电磁场与电磁波-课后答案(冯恩信-著).doc

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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除第一章 矢量场1.1 求:(a) A ； (b) ； (c) ； (d) ； (e) 解：(a) ; (b) ( c) ; (d) 1.2 ; 求:(a) A ； (b) ； (c) ； (d) ; (e) 解：(a) ;(b) ;(c) 1.3 ; 求:(a) A ； (b) ； (c) ； (d) ; (e) 解：(a) ； (b) ； (c) ；(d) ; (e) 1.4 ; 当时，求。解：当时，=0, 由此得 1.5 将直角坐标系中的矢量场分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量表示。解：(1)圆柱坐标系由(1.2-7)式，;(2)圆球坐标系由

2、(1.2-14)式, 1.6 将圆柱坐标系中的矢量场用直角坐标系中的坐标分量表示。解：由(1.2-9)式，1.7将圆球坐标系中的矢量场用直角坐标系中的坐标分量表示。解：由(1.2-15)式，1.8求以下函数的梯度：(a) f(x,y,z)=5x+10xy-xz+6(b) 解：(a) 1.9 求标量场在点(1,1,1)沿方向的变化率。解：1.10 在球坐标中，矢量场为其中为常数，证明矢量场对任意闭合曲线的环量积分为零，即解：由斯托克斯定理, 因为 所以 1.11证明(1.3-8e)、(1.3-8f)式。1.12由(1.4-3)式推导(1.4-4a)式。1.13由(1.5-2)式推导(1.5-3a

3、)式。1.14计算下列矢量场的散度a) b) 解：(a) 1.15计算下列矢量场的旋度a) b) 解： (a) (b) (c) 1.16计算a) b)c)解：(a) 1.17已知，计算解：1.18已知计算解：根据亥姆霍兹定理，因为，所以1.19已知计算解：根据亥姆霍兹定理，因为，所以1.20求矢量场穿过由确定的区域的封闭面的通量。解：根据高斯定理，矢量场穿过由确定的区域的封闭面的通量因为 所以第二章习题解2-1.已知真空中有四个点电荷，分别位于(1,0,0)，(0,1,0)，(-1,0,0,)，(0,-1,0)点，求(0,0,1)点的电场强度。解：设,2-2.已知线电荷密度为的均匀线电荷围成如

4、图所示的几种形状，求P点的电场强度。(a) (b) (c)题2-2图解：(a) 由对称性(b) 由对称性(c) 两条半无限长线电荷产生的电场为半径为a的半圆环线电荷产生的电场为总电场为2-3.真空中无限长的半径为a的半边圆筒上电荷密度为，求轴线上的电场强度。解:在无限长的半边圆筒上取宽度为的窄条,此窄条可看作无限长的线电荷,电荷线密度为,对积分,可得真空中无限长的半径为a的半边圆筒在轴线上的电场强度为题2-3图 题2-4图2-4.真空中无限长的宽度为a的平板上电荷密度为，求空间任一点上的电场强度。解: 在平板上处取宽度为的无限长窄条，可看成无限长的线电荷，电荷线密度为，在点处产生的电场为其中

5、；对积分可得无限长的宽度为a的平板上的电荷在点处产生的电场为2-5.已知电荷分布为r为场点到坐标原点的距离，a，b为常数。求电场强度。解： 由于电荷分布具有球对称性，电场分布也具有球对称性，取一半径为 r 的球面，利用高斯定理等式左边为 半径为 r 的球面内的电量为因此，电场强度为2-6.在圆柱坐标系中电荷分布为r为场点到z轴的距离，a为常数。求电场强度。解: 由于电荷分布具有轴对称性，电场分布也具有轴对称性，取一半径为 r ,单位长度的圆柱面，利用高斯定理等式左边为 半径为 r 的圆柱面内的电量为因此，电场强度为2-7. 在直角坐标系中电荷分布为求电场强度。解: 由于电荷分布具有面对称性，电

