人教版高中数学圆锥曲线及方程全部教案.pdf

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1、椭圆及其标准方程一、教学目标知识教学点使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程能力训练点通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力， 增强运用坐标法解决几何问题的能力学科渗透点通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力二、教材分析1 解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较2难点：椭圆的标准方程的推导解决办法：推导分 4 步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明3疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因解决办法：分三种情况说明动点的轨迹三、活动设计提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学

2、生口答四、教学过程椭圆概念的引入前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答：问题 1 对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正 这样便于学生温故而知新，在已有知识基础上去探求新知识提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形问题 3 一般学生能回答： “平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”对同学提出的轨迹命题如：“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹”“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹”教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？这时教师示范引导学生绘图：

3、取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1F2两点 如图 2-13 ，当绳长大于 F1 和 F2 的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧， 使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说： “立体几何中圆的直观图”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：平面内到两定点 F1F2 的距离之和等于常数大于|F1F2| 的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距学生开始只强调主要几何特征到两定点F1F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调： 1 将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是

4、椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件： “在平面内” 2 这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数|F1F2| ，则是线段F1F2；若常数 |F1F2| ，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件： “此常数大于 |F1F2| ” 二 椭圆标准方程的推导1标准方程的推导由椭圆的定义， 可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质， 我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分： 1 2 点的集合；3 代数方程； 4 化简方程等步骤 1 建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、 关键几何量

5、的表达式简单化， 注意充分利用图形的对称性， 使学生认识到下列选取方法是恰当的以两定点 F1F2的直线为 x 轴，线段 F1F2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系 如图 2-14 设|F1F2| 2c c0 ，M x，y 为椭圆上任意一点，则有F1 -1，0 ，F2 c ，0 2 点的集合由定义不难得出椭圆集合为：P M|MF1|+|MF2| 2a 3 代数方程 4 化简方程化简方程可请一个反映比较快、 书写比较规范的同学板演， 其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3 a2-c2 x2+a2y2 a2 a2-c2 为使方程

6、对称和谐而引入bb 还有几何意义，下节课还要 a b0 关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略示的椭圆的焦点在xF1 -c ，0 、F2 c，0 这里 c2 a2-b2 2两种标准方程的比较引导学生归纳0 、F2 c，0 ，这里 c2 a2-b2 ；-c 、F2 0，c ，这里 c2 a2+b2，只须将 1 方程的 x、y 互换即可得到教师指出：在两种标准方程中， a2b2，可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上三 例题与练习例题 8 ，写出到这两定点的距离的和是10 的点的轨迹的方程分析：先根据题意判断轨迹， 再建立直角坐标系， 采用待定系数法得出轨迹方程解：这个轨

7、迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1F2 表示取过点F1 和F2的直线为 x 轴，线段 F1F2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系2a 10 ，2c 8 a 5 ，c 4 ，b2 a2-c2 52-45 9b 3 因此，这个椭圆的标准方程是请大家再想一想，焦点F1F2放在 y 轴上，线段 F1F2的垂直平分练习 1 练习 2 由学生口答，答案为D 四 小结1 定义： 椭圆是平面内与两定点F1、 F2 的距离的和等于常数大于|F1F2| 的点的轨迹3图形如图 2-15、2-164焦点： F1 -c ，0 ，F2 c ，0 F1 0，-c ，F2 0，c 五、布置作业12-17，在椭圆上的点中，

8、 A1与焦点 F1的距离最小， |A1F1| 2 ，A2 F1的距离最大， |A2F1| 14 ，求椭圆的标准方程3求适合下列条件的椭圆的标准方程：是过 F1ABF2的周长作业答案：4ABF2的周长为 4a六、板书设计一、教学目标知识教学点使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程能力训练点通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力， 增强运用坐标法解决几何问题的能力学科渗透点通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力二、教材分析1 解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较2难点：椭圆的标准方

9、程的推导解决办法：推导分 4 步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明3疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因解决办法：分三种情况说明动点的轨迹三、活动设计提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答四、教学过程椭圆概念的引入前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答：问题 1 对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正 这样便于学生温故而知新，在已有知识基础上去探求新知识提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形问题 3 一般学生能回答： “平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”对同学提出的轨迹命题如：“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”“到两定点距离平方差等于

10、常数的点的轨迹”“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹”教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？这时教师示范引导学生绘图：取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1F2两点 如图 2-13 ，当绳长大于 F1 和 F2 的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧， 使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说： “立体几何中圆的直观图”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：平面内到两定点 F1F2 的距离之和等于常数大于|F1F2| 的点的

