2020届高考数学（理）单元质量测试(六)经典.docx

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1、单元质量测试(六)时间：120分钟满分：150分第卷(选择题，共60分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是()A圆柱 B圆锥 C棱锥 D棱柱答案B解析易知仅圆锥的三视图中一定不会出现正方形，故选B.2新疆乌鲁木齐模拟已知一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是，(1,1,0)，(1,0,1)，画该四面体三视图中的正视图时，以yOz平面为投影面，则得到的正视图可以为()答案A解析由直观图可得A中的图正确，故选A.3已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为6，则这个正四棱柱的体积为

2、()A1 B2 C3 D4答案B解析S表4R26，R，设正四棱柱底面边长为x，则x2x222(2R)2，x1.V正四棱柱2.故选B.4贵阳期末设m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列命题：若m，m，则；若m，m，则；若m，n，则mn；若m，n，则mn.上述命题中，所有真命题的序号是()A B C D答案A解析对于，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，所以正确；对于，平行于同一条直线的两个平面的位置关系不确定，所以错误；对于，平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，所以错误；对于，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，所以正确故选A.5某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆

3、)，则该几何体的表面积为()A9214 B8214C9224 D8224答案A解析由三视图可知，此几何体上半部分是半个圆柱，圆柱的底面半径为2，高为5，下半部分是一个长方体，长、宽、高分别为5、4、4，故此几何体的表面积为44245349214.故选A.6已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A36 B64 C144 D256答案C解析SOAB是定值，且VOABCVCOAB，当OC平面OAB时，VCOAB最大，即VOABC最大设球O的半径为R，则(VOABC)maxR2RR336，R6，球O的表面积S4R246214

4、4.72018山西四校联考如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出下列五个结论：PD平面AMC；OM平面PCD；OM平面PDA；OM平面PBA；OM平面PBC.其中正确的个数有()A1 B2 C3 D4答案C解析矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点在PBD中，M是PB的中点，所以OM是PBD的中位线，OMPD，则PD平面AMC，OM平面PCD，且OM平面PDA.因为MPB，所以OM与平面PBA、平面PBC相交故选C.8已知甲、乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同，如图所示记甲的体积为V甲，乙的体积为V乙，则()AV甲V乙

5、DV甲，V乙的大小不能确定答案C解析如图，在正方体中，甲几何体的直观图是四棱锥DA1B1C1D1，乙几何体的直观图是三棱锥DA1B1C1，显然有V甲V乙，故选C.9山西五校联考九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为()A5000立方尺 B5500立方尺C6000立方尺 D6500立方尺答案A解析该楔体的直观图如图中

6、的几何体ABCDEF.取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥FGBCH与三棱柱ADEGHF的体积之和又可以将三棱柱ADEGHF割补成高为EF，底面积为S31平方丈的一个直棱柱，故该楔体的体积V22315立方丈5000立方尺10全国卷在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4 B. C6 D.答案B解析易知AC10.设底面ABC的内切圆的半径为r，则68(6810)r，所以r2，因为2r43，所以最大球的直径2R3，即R.此时球的体积VR3.故选B.11福建泉州二模某几何体的三视图如图所

7、示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是()A圆弧 B抛物线的一部分C椭圆的一部分 D双曲线的一部分答案D解析根据几何体的三视图可得，侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分故选D.12广东广州一模九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑若三棱锥PABC为鳖臑，PA平面ABC，PAAB2，AC4，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()A8 B12 C20 D24答案C解析将三棱锥PABC放在长方体中，如图，三棱锥PABC的外接球就是长方体的外接球因为PAAB2，A

8、C4，ABC为直角三角形，所以BC2.设外接球的半径为R，依题意可得(2R)22222(2)220，故R25，则球O的表面积为4R220.故选C.第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则_.答案解析由水面高度升高r，得圆柱体积增加R2r，恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有r3R2r.故.14.直三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在球O的球面上若ABBC2，ABC90，AA12，则球O的表面积为_答案16解析由题设可知，直三棱柱可以补成一个球的内接长方

9、体，所以球的直径为长方体的体对角线长，即4，故球O的表面积S4R216.15已知某几何体的三视图如图所示，则其体积为_答案8解析由三视图可知该几何体为一个底面半径为1，高为5的圆柱与一个底面半径为1，高为3的圆柱的组合体，其体积为V12(53)8.16唐山模拟已知一个几何体由八个面围成，每个面都是正三角形，有四个顶点在同一平面内且为正方形，若该八面体的棱长为2，所有顶点都在球O上，则球O的表面积为_答案8解析依题意，该八面体的各个顶点都在同一球面上，则其中四点所组成的截面在球的大圆面上，因为该八面体的棱长为2，所以这四点组成的正方形的对角线的长为2，故球的半径为，该球的表面积为4()28.三、

10、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)四棱锥SABCD的三视图和直观图如图所示，其中正视图和侧视图为两个全等的直角三角形，俯视图为正方形，M，N，P分别为AB，SA，AD的中点(1)求四棱锥SABCD的体积；(2)求证：直线MC平面BPN.解(1)由三视图知SD底面ABCD，底面ABCD是正方形，AB1，SD2，S正方形ABCD111，VSABCDS正方形ABCDSD12.(2)证明：连接PN，PB，设PBCMO.P，N分别为AD，SA的中点，PNSD.PN平面ABCD.又MC平面ABCD，PNMC.在正方形ABCD中，P，M分别是AD

