高中数学数列ppt课件.ppt

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1、数列求和专题启明学校启明学校 王长征王长征 电话：电话：13081889806变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数列求和介绍求一个数列的前 n 项和的几种方法：1 运运 用用 公公 式式 法法3 错错 位位 相相 减减 法法4 裂裂 项项 相相 消消 法法2 通通 项项 分分 析析 法（分组求和法）法（分组求和法）1.公式法：等差数列的前n项和公式：等比数列的前n项和公式 了解 了解n即直接用求和公式，求数列的前n和S11()(1)22nnn aan nSnad111(1)(1)(1)11nn

2、nna qSaa qaqqqq11 23(1)2nn n 22221123(1)(21)6nn nn23333(1)1232n nn例例1 1：若实数若实数a,ba,b满足：满足： 求：求：分析分析：通过观察，看出所求得数列实际上就是等比通过观察，看出所求得数列实际上就是等比数列其首项为数列其首项为a，公比为，公比为ab，因此由题设求出，因此由题设求出a,b，再用等比数列前再用等比数列前n项和公式求和项和公式求和2249462 0abab 23 2100 99a a b a ba b22(441)(961)0aabb解：由已知有1.3b 1解得a= ，222(31)0b即：（2a-1）2321

3、 0 09 9aababab1 0 01()1aa ba b1 0 0111()261161 0 031(1) .56例例2 求和：求和：1+(1/ a)+(1/a2)+(1/an)解：解：1，1/a,1/a21/an是首项为是首项为1，公比为，公比为1/a的等比数列，的等比数列，原式原式=原因：原因：上述解法错误在于，当公比上述解法错误在于，当公比1/a=1即即a=1时，前时，前n 项和公式项和公式不再成立。不再成立。111111naa111nnnaaa例例2 求和：求和： 1+(1/ a)+(1/a2)+(1/an)解：当a=1时，S 当a1时，111111naSa1n ；111nnnaa

4、a1111nnnSaaan+1，a=1aS变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分在求等比数列前在求等比数列前n项和时，要特别项和时，要特别注意公比注意公比q是否为是否为1。当。当q不确定时不确定时要对要对q分分q=1和和q1两种情况讨论求两种情况讨论求解。解。对策：对策：2.2.分组求和法分组求和法：若数列若数列 的通项可转化为的通项可转化为 的形式，且数列的形式，且数列 可求出前可求出前n n项和项和 则则1211221212()()()()()nnnnnnbcsaaabcbcbcbbbcccs

5、snnnabc nc nbbscs na例例3.求下列数列的前求下列数列的前n项和项和（1） 111112,4,6,248162nn 222221112 () ,() ,()nnxxxxxx解（解（1）：该数列的通项公式为）：该数列的通项公式为 1122nnan11111246(2)48162nnsn1111(2462 )()482nn111( 22)421212nnn111(1 )22nnn22211(2)()2nnnnnaxxxx1x 当时，1nx当时 ， S242242111()()2nnxxxnxxx242242111(2)(2)(2)nnnSxxxxxx22222(1)(1)2(1)

6、nnnxxnxx24nnnnnS22222211(1)(1)2111nnxxxxnxx变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分222224 (1)(1)(1)2 (1)(1)nnnnn xSxxn xxx 2112nnSaaan练习： （）求 2112nnSaaan解：212naaann当a=1时S，12n nn21122nn0,n当a1S时，1112naan nan当a=0时S，12n n 12223 543 523 5nnSn 解：122423 555nn111( 22)5531215nnnn5

7、1143) 1n(n 12223 543 523 5nnSn 求nnaAnBqCnnnaApBqC规律概括：如果一个数列的通项可分成两项规律概括：如果一个数列的通项可分成两项之和（或三项之和）则可用分组求和法：在之和（或三项之和）则可用分组求和法：在本章我们主要遇到如下两种形式的数列本章我们主要遇到如下两种形式的数列.其一：通项公式为：其一：通项公式为：其二：通项公式为：其二：通项公式为：变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例5、Sn = + +1131351(2n-1)(2n+1)分析分析：

8、观察数列的前几项：观察数列的前几项：1(2n-1)(2n+1)= （ - ）21 2n-11 2n+11这时我们就能把数列的每一项裂成这时我们就能把数列的每一项裂成两项再求和，这种方法叫什么呢？两项再求和，这种方法叫什么呢？裂项相裂项相消法消法113= （ -213111）1111()35235变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例5、Sn = + +1131351(2n-1)(2n+1)解：由通项解：由通项an=1(2n-1)(2n+1)= （ - ）21 2n-11 2n+11Sn= （