11、轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距学生开始只强调主要几何特征到两定点F1F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调： 1 将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件： “在平面内” 2 这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数|F1F2| ，则是线段F1F2；若常数 |F1F2| ，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件： “此常数大于 |F1F2| ” 二 椭圆标准方程的推导1标准方程的推导由椭圆的定义， 可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质， 我们还一无所知，所以需要用坐标

12、法先建立椭圆的方程如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分： 1 2 点的集合；3 代数方程； 4 化简方程等步骤 1 建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、 关键几何量的表达式简单化， 注意充分利用图形的对称性， 使学生认识到下列选取方法是恰当的以两定点 F1F2的直线为 x 轴，线段 F1F2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系 如图 2-14 设|F1F2| 2c c0 ，M x，y 为椭圆上任意一点，则有F1 -1，0 ，F2 c ，0 2 点的集合由定义不难得出椭圆集合为：P M|MF1|+|MF2| 2a 3 代数方程 4 化简方程化简方程可请一个反

13、映比较快、 书写比较规范的同学板演， 其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3 a2-c2 x2+a2y2 a2 a2-c2 为使方程对称和谐而引入bb 还有几何意义，下节课还要 a b0 关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略示的椭圆的焦点在xF1 -c ，0 、F2 c，0 这里 c2 a2-b2 2两种标准方程的比较引导学生归纳0 、F2 c，0 ，这里 c2 a2-b2 ；-c 、F2 0，c ，这里 c2 a2+b2，只须将 1 方程的 x、y 互换即可得到教师指出：在两种标准方程中， a2b2，

14、可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上三 例题与练习例题 8 ，写出到这两定点的距离的和是10 的点的轨迹的方程分析：先根据题意判断轨迹， 再建立直角坐标系， 采用待定系数法得出轨迹方程解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1F2 表示取过点F1 和F2的直线为 x 轴，线段 F1F2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系2a 10 ，2c 8 a 5 ，c 4 ，b2 a2-c2 52-45 9b 3 因此，这个椭圆的标准方程是请大家再想一想，焦点F1F2放在 y 轴上，线段 F1F2的垂直平分练习 1 练习 2 由学生口答，答案为D 四 小结1 定义： 椭圆是平面内与两定点F1、

15、 F2 的距离的和等于常数大于|F1F2| 的点的轨迹3图形如图 2-15、2-164焦点： F1 -c ，0 ，F2 c ，0 F1 0，-c ，F2 0，c 五、布置作业12-17，在椭圆上的点中， A1与焦点 F1的距离最小， |A1F1| 2 ，A2 F1的距离最大， |A2F1| 14 ，求椭圆的标准方程3求适合下列条件的椭圆的标准方程：是过 F1ABF2的周长作业答案：4ABF2的周长为 4a六、板书设计一、教学目标知识教学点通过椭圆标准方程的讨论， 使学生掌握椭圆的几何性质， 能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用能力训练点通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和

16、解决实际问题的能力学科渗透点使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解， 这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等二、教材分析1 解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结2难点：椭圆离心率的概念的理解解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e 的几何意义3疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明三、活动设计提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结四、教学

17、过程复习提问1椭圆的定义是什么？2椭圆的标准方程是什么？学生口述，教师板书几何性质根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是b0 来研究椭圆的几何性质说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变1范围即|x|a ， |y| b， 这说明椭圆在直线x a 和直线 y b 所围成的矩形里图2-18 注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点2对称性先请大家阅读课本椭圆的几何性质2 设问：为什么“把x-x ，或把 y 换成-y ？，或把 x、y 同时换成 -x 、-y 时，方程都不变，所以图形关于y 轴、x 轴或原点对称的”呢？事实上

18、，在曲线的方程里，如果把x-x 而方程不变，那么当点P x，y 在曲线上时，点 P关于 y 轴的对称点 Q -x ， y 也在曲线上，所以曲线关于 y 轴对称类似可以证明其他两个命题同时向学生指出：如果曲线具有关于yx 轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称如：如果曲线关于x 轴和原点对称，那么它一定关于 y 轴对称事实上，设 P xy 在曲线上，因为曲线关于x 轴对称，所以点 P1 x，-y 必在曲线上又因为曲线关于原点对称，所以P1 关于原点对称点P2 -x ，y 必在曲线上因 P x，y 、P2 -x ，y 都在曲线上，所以曲线关于y 轴对称最后指出： xy 轴是椭圆