6、场分布也具有面对称性，取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为 S的电通量为,方形封闭面内的电量为 因此，电场强度为 题2-9图题2-7图2-8. 在直角坐标系中电荷分布为求电场强度。解: 由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为 S的电通量为,方形封闭面内的电量为 因此，电场强度为 2-9.在电荷密度为（常数）半径为a的带电球中挖一个半径为b的球形空腔，空腔中心到带电球中心的距离为c(b+ca对于r0半空间为介电常数为的介质，z0半空间为介电常数为的介质，当(1)电量为q的点电荷放在介质分界面(2)电荷线密度为的均匀线电荷放在介质

7、分界面求电场强度。解：（1）电量为q的点电荷放在介质分界面以点电荷为中心作以半径为r的球，利用高斯定理设上、下半球面上的电位移矢量分别、，根据对称性，在上、下半球面上大小分别相等，有根据边界条件，因此（2）电荷线密度为的均匀线电荷放在介质分界面以线电荷为轴线作以半径为r单位长度的圆柱面，利用高斯定理设上、下半柱面上的电位移矢量分别、，根据对称性，在上、下半柱面上大小分别相等，有根据边界条件，因此2-30.面积为A，间距为d的平板电容器电压为V，介电常数为厚度为t的介质板分别按如图a、b所示的方式放置在两导电平板之间。分别计算两种情况下电容器中的电容、电场及电荷分布。题2-30图解：（a）设导体

8、板之间介质与空气中的电场分别为、，那么、满足关系 （边界条件）求解以上两式得根据导体表面上的边界条件，在上、下导体表面上的电荷面密度为电容为 (b) 由图可见，导体板之间介质与空气中的电场为根据导体表面上的边界条件，在上、下导体板与空气的界面上的电荷面密度为在上、下导体板与介质的界面上的电荷面密度为电容为 2-31.电荷分布为在x=0处电位为0，求电位分布。解：由电荷分布可知，电位仅是x的函数，电位满足的方程为其通解为在 在 在 设，根据边界条件当时，电荷分布可看成薄层，薄层外电场具有对称分布，即得即 2-32.两块电位分别为0和V的半无限大的导电平板构成夹角为的角形区域，求该角形区域中的电位

9、分布。解：由题意，在圆柱坐标系中，电位仅是的函数，在导电平板之间电位方程为其通解为 由边界条件，得 c b a题2.32图 题2.31图2-33.由导电平板制作的金属盒如图所示，除盒盖的电位为V外，其余盒壁电位为0，求盒内电位分布。解：用分离变量法，可得电位的通解为利用边界条件，可求出系数 （m、n为奇数） （m、n为偶数）题2-33图 题2-34图2-34.在的匀强电场中沿z轴放一根半径为a的无限长导电圆柱后，求电位及电场。解：由分离变量法，无限长导电圆柱外的电位的通解为 （1）设，当时的电位等于无导电圆柱的电位，即 （2）要使式（1）的电位在时等于式（2），可得到系数再由导体界面的边界条件

10、得因此，电位的特解为2-35.在无限大的导电平板上方距导电平板h处平行放置无限长的线电荷，电荷线密度为，求导电平板上方的电场。解:用镜像法,导电平板的影响等效为镜像位置的一个电荷线密度为-的线电荷, 导电平板上方的电场为式中、分别为线电荷及其镜像线电荷到场点的距离矢量。2-36.由无限大的导电平板折成的角形区，在该角形区中某一点()有一点电荷q，用镜像法求电位分布。解：如图将空间等分为8个区，在每个区中以原来的导电面为镜面可以依次找到镜像位置，原电荷的位置为()，在圆柱坐标系中为，另外7个镜像电荷在圆柱坐标系中的坐标为镜像电荷为对于场点，电荷到场点的距离矢量为则场点的电场为题2-36图 题2-