9、- + - + - ) 2131115131 2n-11 2n+11= （1 - ）21 2n+11 2n+1n=评：裂项相消法的关键就是将数列的每评：裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。有规律的抵消项，进而达到求和的目的。变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分4.4.拆项相消法拆项相消法（或裂项法）：（或裂项法）：若数列若数列 的通项公的通项公式拆分为某数列相邻两项之差的形式即：式拆分为某数列相邻两

10、项之差的形式即：或（或（ ）则可用如下方法求前）则可用如下方法求前n n项和项和 . .111()nnnambb111()nnnambbnsnannaaaas32112321111111()()()nnmmmbbbbbb变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分nb例例6、设、设 是公差是公差d 不为零的等差数列不为零的等差数列 ， 满足满足 求：求： 的前的前n项和项和na11nnnaab解:11nnnba a11nnnnaada a1111()nndaa123nnSbbbb)11(1)11(1)1

11、1(113221nnaadaadaad122311111111()nndaaaaaa11111()ndaa11.nna a它的拆项它的拆项方法你掌方法你掌握了吗？握了吗？ nb变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分常见的拆项公式有：常见的拆项公式有：111) 1(1. 1nnnn)11(1)(1.2knnkknn)121121(21) 12)(12(1. 3nnnn)2)(1(1)1(121)2)(1(1.4nnnnnnn)(11. 5bababa变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与

12、电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分1123nan解：2(1)n n112()1nn111112(1)()()2231nSnn12(1)1n21nn1123nann练 习 ： 求的 前 项 和例例4、求和、求和Sn =1+2x+3x2+nxn-1 (x0,1)分析分析这是一个等差数列这是一个等差数列n与一个等比数列与一个等比数列xn-1的对应的对应相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？Sn =1 + 2x +3x2 + +nxn-1 xSn = x + 2x2 + (n-1)xn-1 + nxn

13、 (1-x)Sn =1 + x + x2+ + xn-1 - nxn n项这时等式的右边是一个这时等式的右边是一个等比数列的前等比数列的前n项和与一项和与一个式子的和，这样我们个式子的和，这样我们就可以化简求值。就可以化简求值。错位相减法相减例例4、求和、求和Sn =1+2x+3x2+ +nxn-1 (x0,1)解：解： Sn =1 + 2x +3x2 + +nxn-1xSn = x + 2x2 + + (n-1)xn-1+nxn -，得：，得：(1-x) Sn =1+x+x2+ + xn-1 - nxn Sn= 1-(1+n)xn+nxn+1(1-x)2 1-xn1-x=- nxn3.3.错

14、位相减法错位相减法：设数列设数列 是公差为是公差为d d的等差数列的等差数列（d d不等于零），数列不等于零），数列 是公比为是公比为q q的等比数列的等比数列(q(q不不等于等于1 1），数列），数列 满足：满足： 则则 的前的前n n项项和为：和为：na nbnnnca b nc nc123112233nnnnScccca ba ba ba b练习：练习：求和求和Sn= 1/2+3/4+5/8+(2n-1)/2n答案：答案：Sn =3-2n+32n求和求和Sn= 1/2+3/4+5/8+(2n-1)/2n111113523214822nnnn n1解：设S =12111132321822n

15、nnn n11S =124相减得，111122221822nnn n111S =1224111122221422nnn n1S =12111212422nnn 1=121111212221212nnn =1232nn=3变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分本课小结：本课小结：数列求和的一般步骤：数列求和的一般步骤：等差、等比数列直接应用等差、等比数列直接应用求和公式求和公式求和。求和。非等差、等比的数列，通过通项化归的思非等差、等比的数列，通过通项化归的思想设法转化为等差、等比数列，常用方法想设

16、法转化为等差、等比数列，常用方法有有倒序相加法、错位相减法、拆项并组法倒序相加法、错位相减法、拆项并组法不能转化为等差、等比的数列，往往通过不能转化为等差、等比的数列，往往通过裂项相消法裂项相消法求和。求和。作业：1111(1).147(32)2482nnSn221(2)1(1)(1)(1)nnSaaaaaa23(3).230nnSxxxnxx 114313212114nnSn ,11,321,211 )5(nnSn1111(1).147(32)2482nnSnnnnnS21121232221(2)1(1)(1)(1)nnSaaaaaa,12,1nnSan时当.111,12aaaanSann 时当23(3).230nnSxxxnxx,12,1nnSxn时当.111,112xnxxxxSxnnn时当 114313212114nnSn1nnSn