19、的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心3顶点只须令 x 0y b，点 B1 0，-b 、B2 0，b 是椭圆和 y 轴的两个交点；令y 0，得 x a，点 A1 -a，0 、A2 a，0 是椭圆和 x 轴的两个交点强调指出：椭圆有四个顶点 A1 -a ，0 、A2 a，0 、B1 0，-b 、B2 0，b 教师还需指出： 1 A1A2 、线段 B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴， 它们的长分别等于 2a 和 2b； 2 a 、b 的几何意义： a 是长半轴的长， b 是短半轴的长；这时，教师可以小结以下： 由椭圆的范围、 对称性和顶点， 再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形4

20、 教师直接给出椭圆的离心率的定义：等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e 先分析椭圆的离心率e ac0， 0 e1再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响： 2 e 接近 0 时，c 越接近 0，从而 b 越接近 a，因此椭圆接近圆； 3 当 e 0 时，c 0，a b 两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2+y2 a2，图形就是圆了三 应用为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法， 给出如下例 1 例 1 16x2+25y2 400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形本例前一部分请一个同学板演，教师予以订正， 估计不难完成 后一部分由教师讲解

21、，以引起学生重视，步骤是： 2 图 2-19 要强调：利用对称性可以使计算量大大减少本例实质上是椭圆的第二定义， 是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一定义做准备的，同时再一次使学生熟悉求曲线方程的一般步骤，因此，要详细讲解：设 dM到直线 l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P M 将上式化简，得： a2-c2 x2+a2y2 a2 a2-c2 这是椭圆的标准方程，所以点M 由此例不难归纳出椭圆的第二定义椭圆的第二定义1定义平面内点 M 线叫做椭圆的准线，常数e 2说明这时还要讲清 e 五 小结解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同， 但是最后

22、得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质布置学生最后小结下列表格：五、布置作业1 1 25x2+4y2-100 0， 2 x2+4y2-1 02我国发射的科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面 266Km ， 远地点距地面 1826Km ， 求这颗卫星的轨道方程3点 P与一定点 F 2，0 的距离和它到一定直线x 8 的距离的比是 12，求点 P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形的方程作业答案：4 0 ，2 可能是长轴的端点，也可能是短轴的一个端点，故分两种情况求方程：六、板书

23、设计一、教学目标知识教学点通过椭圆标准方程的讨论， 使学生掌握椭圆的几何性质， 能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用能力训练点通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力学科渗透点使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解， 这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等二、教材分析1 解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结2难点：椭圆离心率的概念的理解解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e 的几何意义3疑点：椭圆的几何性质是椭圆自

24、身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明三、活动设计提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结四、教学过程复习提问1椭圆的定义是什么？2椭圆的标准方程是什么？学生口述，教师板书几何性质根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是b0 来研究椭圆的几何性质说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变1范围即|x|a ， |y| b， 这说明椭圆在直线x a 和直线 y b 所围成的矩形里图2-18 注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点2对称性先请

25、大家阅读课本椭圆的几何性质2 设问：为什么“把x-x ，或把 y 换成-y ？，或把 x、y 同时换成 -x 、-y 时，方程都不变，所以图形关于y 轴、x 轴或原点对称的”呢？事实上，在曲线的方程里，如果把x-x 而方程不变，那么当点P x，y 在曲线上时，点 P关于 y 轴的对称点 Q -x ， y 也在曲线上，所以曲线关于 y 轴对称类似可以证明其他两个命题同时向学生指出：如果曲线具有关于yx 轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称如：如果曲线关于x 轴和原点对称，那么它一定关于 y 轴对称事实上，设 P xy 在曲线上，因为曲线关于x 轴对称，所以点 P1 x，-y

26、 必在曲线上又因为曲线关于原点对称，所以P1 关于原点对称点P2 -x ，y 必在曲线上因 P x，y 、P2 -x ，y 都在曲线上，所以曲线关于y 轴对称最后指出： xy 轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心3顶点只须令 x 0y b，点 B1 0，-b 、B2 0，b 是椭圆和 y 轴的两个交点；令y 0，得 x a，点 A1 -a，0 、A2 a，0 是椭圆和 x 轴的两个交点强调指出：椭圆有四个顶点 A1 -a ，0 、A2 a，0 、B1 0，-b 、B2 0，b 教师还需指出： 1 A1A2 、线段 B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴， 它们的长分别等于 2a 和 2b；

