江苏省苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研（二）数学试题（含附加题）（解析版）.docx

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1、江苏省20192020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题第I卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1已知集合A1，2，B1，a，若AB1，a，2，则a 2若复数z满足(1i)z1i，其中i是虚数单位，则z的实部为 3某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在50，100内，将学生成绩分成50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在80，90)内的学生人数是 4一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y的值为 5某班推选一名学生管理班级防疫

2、用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为 6函数的定义域为 7在平面直角坐标系xOy中，抛物线y24x的焦点是双曲线的顶点，则a 8已知等比数列的前n项和为，则 9已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为6，点M是对角线A1C上靠近点A1的三等分点，则三棱锥CMBD的体积为 10已知定义在R上的奇函数的周期为2，且x0，1时，则ab 11已知锐角满足，则 12如图，在ABC中，ABC，AB1，BC3，以AC为一边在ABC的另一侧作正三角形ACD，则 13在平面直角坐标系xOy中，AB是圆O：x2y21的直径，且点A在

3、第一象限；圆O1：(xa)2y2r2(a0)与圆O外离，线段AO1与圆O1交于点M，线段BM与圆O交于点N，且，则a的取值范围为 14已知a，bR，abt（t为常数），且直线yaxb与曲线（e是自然对数的底数，e2.71828）相切若满足条件的有序实数对(a，b)唯一存在，则实数t的取值范围为 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分14分）已知ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且bsin2AasinB（1）求A；（2）求cos(B)sin(C)的最大值16（本小题满分14分）已知在四棱柱ABCDA

4、1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且平面A1ADD1平面ABCD，DA1DD1，点E，F分别为线段A1D1，BC的中点（1）求证：EF平面CC1D1D；（2）求证：ACEBD17（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(ab0)的离心率为，右焦点到右准线的距离为3（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P(0，1)的直线l与椭圆C交于两点A，B己知在椭圆C上存在点Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求Q的坐标18（本小题满分16分）某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B现规划修建

5、一条新路（由线段MP，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q，所对的圆心角为记PCA（道路宽度均忽略不计）（1）若，求QN的长度；（2）求新路总长度的最小值19（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且对任意n，恒成立（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，已知，(2ij)成等差数列，求正整数i，j20（本小题满分16分）已知函数，m，nR（1）当m0时，求函数的极值；（2）当n0时，函数在(0，)上为单调函数，求m的取值范围；（3）当n0时，判断是否存在正数m，使得函数与有相同的零

6、点，并说明理由第II卷（附加题，共40分）21【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤A选修42：矩阵与变换已知点M(2，1)在矩阵A对应的变换作用下得到点N(5，6)，求矩阵A的特征值B选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求曲线C和直线l的普通方程；（2）点P是曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值C选修45：不等式选讲已知a，b，c是正数，求证：对任意R，不等式恒成立【必做题】第22题、第2

7、3题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB2，ADAP3，点M是棱PD的中点（1）求二面角MACD的余弦值；（2）点N是棱PC上的点，已知直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为，求的值23（本小题满分10分）已知数列中，( n)（1）分别比较下列每组中两数的大小：和；和；（2）当n3时，证明：江苏省20192020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题第I卷（必做题，共160分）1已知集合A1，2，B1，a，若AB1，a，2，则a 答案：1考点：集合并集运算解析：

8、集合A1，2，B1，a，且AB1，a，2， a12若复数z满足(1i)z1i，其中i是虚数单位，则z的实部为 答案：0考点：复数解析：，z的实部为03某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在50，100内，将学生成绩分成50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在80，90)内的学生人数是 答案：30考点：频率分布直方图解析：4一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y的值为 答案：1考点：伪代码解析：第一步：y2，x2； 第一步：y1，x1；故最后输出的y的值为15某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等

9、可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为 答案：2考点：随机变量的概率解析：“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的， 男生人数与女生人数的比值为26函数的定义域为 答案：(0，2考点：函数的定义域解析：，故与函数的定义域为(0，27在平面直角坐标系xOy中，抛物线y24x的焦点是双曲线的顶点，则a 答案：1考点：抛物线与双曲线的简单性质解析：抛物线y24x的焦点是(1，0)， 双曲线的顶点为(1，0)，故a18已知等比数列的前n项和为，则 答案：2或8考点：等比数列的简单性质解析：为等比数列，当时，此时2；当时，此时，综上所述，2或89已知正

