将减少10件当每件的销售价a为多少时，该纪态品专卖店销售A纪念品每周获得的利润W最大？并求出最大利润 7 某农作物的生长率p与温度t（）有如下关系：如图，当10t25时可近似用函数p刻画；当25t37时可近似用函数p（th）2+0.4刻画（1）求h的值（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p之间满足已学过的函数关系

4、，部分数据如下：生长率p0.20.250.30.35提前上市的天数m（天）051015求：m关于p的函数表达式；用含t的代数式表示m天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度大棚恒温20时每天的成本为100元，计划该作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20t25时的成本为200元/天，但若欲加温到25t37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由（注：农作物上市售出后大棚暂停使用）8如图，在平面直角坐标系中，RtABC的边BC在x轴上，ABC90，以

5、A为顶点的抛物线yx2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上（1）求抛物线解析式；（2）若点P从A点出发，沿AB方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PDAB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，ACQ的面积最大？最大值是多少？（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由9如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+2（a0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与

6、y轴交于点C，抛物线经过点D（2，3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点（1）求直线DE和抛物线的表达式；（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN2，动点Q从点P出发，沿PMNA的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标10如图抛物线yax2+bx+c经过点A（1，0），点C（0，3），且OBOC（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D、E在直线x1上的两个动点，且DE1，点D在点E的上方，求

7、四边形ACDE的周长的最小值（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标 答案1解：（1）当x0时，yx22，点C的坐标为（0，2）；当y0时，x20，解得：x4，点A的坐标为（4，0）将A（4，0），C（0，2）代入yax2+x+c，得：，解得：，抛物线的解析式为yx2+x2（2）PMx轴，PMC90，分两种情况考虑，如图1所示（i）当MPC90时，PCx轴，点P的纵坐标为2当y2时， x2+x22，解得：x12，x20，点P的坐标为（2，2）；（ii）当PCM90时，设PC与x轴交于点DOAC+OCA90，OCA+OCD90，OACOCD

8、又AOCCOD90，AOCCOD，即，OD1，点D的坐标为（1，0）设直线PC的解析式为ykx+b（k0），将C（0，2），D（1，0）代入ykx+b，得：，解得：，直线PC的解析式为y2x2联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，点P的坐标为（6，10）综上所述：当PCM是直角三角形时，点P的坐标为（2，2）或（6，10）当y0时， x2+x20，解得：x14，x22，点B的坐标为（2，0）点C的坐标为（0，2），点B，B关于点C对称，点B的坐标为（2，4）点P的横坐标为m（m0且m2），点M的坐标为（m，m2）2 （1）乙求得的结果不正确，理由如下：当x=0时，y=0；当x=1

9、时，y=0；二次函数经过点（0，0），（1，0），x1=0，x2=1，yx（x1）=x2x，当x时，y，乙求得的结果不正确；（2）对称轴为x，当x时，函数的最小值是；（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，m=x1x2，n=1x1x2+x1x2，mn=，0x1x21，0，0，0mn3解：（1）C1：yax22ax3aa（x1）24a，顶点（1，4a）围绕点P（m，0）旋转180的对称点为（2m1，4a），C2：ya（x2m+1）2+4a，函数的对称轴为：x2m1，t2m1，故答案为：2m1；（2）a1时，C1：y（x1）2+4，当t1时，x时，有最小值y2，xt时，有最大值y1（t

10、1）2+4，则y1y2（t1）2+41，无解；1t时，x1时，有最大值y14，x时，有最小值y2（t1）2+4，y1y21（舍去）；当t时，x1时，有最大值y14，xt时，有最小值y2（t1）2+4，y1y2（t1）21，解得：t0或2（舍去0），故C2：y（x2）24x24x；（3）m0，C2：ya（x+1）2+4a，点A、B、D、A、D的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，3a）、（0，1）、（3a，0），当a0时，a越大，则OD越大，则点D越靠左，当C2过点A时，ya（0+1）2+4a1，解得：a，当C2过点D时，同理可得：a1，故：0a或a1；当a0时，当C2过点D时，3a1，解得

11、：a，故：a；综上，故：0a或a1或a利用待定系数法可求出：直线BM的解析式为yx+，直线BM的解析式为yx，直线BB的解析式为yx2分三种情况考虑，如图2所示：当直线lBM且过点C时，直线l的解析式为yx2；当直线lBM且过点C时，直线l的解析式为yx2；当直线lBB且过线段CM的中点N（m，m2）时，直线l的解析式为yxm2综上所述：直线l的解析式为yx2，yx2或yxm24 （1）令y=0，则，解得x1=2，x2=6，A（2，0），B（6，0），由函数图象得，当y0时，2x6；（2）由题意得，B1（6，m），B2（6n，m），B3（n，m），函数图象的对称轴为直线，点B2，B3在二次函数

12、图象上且纵坐标相同，n=1，m，n的值分别为，15解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：yx2+6x+5，令y0，则x1或5，即点C（1，0）；（2）如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：yx+1，设点G（t，t+1），则点P（t，t2+6t+5），SPBCPG（xCxB）（t+1t26t5）t2t6，0，SPBC有最大值，当t时，其最大值为；设直线BP与CD交于点H，当点P在直线BC下方时，PBCBCD，点H在BC的中垂线上，线段BC的中点坐标为（，），过该点与BC垂直的直线的k值为1，设