27、 2 a 、b 的几何意义： a 是长半轴的长， b 是短半轴的长；这时，教师可以小结以下： 由椭圆的范围、 对称性和顶点， 再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形4 教师直接给出椭圆的离心率的定义：等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e 先分析椭圆的离心率e ac0， 0 e1再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响： 2 e 接近 0 时，c 越接近 0，从而 b 越接近 a，因此椭圆接近圆； 3 当 e 0 时，c 0，a b 两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2+y2 a2，图形就是圆了三 应用为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法， 给出如下例

28、 1 例 1 16x2+25y2 400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形本例前一部分请一个同学板演，教师予以订正， 估计不难完成 后一部分由教师讲解，以引起学生重视，步骤是： 2 图 2-19 要强调：利用对称性可以使计算量大大减少本例实质上是椭圆的第二定义， 是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一定义做准备的，同时再一次使学生熟悉求曲线方程的一般步骤，因此，要详细讲解：设 dM到直线 l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P M 将上式化简，得： a2-c2 x2+a2y2 a2 a2-c2 这是椭圆的标准方程，所以点M 由此例不难归纳出椭圆的第二定义椭圆的第

29、二定义1定义平面内点 M 线叫做椭圆的准线，常数e 2说明这时还要讲清 e 五 小结解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同， 但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质布置学生最后小结下列表格：五、布置作业1 1 25x2+4y2-100 0， 2 x2+4y2-1 02我国发射的科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面 266Km ， 远地点距地面 1826Km ， 求这颗卫星的轨道方程3点 P与一定点 F 2，0 的距

30、离和它到一定直线x 8 的距离的比是 12，求点 P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形的方程作业答案：4 0 ，2 可能是长轴的端点，也可能是短轴的一个端点，故分两种情况求方程：六、板书设计一、教学目标知识教学点使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导能力训练点在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、 归纳、推理等能力学科渗透点本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、 设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识二、教材分析1 解决办法：通过一个简单实验得出双曲线， 再通过设问给出双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识2难点：双曲线的标

31、准方程的推导解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比3疑点：双曲线的方程是二次函数关系吗？解决办法：教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决，同时让学生在课外去研究在什么附加条件下，双曲线方程可以转化为函数式三、活动设计提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结四、教学过程复习提问1椭圆的定义是什么？学生回答，教师板书平面内与两定点 F1F2 的距离的和等于常数大于|F1F2| 的点的轨迹叫做椭圆教师要强调条件： 1 平面内； 2 到两定点 F1、F2的距离的和等于常数； 3 常数 2a|F1F2| 2椭圆的标准方程是什么？学生口答，教师板书二 双

32、曲线的概念把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？1 边演示、边说明如图 2-23F1、F2 是两个按钉， MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时， |MF1|-|MF2| 是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1| 是同一常数，可以画出另一支注意：常数要小于 |F1F2| 2设问问题 1F1、F2 与动点 M不在平面上，能否得到双曲线？请学生回答，不能强调“在平面内” 问题 2|MF1|与|MF2|哪个大？请学生回答，不定：当M|MF1|MF2|；当点 M在双曲线左支上时， |MF1|MF2|问题 3M与定点

33、 F1、F2 距离的差是否就是 |MF1|-|MF2| ？请学生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|MF2|-|MF1|问题 4|F1F2| ？请学生回答， 应小于|F1F2| |F1F2| 时，轨迹是以 F1、F2 为端点的两条射线；当常数 |F1F2| 时，无轨迹3定义在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：平面内与两定点 F1F2 的距离的差的绝对值是常数小于|F1F2| 的点的轨迹叫做双曲线这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记双曲线的标准方程现在来研究双曲线的方程 我们可以类似求椭圆的方程的方法来

34、求双曲线的方程这时设问： 求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导标准方程的推导： 1 取过焦点 F1F2的直线为 x 轴，线段 F1F2的垂直平分线为 y 轴 如图 2-24 建立直角坐标系设 M xy 为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c c 0 ，那么 F1、F2的坐标分别是 -c ，0 、 c ，0 又设点 M与 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数 2 点的集合由定义可知，双曲线就是集合：P M|MF1|-|MF2| 2a M|MF1|-|MF2| 2a 3 代数方程 4 化简方程由学生演板将这个方程移项，两边平方得：