11、37图2-37.半径为a，带电量为Q的导体球附近距球心f处有一点电荷q，求点电荷q所受的力。解：点电荷q 受到的力（场）有两部分，一部分等效为镜像电荷的力，另一部分等效为位于球中心的点电荷的力。由镜像法，镜像电荷的大小和位置分别为由于包围导体球的总电量为Q，所以位于位于球中心的点电荷=Q-;因此点电荷q 受到的力为2-38.内外半径分别为a、b的导电球壳内距球心为d(d0半空间为介电常数为的介质，z0半空间的场时，原来的问题可等效为图2-41(b)，计算z0半空间的场时，原来的问题可等效为图2-41(c)。这样上半空间的电位可表示为式中为到场点的距离，为的镜像位置的电荷到场点的距离；下半空间的

12、电位可表示为式中为到场点的距离，为的镜像位置的电荷到场点的距离。利用边界条件，和得由此得和所受的斥力分别为(a) (b) (c)题2-41图2-42.真空中半径为a的导体球电位为V，求电场能量。解：用两种方法求解。1） 用电位求电场能量2） 用电场强度求电场能量导体球内的电场强度为零，导体球外的电场强度为电场能量为2-43.圆球形电容器内导体的外半径为a，外导体的内半径为b，内外导体之间填充两层介电常数分别为、的介质，界面半径为c，电压为V。求电容器中的电场能量。解：设圆球形电容器内导体上的电荷为 q，由高斯定理可求得在内外导体之间从而可求得内外导体之间的电压为圆球形电容器的电容为电场能量为2

13、-44. 长度为d的圆柱形电容器内导体的外半径为a，外导体的内半径为b，内外导体之间填充两层介电常数分别为、的介质，界面半径为c，电压为V。求电容器中的电场能量。解：设圆柱形电容器内导体上的电荷为q，用高斯定理，在内外导体之间内外导体之间的电压为内外导体之间的电容为电场能量为 2-45.两尺寸为aa的平行导电平板之间距离为d，带电量分别为,当将介电常数为的介质板插入导电板之间深度为x时，分别求介质板所受的电场力。ax题2.45图解：设空气填充部分和介质填充部分导电平板上的电荷密度分别为、由导体边界条件得，；由介质边界条件得或，因此空气填充部分和介质填充部分导电平板上的电量分别为，。由及得平行导

14、电平板之间的电场能量为由虚功原理，对于常电荷系统，介质所受的沿x方向电场力为第三章 恒定电流场3-1 半径为的薄圆盘上电荷面密度为，绕其圆盘轴线以角频率旋转形成电流，求电流面密度。解：3-2 平板电容器两导电平板之间为三层非理想介质，厚度分别为电导率分别为，平板面积为S，如果给平板电容器加电压V，求平板之间的电场。解：设导电平板之间三层非理想介质中的电场均为匀强电场，分别为、，根据电压关系和边界条件，、满足以下关系解此方程组得3-3 在3.3例2中，如果在弧形导电体两弧面之间加电压，求该导电体沿径向的电阻。解：设流过两弧面的电流为I。作以与两弧面同轴的半径为的弧面，流过此弧面的电流密度为，则由

15、 得由此得 两弧面之间的电压为 该导电体沿径向的电阻为 4-3 球形电容器内导体半径为a，外导体内半径为c，内外导体之间填充两层介电常数分别为，电导分别为的非理想介质，两层非理想介质分界面半径为b，如果内外导体间电压为V，求电容器中的电场及界面上的电荷密度。解：由于圆球形电容器内填充两层非理想介质，有电流流过，设电流为I。在圆球形电容器内取一半径为的球面，流过此球面的电流密度为，则由得 或 电场强度为电压为 由此求出电流与电压的关系后，电场为内导体表面的电荷密度为外导体内表面的电荷密度为媒质分界面的（驻立）电荷密度为3-5 求3-2题中电容器的漏电导。解：由3-2题得流过电容器的电流为所以 3