10、方体ABCDA1B1C1D1的棱长为6，点M是对角线A1C上靠近点A1的三等分点，则三棱锥CMBD的体积为 答案：24考点：棱锥的体积解析：10已知定义在R上的奇函数的周期为2，且x0，1时，则ab 答案：0考点：函数的奇偶性与周期性解析：为定义在R上的奇函数， 函数的周期为2，由，得 11已知锐角满足，则 答案：2考点：三角恒等变换解析：， ， 化简得，两边同时除以得， ，为锐角，0 解得， 12如图，在ABC中，ABC，AB1，BC3，以AC为一边在ABC的另一侧作正三角形ACD，则 答案：4考点：平面向量的数量积解析：取AC中点E，则 13在平面直角坐标系xOy中，AB是圆O：x2y21

11、的直径，且点A在第一象限；圆O1：(xa)2y2r2(a0)与圆O外离，线段AO1与圆O1交于点M，线段BM与圆O交于点N，且，则a的取值范围为 答案：(，4)考点：圆与圆的位置关系解析：四边形ONO1M为平行四边形，即ONMO1r1， 且ON为ABM的中位线AM2ON2AO13， 故点A在以O1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：， 故与x2y21在第一象限有交点，即2a4， 求得，故a的取值范围为(，4)14已知a，bR，abt（t为常数），且直线yaxb与曲线（e是自然对数的底数，e2.71828）相切若满足条件的有序实数对(a，b)唯一存在，则实数t的取值范围为 答案：(，)e考点：

12、利用导数研究函数的切线，函数与方程解析：设切点为(，) ，有唯一解，(，2)2(2，1)1(1，)00递减递增e递减故有唯一解时t的取值范围为(，)e二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分14分）已知ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且bsin2AasinB（1）求A；（2）求cos(B)sin(C)的最大值解：（1）bsin2AasinB，2bsinAcosAasinB， 由正弦定理，得， ， 又三角形内角A ，A； （2）由（1）A，又ABC，得C，B， cos(B)sin(C) B，当，即时

13、，取最大值1，cos(B)sin(C)的最大值为116（本小题满分14分）已知在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且平面A1ADD1平面ABCD，DA1DD1，点E，F分别为线段A1D1，BC的中点（1）求证：EF平面CC1D1D；（2）求证：ACEBD证明：（1）连结CD，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1B1C1D1，BB1C1C是平行四边形，A1D1/B1C1，BC/B1C1，且A1D1B1C1，BCB1C1，又点E，F分别为线段AD，BC的中点，ED1/FC，ED1FC，所以四边形ED1CF是平行四边形，EF/CD1，又EF平面CC1D1D，CD平面CC1D1D

14、，EF/平面CC1D1D （2）四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形AA1D1D是平行四边形，AD/A1D1，在DA1D1中，DA1DD1，点E为线段A1D1的中点，DEA1D1，又AD/A1D1，DEAD，又平面A1ADD1平面ABCD，平面A1ADD1平面ABCDAD，DE平面A1ADD1，DE平面ABCD，又AC平面ABCD，DEAC，底面ABCD是菱形，BDAC，又BDDED，BD，DE平面EBD，AC平面EBD17（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(ab0)的离心率为，右焦点到右准线的距离为3（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P(0，1)的直线l与椭圆C交于

15、两点A，B己知在椭圆C上存在点Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求Q的坐标解：（1）设焦距为2c， 椭圆C的离心率为， 右焦点到右准线的距离为3， 由，解得a2，c1，故b2a2c23， 椭圆C的标准方程为， （2）当直线l斜率不存在时，四边形OAQB不可能平行四边形，故直线l斜率存在 直线l过点P(0，1)，设直线l为：， 设A(，)，B(，)，由四边形OAQB是平行四边形，得Q(，)，化简得：， Q(，)，点Q在椭圆C上， ，解得，代入Q的坐标，得 Q(1，)或(1，)18（本小题满分16分）某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周已有两条互相垂直的道路OE，O