35、化简得：两边再平方，整理得： c2-a2 x2-a2y2 a2 c2-a2 以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导由双曲线定义， 2c2a c a，所以 c2-a20设 c2-a2 b2 b0 ，代入上式得：b2x2-a2y2 a2b2 这就是双曲线的标准方程两种标准方程的比较：教师指出： 1 a 0，b0，但 a 不一定大于 b； 2 如果 x2 项的系数是正的， 那么焦点在 x 轴上；如果 y2 项的系数是正的，那么焦点在 y 轴上注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上 3 双曲线标准方程中a、b、c 的关系是 c2 a2+b2，不同于椭圆方程中c2 a2-b2四 练习与例题

36、1求满足下列的双曲线的标准方程：焦点 F1 -30 、F2 3，0 ，且 2a 4 ；3已知两点 F1 -5 ，0 、F2 5，0 ，求与它们的距离的差的绝对值是6 的点的轨迹方程 如果把这里的数字6 改为 12，其他条件不变， 会出现什么情况？由教师讲解：按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c 5a 3 ，所以 b2 c2-a2 52-32 42因为 2a 122c 10 ，且 2a2c所以动点无轨迹小结1 定义：平面内与两定点 F1、 F2的距离的差的绝对值等于常数小于|F1F2| 的点的轨迹3图形 见图 2-25 ：4焦点： F1 -c ，0 、F2 c ，0 ；F1 0，-c 、F2 0

37、，c 5a、b、c 的关系： c2 a2+b2；c a2+b2五、布置作业1 1 焦点的坐标是 -6 ，0 、 6 ，0 ，并且经过点 A -5 ，2 ；3已知圆锥曲线的方程为mx2+ny2 m+n m 0m+n ，求其焦点坐标作业答案：2 1+k 1-k 0 解得： k-1 或 k1 六、板书设计一、教学目标知识教学点使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导能力训练点在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、 归纳、推理等能力学科渗透点本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、 设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识二、教材分析1 解决办法：

38、通过一个简单实验得出双曲线， 再通过设问给出双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识2难点：双曲线的标准方程的推导解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比3疑点：双曲线的方程是二次函数关系吗？解决办法：教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决，同时让学生在课外去研究在什么附加条件下，双曲线方程可以转化为函数式三、活动设计提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结四、教学过程复习提问1椭圆的定义是什么？学生回答，教师板书平面内与两定点 F1F2 的距离的和等于常数大于|F1F2| 的点的轨迹叫做椭圆教师要强调条件： 1 平面内； 2 到两定

39、点 F1、F2的距离的和等于常数； 3 常数 2a|F1F2| 2椭圆的标准方程是什么？学生口答，教师板书二 双曲线的概念把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？1 边演示、边说明如图 2-23F1、F2 是两个按钉， MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时， |MF1|-|MF2| 是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1| 是同一常数，可以画出另一支注意：常数要小于 |F1F2| 2设问问题 1F1、F2 与动点 M不在平面上，能否得到双曲线？请学生回答，不能强调“在平面内” 问题 2|MF1|与|MF2|

40、哪个大？请学生回答，不定：当M|MF1|MF2|；当点 M在双曲线左支上时， |MF1|MF2|问题 3M与定点 F1、F2 距离的差是否就是 |MF1|-|MF2| ？请学生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|MF2|-|MF1|问题 4|F1F2| ？请学生回答， 应小于|F1F2| |F1F2| 时，轨迹是以 F1、F2 为端点的两条射线；当常数 |F1F2| 时，无轨迹3定义在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：平面内与两定点 F1F2 的距离的差的绝对值是常数小于|F1F2| 的点的轨迹叫做双曲线这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距教师指出：双曲

41、线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记双曲线的标准方程现在来研究双曲线的方程 我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程这时设问： 求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导标准方程的推导： 1 取过焦点 F1F2的直线为 x 轴，线段 F1F2的垂直平分线为 y 轴 如图 2-24 建立直角坐标系设 M xy 为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c c 0 ，那么 F1、F2的坐标分别是 -c ，0 、 c ，0 又设点 M与 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数 2 点的集合由定义可知，双曲线就是集合：P M|MF1|-|

42、MF2| 2a M|MF1|-|MF2| 2a 3 代数方程 4 化简方程由学生演板将这个方程移项，两边平方得：化简得：两边再平方，整理得： c2-a2 x2-a2y2 a2 c2-a2 以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导由双曲线定义， 2c2a c a，所以 c2-a20设 c2-a2 b2 b0 ，代入上式得：b2x2-a2y2 a2b2 这就是双曲线的标准方程两种标准方程的比较：教师指出： 1 a 0，b0，但 a 不一定大于 b； 2 如果 x2 项的系数是正的， 那么焦点在 x 轴上；如果 y2 项的系数是正的，那么焦点在 y 轴上注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标