16、-6 求3-4题中圆球形电容器的电容及漏电导。解：此圆球形电容器的电容及漏电导是并串联的形式如图所示。3-7 分别求3-2题及3-4题中电容器的损耗功率。解：（1）3-2题（2）3-4题3-8 边长均为a的正方体导电槽中充满电导率为的电解液，除导电板盖的电位为V外，槽的其余五个边界面电位为零。求电解液中的电位。解：此题电位所满足的方程和边界条件与题2-33相同，因此其解也与题2-33相同。3-9 将半径为a的半个导电球刚好埋入电导率为的大地中，如图所示。求接地电阻。解：设从地线流出的电流为I，在大地中作与导体球同心，半径为的半球面，在此半球面上电流密度相同，显然满足关系电场强度为 导电球的电位

17、为 因此导电球的接地电阻为题3-9图3-10在电导率为的大地深处，相距d平行放置半径均为a的无限长导体圆柱。求导体圆柱之间单位长度的漏电导。解：用静电比拟法。此问题可与介质中的平行双导线比拟，其电导与电容的关系为因为介质中的平行双导线单位长度的电容为因此，埋地导体圆柱之间单位长度的漏电导为第四章 恒定磁场4-1.真空中边长为a的正方形导线回路，电流为I，求回路中心的磁场。解：设垂直于纸面向下的方向为z方向。由例4-1知，长为a的线电流I在平分线上距离为a/2的点上的磁感应强度为因而，边长为a的正方形导线回路在中心点上的磁感应强度为题4-1图 题4-2图4-2. 真空中边长为a的正三角形导线回路

18、，电流为I，求回路中心的磁场。解：设垂直于纸面向下的方向为z方向。由例4-1知，长为a的线电流I在平分线上距离为b的点上的磁感应强度为对于边长为a的正三角形，中心到每一边的距离为，因而，边长为a的正方形导线回路在中心点上的磁感应强度为4-3. 真空中导线绕成的回路形状如图所示，电流为I。求半圆中心处的磁场。(c)题4-3.图解：设垂直于纸面向内的方向为z方向。由例4-2知，半径为a的半圆中心处的磁场为（1） 因为在载流长直导线的延长线上磁场为零，因此（2） 由例4-1知，本题半无限长的载流长直导线在距离为a处的磁场为因此本题磁场为半圆环的磁场与两半无限长的直导线的磁场之和（3） 本题磁场为电流

19、方向相反的两不同半径的半圆环的磁场之和，即4-4. 在真空中将一个半径为a的导线圆环沿直径对折，使这两半圆成一直角。电流为I，求半圆弧心处的磁场。解：本题磁场为两相同半径但平面法线垂直的半圆环的磁场之和、分别为两半圆环平面的法向单位矢。4-5. 真空中半径为a的无限长导电圆筒上电流均匀分布，电流面密度为，沿轴向流动。求圆筒内外的磁场。解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布。因此无限长导电圆筒内的磁场为零；无限长导电圆筒外的磁场可用安培环路定律计算。围绕无限长导电圆筒做一半径为的圆环，利用安培环路定律在圆环上磁场相等，因此4-6.如果上题中电流沿圆周方向流动，求圆筒内外的磁场。解：

20、由于导电圆筒内为无限长，且电流沿圆周方向流动，因此导电圆筒外磁场为零，导电圆筒内磁场为匀强磁场，且方向沿导电圆筒轴向，设为 z方向。利用安培环路定律，取闭合回路为如图所示的矩形，长度为L，则因此 题4-6图4-7.真空中一半径为a的无限长圆柱体中，电流沿轴向流动，电流分布为，求磁感应强度。解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布，因此无限长载流导电圆柱的磁场可用安培环路定律计算。围绕无限长导电圆柱轴线做一半径为的圆环，利用安培环路定律左边 右边 因此有 4-8.在真空中，电流分布为求磁感应强度。解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布，因此磁场可用安培环路定律计算。围绕