16、F，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B现规划修建一条新路（由线段MP，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q，所对的圆心角为记PCA（道路宽度均忽略不计）（1）若，求QN的长度；（2）求新路总长度的最小值解：（1）连接CB，CN，CM，OMON，OM，ON，PM，QN均与圆C相切 CBON，CAOM，CPMP，CQNQ，CBCA PCA，PCQ，QCB， 此时四边形BCQN是正方形，QNCQ1， 答：QN的长度为1千米； （2）PCA，可得MCP，NCQ， 则MP，NQ 设新路长为，其中(，)，即 ， ，当时取

17、“”， 答：新路总长度的最小值为19（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且对任意n，恒成立（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，已知，(2ij)成等差数列，求正整数i，j解：（1）， ， 数列各项均为正数，等式两边同时除以， 得，故数列是等差数列，首项为2，公差为0， ，即，求得，(n2)，得，即，又，对任意n，数列是以2为首项，2为公比的等比数列故数列的通项公式为； （2），(2ij)成等差数列，变形得(*)，当时，令(i3)，则(i3)，数列单调递减，故，故时*式不成立，当时，*式转化为，解得i4，故j520（本小题满分16分）已知函数，m，nR（1

18、）当m0时，求函数的极值；（2）当n0时，函数在(0，)上为单调函数，求m的取值范围；（3）当n0时，判断是否存在正数m，使得函数与有相同的零点，并说明理由解：（1）当m0时， ，令，解得x1，列表如下：x(0，1)1(1，)0单调递增单调递减当x1时，函数有极大值1，无极小值； （2）当n0时，函数，要使函数在(0，)上为单调函数，则对(0，)，或恒成立，令，或恒成立当0m2时，(0，)(，)时，(，)时，不符题意；当m0时，(0，)(，)时，(，)时，不符题意；当m2时，(0，)时，(，)时，不符题意；当m0时，此时恒成立，函数在(0，)上单调递减，符合题意，综上所述，m的取值范围为0；

19、（3）函数与有相同的零点，不妨设为相同的零点则，得，有（1）知，故，令，又，故当(1，n3)时，式有解，且能满足，存在正数m，使得函数与有相同的零点第II卷（附加题，共40分）21【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤A选修42：矩阵与变换已知点M(2，1)在矩阵A对应的变换作用下得到点N(5，6)，求矩阵A的特征值解：点M(2，1)在矩阵A对应的变换作用下得到点N(5，6)， ，则，解得，A， ，令，得，解得， 矩阵A的特征值为4或1B选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参

20、数)以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求曲线C和直线l的普通方程；（2）点P是曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值解：（1）由题意，曲线C的普通方程为，直线l的普通方程为（2）设P(2cos，sin)，则P到直线l的距离所以当1时，dmin所以P到直线l的距离的最小值为C选修45：不等式选讲已知a，b，c是正数，求证：对任意R，不等式恒成立证明：对于正数a，b，c，由均值不等式得， 当且仅当abc时取“”， 任意，由绝对值不等式得 当且仅当x1时取“”， 对任意，都有不等式成立【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说

21、明，证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB2，ADAP3，点M是棱PD的中点（1）求二面角MACD的余弦值；（2）点N是棱PC上的点，已知直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为，求的值解：（1）以，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则各点的坐标为A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0)，P(0，0，3)， M(0，)，(0，0，3)，(2，3，0)，(0，)因为PA平面ABCD，所以平面ACD的一个法向量为(0，0，3)，设平面MAC的法向量为(x，y，z)，所以，即，取(3，2，2)，cos，二面角MACD的余弦值为； （2）设，其中， ， 平面ABCD的一个法向量为(0，0，3)， 直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为，化简得，即，23（本小题满分10分）已知数列中，( n)（1）分别比较下列每组中两数的大小：和；和；（2）当n3时，证明：解：（1），； ，； （2）先用数学归纳法证明：当n3时， 当n3时，； 假设当nk（k3，k）时，结论成立，即， 当nk1时， 其中， ，当nk1时，结论也成立， 综上所得，当n3时， 从而，当n3时， 则， 当n3时，22