43、轴上 3 双曲线标准方程中a、b、c 的关系是 c2 a2+b2，不同于椭圆方程中c2 a2-b2四 练习与例题1求满足下列的双曲线的标准方程：焦点 F1 -30 、F2 3，0 ，且 2a 4 ；3已知两点 F1 -5 ，0 、F2 5，0 ，求与它们的距离的差的绝对值是6 的点的轨迹方程 如果把这里的数字6 改为 12，其他条件不变， 会出现什么情况？由教师讲解：按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c 5a 3 ，所以 b2 c2-a2 52-32 42因为 2a 122c 10 ，且 2a2c所以动点无轨迹小结1 定义：平面内与两定点 F1、 F2的距离的差的绝对值等于常数小于|F1F2|

44、 的点的轨迹3图形 见图 2-25 ：4焦点： F1 -c ，0 、F2 c ，0 ；F1 0，-c 、F2 0，c 5a、b、c 的关系： c2 a2+b2；c a2+b2五、布置作业1 1 焦点的坐标是 -6 ，0 、 6 ，0 ，并且经过点 A -5 ，2 ；3已知圆锥曲线的方程为mx2+ny2 m+n m 0m+n ，求其焦点坐标作业答案：2 1+k 1-k 0 解得： k-1 或 k1 六、板书设计一、教学目标知识教学点使学生理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发， 推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征能力训练点在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，从而培养

45、学生分析、 归纳、推理等能力学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题二、教材分析1 解决办法：引导学生类比椭圆的几何性质得出，至于渐近线引导学生证明2难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证解决办法：先引导学生观察以原点为中心，2a、2b 长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线3疑点：双曲线的渐近线的证明解决办法：通过详细讲解三、活动设计提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结四、教学过程复习提问引入新课1椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？请一同学回答 应为：范围、对称

46、性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的2 再请一同学回答应为：中心在原点、焦点在x 下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质类比联想得出性质性质 13 引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格三 问题之中导出渐近线性质 4 在学习椭圆时，以原点为中心，2a2b为邻边的矩形，对于估计仍以原点为中心， 2a2b 为邻边作一矩形板书图形，那么双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图图 2-26 有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想接着再提出问题：当ab 为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？下面，我们来证明它：双曲线在第一象限的部分可写成：当 x|

47、MN|逐渐减小， x 无限增大， |MN|接近于零， |MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON 在其他象限内也可以证明类似的情况现在来看看实轴在yy 轴上的双曲线方程是由焦点在x 轴上的双曲线方程，将 x、y 字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将xy 字这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线顺其自然介绍离心率性质 5 由于正确认识了渐近线的概念， 对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：变得开阔，从而得出：双曲线的离心

48、率越大，它的开口就越开阔这时，教师指出：焦点在y 五 练习与例题1求双曲线 9y2-16x2 144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程请一学生演板，其他同学练习，教师巡视，练习毕予以订正由此可知，实半轴长a 4b 3 焦点坐标是 0-5 ， 0 ，5 本题实质上是双曲线的第二定义，要重点讲解并加以归纳小结解：设 dM到直线 l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合：化简得： c2-a2 x2-a2y2 a2 c2-a2 这就是双曲线的标准方程由此例不难归纳出双曲线的第二定义双曲线的第二定义1定义 由学生归纳给出平面内点 Me 叫做双曲线的准线，常数e 2说明七 小结 由学生课后

49、完成将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结五、布置作业1e 和渐近线方程 1 16x2-9y2 144； 2 16x2-9y2 -1442求双曲线的标准方程： 1 实轴的长是 10，虚轴长是 8，焦点在 x 轴上； 2 焦距是 10，虚轴长是 8，焦点在 y 轴上；曲线的方程点到两准线及右焦点的距离作业答案：距离为 7 六、板书设计一、教学目标知识教学点使学生理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发， 推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征能力训练点在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，从而培养学生分析、 归纳、推理等能力学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性

50、质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题二、教材分析1 解决办法：引导学生类比椭圆的几何性质得出，至于渐近线引导学生证明2难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证解决办法：先引导学生观察以原点为中心，2a、2b 长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线3疑点：双曲线的渐近线的证明解决办法：通过详细讲解三、活动设计提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结四、教学过程复习提问引入新课1椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？请一同学回答 应为：范围、对称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的2 再请一同学回答应为：中心在原点、