13、BC中垂线的表达式为：yx+m，将点（，）代入上式并解得：直线BC中垂线的表达式为：yx4，同理直线CD的表达式为：y2x+2，联立并解得：x2，即点H（2，2），同理可得直线BH的表达式为：yx1，联立并解得：x或4（舍去4），故点P（，）；当点P（P）在直线BC上方时，PBCBCD，BPCD，则直线BP的表达式为：y2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s5，即直线BP的表达式为：y2x+5，联立并解得：x0或4（舍去4），故点P（0，5）；故点P的坐标为P（，）或（0，5）6 （1）设每件A纪念品的批发价为x元，B纪念品的批发价的为y元，依题意，解得，即每件A纪念品的批发价为18元，B纪念

14、品的批发价的为26元（2）由（1）知每件A纪念品的批发价为18元，依题意得W=（a-18+a-30）200-10（a-30）=（2a-48）（500-10a）=-20a2+1480a-24000整理得W=-20（a-37）2+3380-200W有最大值，即当a=27时，有最大值3380，即当每件的销售价a为37元时，该纪态品专卖店销售A纪念品每周获得的利润W最大为3380元7 （1）把（25，0.3）代入p（th）2+0.4，得0.3（25h）2+0.4，解得h=29或h=21，25t37，h=29（2）由表格可知，m是p的一次函数，设m=kp+b，把（0.2，0），（0.3，10）代入得，解

15、得，m=100p20当10t25时，p，m=100（）20=2t40；当25t37时，p（t29）2+0.4，m=100（t29）2+0.420（t29）2+20，m.当20t25时，增加的利润为：600m+10030200（30m）=800m3000=1600t35000，当t=25时，增加的利润的最大值为16002535000=5000（元）；当25t37时，增加的利润为：600m+10030400（30m）=1000m9000=625（t29）2+11000，当t=29时，增加的利润的最大值为11000元综上，当t=29时，提前20天上市，增加的利润最大，最大值为11000元 8解：（1

16、）将点C、E的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的解析式为：yx2+2x+3，则点A（1，4）；（2）将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AC的表达式为：y2x+6，点P（1，4t），则点D（，4t），设点Q（，4），SACQDQBCt2+t，0，故SACQ有最大值，当t2时，其最大值为1；（3）设点P（1，m），点M（x，y），当EC是菱形一条边时，当点M在点P右方时，点E向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C，则点P向右平移3个单位、向下平移3个单位得到M，则1+3x，m3y，而MPEP得：1+（m3）2（x1）2+（ym）2，解得：ym3，故点M（4，）；当点M在点

17、P左方时，同理可得：点M（2，3+）；当EC是菱形一对角线时，则EC中点即为PM中点，则x+13，y+m3，而PEPC，即1+（m3）24+m2，解得：m1，故x2，y3m312，故点M（2，2）；综上，点M（4，）或（2，3+）或M（2，2）9解：（1）将点D、E的坐标代入函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：yx2+x+2，同理可得直线DE的表达式为：yx1；（2）如图1，连接BF，过点P作PHy轴交BF于点H，将点FB代入一次函数表达式，同理可得直线BF的表达式为：yx+1，设点P（x，x2+x+2），则点H（x，x+1），S四边形OBPFSOBF+SPFB41+PHBO2+2（x

18、2+x+2+x1）7，解得：x2或，故点P（2，3）或（，）；（3）当点P在抛物线对称轴的右侧时，点P（2，3），过点M作AMAN，过作点A直线DE的对称点A，连接PA交直线DE于点M，此时，点Q运动的路径最短，MN2，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点A（1，2），AADE，则直线AA过点A，则其表达式为：yx+3，联立得x2，则AA中点坐标为（2，1），由中点坐标公式得：点A（3，0），同理可得：直线AP的表达式为：y3x+9，联立并解得：x，即点M（，），点M沿ED向下平移2个单位得：N（，）10解：（1）OBOC，点B（3，0），则抛物线的表达式为：ya（x+1）（x3）a（x22

19、x3）ax22ax3a，故3a3，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx2+2x+3，函数的对称轴为：x1；（2）ACDE的周长AC+DE+CD+AE，其中AC、DE1是常数，故CD+AE最小时，周长最小，取点C关于函数对称点C（2，3），则CDCD，取点A（1，1），则ADAE，故：CD+AEAD+DC，则当A、D、C三点共线时，CD+AEAD+DC最小，周长也最小，四边形ACDE的周长的最小值AC+DE+CD+AE+AD+DC+AC+；（3）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，又SPCB：SPCAEB（yCyP）： AE（yCyP）BE： AE，则BE：AE，3：5或5：3，则AE或，即：点E的坐标为（，0）或（，0），将点E、C的坐标代入一次函数表达式：ykx+3，解得：k6或2，故直线CP的表达式为：y2x+3或y6x+3联立并解得：x4或8（不合题意值已舍去），故点P的坐标为（4，5）或（8，45）