2020届高考数学（理）单元质量测试(七)经典.docx

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1、单元质量测试(七)时间：120分钟满分：150分 第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1直线3xy10的倾斜角大小为()A30 B60 C120 D150答案C解析k，120.故选C.2“a2”是“直线yax2与yx1垂直”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析由a2得两直线斜率满足(2)1，即两直线垂直；由两直线垂直得(a)1，解得a2.故选A.3抛物线y24x的焦点到准线的距离是()A1 B2 C4 D8答案B解析焦点F(1,0)，准线方程为x1，所以焦点到准线的距离是2.故选B.4已知双曲线1(a0，b

2、0)的离心率为，则双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCy2x Dyx答案A解析由题意得，双曲线的离心率e，故，故双曲线的渐近线方程为yxx.5若直线mxny4与圆O：x2y24没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆1的交点个数为()A至多一个 B2 C1 D0答案B解析由直线和圆没有交点可得：2，整理得m2n2b0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为()A. B. C. D.答案C解析令c.如图，据题意，|F2P|F1F2|，F1PF230，F1F2P120，PF2x60，|F2P|23a2c.|F1F2|2c，3a2c2c，3a4c，即椭

3、圆的离心率为.故选C.8设椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足9，则|PF1|PF2|的值为()A8 B10 C12 D15答案D解析由椭圆方程1，可得c24，所以|F1F2|2c4，而，所以|，两边同时平方，得|2|22|2，所以|2|2|22161834，根据椭圆定义得|PF1|PF2|2a8，所以342|PF1|PF2|64，所以|PF1|PF2|15.故选D.9F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左右两个焦点，P是右支上的动点，过F2作F1PF2平分线的垂线，交PF1于M，交角平分线于Q，则Q点轨迹是()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线答案A解析PQ是F1PF2

4、的平分线且PQMF2，|PM|PF2|，且Q是MF2的中点|PF1|PF2|PF1|PM|MF1|2a.|OQ|a，选A.10若a，b是正数，直线2axby20被圆x2y24截得的弦长为2，则ta 取得最大值时a的值为()A. B. C. D.答案D解析因为圆心到直线的距离d，则直线被圆截得的弦长L222，所以4a2b24.ta(2a) (2a)2()28a212(44a2)，当且仅当即时等号成立，此时a，故选D.112018广东广雅中学调研设F为双曲线1(a0，b0)的右焦点，若线段OF的垂直平分线与双曲线的渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为|OF|，则双曲线的离心率为()A2

5、B. C2 D3答案B解析双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，线段OF的垂直平分线为直线x，将x代入yx，则y，则交点坐标为，到直线yx(即bxay0)的距离d|OF|，得c2b2，即4a23c2，则双曲线的离心率e.故选B.12已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为()A16 B14 C12 D10答案A解析因为F为y24x的焦点，所以F(1,0)由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为，故直线l1，l2的方程分别为yk(x1)，y(x1

6、)由得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21，所以|AB|x1x2|.同理可得|DE|4(1k2)所以|AB|DE|4(1k2)411k284k284216，当且仅当k2，即k1时，取得等号故选A.第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13若kR，直线ykx1与圆x2y22axa22a40恒有交点，则实数a的取值范围是_答案1,3解析因为直线ykx1恒过定点(0,1)，题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上，则02122a0a22a40且2a40，解得1a3.14过抛物线yx2的焦点F作一条倾斜角为30的

7、直线交抛物线于A，B两点，则|AB|_.答案解析易知抛物线x24y的焦点坐标是F(0,1)，直线AB的方程为yx1，即x(y1)由消去x，得3(y1)24y，即3y210y30，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，利用抛物线定义可知|AB|AF|BF|(y11)(y21)y1y22.15已知F1，F2是双曲线E：1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为_答案解析解法一：由MF1x轴，可得M，|MF1|.由sinMF2F1，可得cosMF2F1 ，又tanMF2F1，b2ac，c2a2b2b2c2a2，c2a2ac0e2e10，e.解法二：由M

8、F1x轴，得M，|MF1|，由双曲线的定义可得|MF2|2a|MF1|2a，又sinMF2F1a2b2ab，e .16设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与线段AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点若6，则k的值为_答案或解析依题意得椭圆的方程为y21，直线AB，EF的方程分别为x2y2，ykx(k0)如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x12|AB|，故曲线是以A，B为焦点，以2为长轴长的椭圆，a，c1，b1，曲线的方程为y21.(2)由cosBAP，|AP|2， 得P.于是直线AP方程为y(x1)由解得5x2