11、，AB的中点，PABMBC，PBAMCB.又MCBBMC90，PBABMC90.PBMC.又PNPBP，且PN，PB平面BPN，MC平面BPN.18.2018江西红色七校质检(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACBD于O，E为线段PC上一点，且ACBE.(1)求证：PA平面BED；(2)若BCAD，BC，AD2，PA3且ABCD，求PB与面PCD所成角的正弦值解(1)证明：ACBD，ACBE，BDBEB，AC平面BDE，连接OE，所以ACOE，又PA平面ABCD，ACPA，又OE，PA平面PAC，OEPA，又OE平面BED，PA平面BED，PA平面BED.(2)

12、BCAD，BC，AD2，ABCD，且ACBD，在等腰梯形ABCD中，OBOC1，OAOD2，由(1)知OE平面ABCD，分别以射线OB，OC，OE为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz，则B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(2,0,0)，P(0，2,3)设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则所以取x1，则yz2，n(1，2，2)，又(1,2，3)，cos，n.所以PB与平面PCD所成角的正弦值为.19河北“五个一”联考(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，ACBDO，A1O底面ABCD，ABAA12.(1)证明：平面A1CO平面BB1D

13、1D；(2)若BAD60，求二面角BOB1C的余弦值解(1)证明：A1O平面ABCD，且BD平面ABCD，A1OBD，在菱形ABCD中，ACBD，A1OACO，BD平面A1AC，BD平面BB1D1D，平面A1CO平面BB1D1D.(2)建立以O为坐标原点，OA，OB，OA1所在的直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，如图所示ABAA12，BAD60，OB1，OA，AA12，A1O1.则O(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，A1(0,0,1)，C(，0,0)，A(，1,0)，O(0,1,0)，O(，0,0)，(0,0,1)，则(，1,1)，设平面BOB1的法向量为m(x，y，z)

14、，则则y0，令x，得z3，即m(，0,3)为平面BOB1的一个法向量设平面OB1C的法向量为n(x1，y1，z1)，则则x10，令y11，则z11，则n(0,1，1)为平面OB1C的一个法向量，cosm，n，二面角BOB1C是钝二面角，二面角BOB1C的余弦值是.20.广东五校联考一(本小题满分12分)如图，菱形ABCD中，ABC60，AC与BD相交于点O，AE平面ABCD，CFAE，ABAE2.(1)求证：BD平面ACFE；(2)当直线FO与平面BED所成的角为45时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小解(1)证明：四边形ABCD是菱形，BDAC.AE平面ABCD，BD平面ABCD，B

15、DAE.ACAEA，BD平面ACFE.(2)以O为原点，O，O的方向为x轴，y轴正方向，过O且平行于CF的直线为z轴(向上为正方向)，建立空间直角坐标系，则B(0，0)，D(0，0)，E(1,0,2)，F(1，0，a)(a0)，O(1,0，a)设平面EBD的法向量为n(x，y，z)，则有即令z1，则n(2,0,1)，由题意得sin45|cosO，n|，解得a3或.由a0，得a3，O(1,0,3)，B(1，2)，cosO，B，故异面直线OF与BE所成的角的余弦值为.21.安徽百所高中二模(本小题满分12分)如图所示的几何体由平面PECF截棱长为2的正方体得到，其中P，C为原正方体的顶点，E，F为

16、原正方体侧棱的中点，正方形ABCD为原正方体的底面，G为棱BC上的动点(1)求证：平面APC平面PECF；(2)设B(01)，当为何值时，平面EFG与平面ABCD所成的角为？解(1)证明：由已知可知，EBFD，且EBFD，如图，连接BD，则四边形EFDB是平行四边形，EFBD.底面ABCD为正方形，BDAC.AP底面ABCD，BDAP.又ACAPA，BD平面APC，EF平面APC.EF平面PECF，平面APC平面PECF.(2)以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则B(2,2,0)，F(0,0,1)，E(2,2,1)，G(2,22，0)，F(2,2,0)，G(0,2，1)，设m(x

17、，y，z)是平面EFG的法向量，故令y1，可得m(1，1,2)为平面EFG的一个法向量，而平面ABCD的一个法向量为n(0,0,1)于是cos|cosm，n|，解得，又01，.22.湖南五市十校联考(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且ADCD2，BC4，PA2.(1)求证：ABPC；(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角MACD的大小为45，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由解(1)证明：如图，由已知得四边形ABCD是直角梯形，由ADCD2，BC4，可得ABC是等腰直角三角形，即ABAC，因为PA平面A

18、BCD，所以PAAB，又PAACA，所以AB平面PAC，所以ABPC.(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，C(2，2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)，B(2，2，0)，P(0,2，2)，A(2，2，0)设Pt(0t1)，则点M的坐标为(0,2t,22t)，所以A(0,2t,22t)设平面MAC的法向量是n(x，y，z)，则得则可取n1，1，.又m(0,0,1)是平面ACD的一个法向量，所以|cosm，n|cos45，解得t，即点M是线段PD的中点此时平面MAC的一个法向量可取n0(1，1，)，B(2，3，1)设BM与平面MAC所成的角为，则sin|cosn0，B|.14