21、z轴线做一半径为的圆环，利用安培环路定律左边 右边 因此有4-9.已知无限长导体圆柱半径为a，其内部有一圆柱形空腔半径为b，导体圆柱的轴线与圆柱形空腔的轴线相距为c，如图所示。若导体中均匀分布的电流密度为，试求空腔中的磁感应强度。解：利用叠加原理，空腔中的磁感应强度为为电流均匀分布的实圆柱的磁感应强度；为与此圆柱形空腔互补而电流密度与实圆柱的电流密度相反的载流圆柱的磁感应强度。利用安培环流定律式中、分别为从圆柱中心轴和圆柱空腔中心轴指向场点的矢量。因此为从圆柱中心轴指向圆柱空腔中心轴的矢量。习题图4-94-10.已知真空中位于xy平面的表面电流为，求磁感应强度。解：由于在无限大的平面上有均匀电

22、流，因此产生匀强磁场。磁场方向在y方向，跨电流面取一长为L的矩形回路，利用安培环路定律得因此 写成矢量形式为题4-10图4-11.宽度为w的导电平板上电流面密度为，如图所示，求磁感应强度。题4-11图解：在空间取场点，在导电平板上位置取宽度为的细长电流，在场点产生的磁场为导电平板上的电流产生的总场为4-12.半径为a的均匀带电圆盘上电荷密度为，圆盘绕其轴以角速度旋转，求轴线上任一点的磁感应强度。解：带电圆盘绕其轴以角速度旋转，其上电流密度为。在带电圆盘上取宽度为的小环，电流为，由例4-2知，在轴线上产生的磁场为旋转带电圆盘在轴线上产生的磁场为4-13.计算题4-2中电流的矢量磁位。解：首先计算

23、载电流为I、长度为的直线在距离为d处的矢量磁位。设电流方向为，如图所示。题4-13图矢量磁位为对于等边三角形，。其中等边三角形的一条边在等边三角形中心的矢量磁位为等边三角形的三条边在等边三角形中心的矢量磁位为4-14. 计算题4-3中电流的矢量磁位。4-15. 一块半径为a长为d的圆柱形导磁体沿轴向均匀磁化，磁化强度为，求磁化电流及磁化电流在轴线上产生的磁感应强度。解：由于均匀磁化，圆柱形导磁体中的磁化体电流为零。圆柱形导磁体侧面的磁化面电流密度为在圆柱形导磁体表面取一宽度为的电流环带，先计算此电流环带在轴线上的磁场（例4-2），然后对积分积分得 4-16. 一段截面为长为d的方柱形导磁体沿长

24、度方向均匀磁化，磁化强度为，求磁化电流及磁化电流在轴线上产生的磁感应强度。解：由于均匀磁化，方柱形导磁体中的磁化体电流为零。方柱形形导磁体侧面的磁化面电流密度为，围绕方柱形导磁体表面作如图所示的平行与xy面的矩形回路，电流沿此矩形回路流动。先求高度为dz的矩形回路电流在轴线上产生的磁感应强度4-17.在磁导率为的媒质1及磁导率为的媒质2中距边界面为h处分别平行于边界平面放置相互平行的电流、，如图所示，求单位长度的载流导线所受的力。题4-17图解：用镜像法。在计算媒质1中的磁场时，在2区的镜像位置放置镜像电流；在计算媒质2中的磁场时，在1区的镜像位置放置镜像电流。利用边界条件、，可得方程解此方程