9、2x70，x11，x2.由于点M在线段AP上，所以点M坐标为.182018河南郑州检测(本小题满分12分)已知坐标平面上动点M(x，y)与两个定点P(26,1)，Q(2,1)，且|MP|5|MQ|.(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C，过点N(2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8，求直线l的方程解(1)由题意，得5，即5，化简，得x2y22x2y230，所以点M的轨迹方程是(x1)2(y1)225.轨迹是以(1,1)为圆心，5为半径的圆(2)当直线l的斜率不存在时，l：x2，此时所截得的线段长度为28，所以l：x2符合题意当直线l的斜率存在时，设l的方程为

10、y3k(x2)，即kxy2k30，圆心(1,1)到直线l的距离d.由题意，得24252，解得k.所以直线l的方程为xy0，即5x12y460.综上，直线l的方程为x2或5x12y460.19(本小题满分12分)已知椭圆C：1(ab0)，四点P1(1,1)，P2(0,1)，P31，P41，中恰有三点在椭圆C上(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点解(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点又由知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上因此解得故椭圆C的方程为y21.(2)证明：设直线

11、P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：xt，由题设知t0，且|t|2，可得A，B的坐标分别为t，t，则k1k21，得t2，不符合题设从而可设l：ykxm(m1)将ykxm代入y21得(4k21)x28kmx4m240.由题设可知16(4k2m21)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.而k1k2.由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)(m1)0，解得k.当且仅当m1时，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l过定点(2，1)202018湘中名校联考(本小题满分12分)如图，曲线C由上半椭圆C1：1(ab

12、0，y0)和部分抛物线C2：yx21(y0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，是否存在直线l，使得以PQ为直径的圆恰好过点A？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解(1)在C1，C2的方程中，令y0，可得b1，且A(1,0)，B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点由e及a2c2b21可得a2，a2，b1.(2)存在由(1)知，上半椭圆C1的方程为x21(y0)由题易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为yk(x1)(k0)代入C1的方程，整理得(k24)x22k2xk2

13、40.(*)设点P的坐标为(xP，yP)，直线l过点B，x1是方程(*)的一个根由求根公式，得xP，从而yP，点P的坐标为，.同理，由得点Q的坐标为(k1，k22k)A(k，4)，Ak(1，k2)连接AP，AQ，依题意可知APAQ，AA0，即k4(k2)0，k0，k4(k2)0，解得k.经检验，k符合题意，故直线l的方程为y(x1)212018河北调研(本小题满分12分)已知直线yk(x2)与抛物线：y2x相交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作y轴的垂线交于点N.(1)证明：抛物线在点N处的切线与直线AB平行；(2)是否存在实数k使NN0？若存在，求k的值；若不存在，说明理由解(1)证明

14、：由消去y并整理，得2k2x2(8k21)x8k20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x24，xM，则yMk(xM2)k2，由题设条件可知，yNyM，则xN2y，N，设抛物线在点N处的切线方程为ymx，将x2y2代入上式，得2my2y0，直线与抛物线相切，1242m0，mk，即抛物线在点N处的切线与直线AB平行(2)假设存在实数k，使NN0，则NANB，M是AB的中点，|MN|AB|，由(1)得|AB|x1x2|，MNy轴，|MN|xMxN|，解得k，故存在k，使NN0.22(本小题满分12分)已知抛物线C：y24x，过其焦点F作两条相互垂直且不平行于x轴的直线，分别交抛

15、物线C于点P1，P2和点P3，P4，线段P1P2，P3P4的中点分别记为M1，M2.(1)求FM1M2面积的最小值；(2)求线段M1M2的中点P满足的方程解(1)由题意，得抛物线的焦点坐标为F(1,0)，设直线P1P2的方程为yk(x1)，k0.联立消去y并整理，得k2x22(2k2)xk20.(*)(*)是关于x的一元二次方程，其判别式2(2k2)24k416(1k2)0.设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两个不相等实根，且x1x2.设M1(xM1，yM1)，则类似地，设M2(xM2，yM2)，则所以|FM1| ，|FM2| 2|k|，因此SFM1M2|FM1|FM2|2.因为|k|2，所以SFM1M24，当且仅当|k|，即k1时，SFM1M2取到最小值4.(2)设线段M1M2的中点为P(x，y)，由(1)得消去k，得y2x3.线段M1M2的中点P满足的方程为y2x3.13