25、得电流所受的力为 电流所受的力为 为引力方向。4-18.在截面为正方形半径为的磁环上，密绕了两个线圈，一个线圈为m匝，另一个线圈为n匝。磁芯的磁导率为100，分别近似计算两线圈的自感及互感。解：近似认为密绕在磁环上的线圈无漏磁，磁环中磁场相等。用安培环路定律N为线圈匝数。取闭合回路沿磁环中心线，则磁环中 即 由于，穿过磁环截面的磁通近似为因此 4-19.在一长直导线旁放一矩形导线框，线框绕其轴线偏转一角度为，如图所示。求长直导线与矩形导线框之间的互感并在图上画出互感为正时的电流方向。解：长直导线到线框两边的距离分别为长直导线通过线框中的磁场为长直导线的磁场通过线框两边之间的磁通等于通过半径分别

26、为、的圆弧之间的磁通，因此穿过线框的磁通可用下式计算 互感为题4-19图 题4-20图4-20. 在一长直导线旁放一等边三角形导线框，如图所示。求长直导线与等边三角形导线框之间的互感并在图上画出互感为正时的电流方向。解：如图所示，长直导线在等边三角形导线框面上的磁场为穿过三角形导线框中的磁通为互感为 4-21.在4-20题中如果两导线回路的电流分别为、，求等边三角形载流导线框所受的磁场力。解：系统的磁场能量为对于常电流系统，磁场力为4-22.在4-19题中如果两导线回路的电流分别为、，求矩形载流导线框所受的磁场力矩。解：系统的磁场能量为对于常电流系统，磁场力为第五章 时变电磁场5.1如图所示的

27、电路中,电容器上的电压为,电容为C, 证明电容器中的位移电流等于导线中的传导电流。解：设电容器极板面积为S，电容器中的位移电流为,传导电流为5.2由麦克斯韦方程组推导（5.3-4b）式。解：对麦克斯韦方程两边取旋度得上式左边利用矢量恒等式，并考虑到对于均匀介质，上式右端代入麦克斯韦方程，得5.3已知导电媒质中求：（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）由麦克斯韦方程（2）（3）（4）5.4 在和两种理想介质分界面上求。解：由两种理想介质分界面的边界条件得 ，5.5在理想导体面上求导体表面上的。（设理想导体表面的法向为）解：由理想导体表面上的边界条件设理想导体表面的法向为得导体表面上的为 5.6

28、 已知在空气中求： v。解：由得 由得5.7 已知在空气中在圆球坐标系中，求。解：由5.8 已知在空气中在圆球坐标系中，求。解：在圆球坐标系中利用关系式得上式代入得5.9 已知在空气中在圆球坐标系中，求。解：在圆球坐标系中利用关系式得上式代入得5.10 已知在如图所示的用理想导体制作的矩形管中为常数，（1） 求；（2） 求；（3） 验证满足边界条件；（4） 求各理想导体面上的面电流；（5） 求穿过管截面的平均功率。解：（1）由得（2）（3）在的理想导体面上，因此即满足理想导体面边界条件。（4）由在的理想导体面上在的理想导体面上在的理想导体面上在的理想导体面上5.11 如图所示，两个厚度为，间距

29、为的平行导体长板。导体板宽度为，板上恒定电流为构成回路，电压为。（1） 导体板近似看作理想导体，忽略边缘效应。求穿过端面的功率。（2） 证明流进电导率为的单位长度导体板中的功率正好等于欧姆定律计算出的单位长度导体板的损耗功率。解：（1）导体板近似看作理想导体，忽略边缘效应，导体板之间的电场强度为穿过端面的功率为 （3） 电导率为的导体中的电流密度为由，导体中的电场为 流进电导率为的单位长度导体板中的功率为式中为宽厚为的单位长度导体板的电阻。第六章 平面电磁波1.在=2, =1的理想介质中,频率为=150MHz的均匀平面波沿y方向传播,y=0处, =10V/m,求, (y,t), ,(y,t)

30、,.解： =150MHz=10Z=120/=/12(y,t)= 10cos(2*150*10t-y)(y,t)= /6cos(2*150*10t-y)=5/62.在真空中求,(z,t), , ,Z, .解：由得=1m ，真空中 Z=120=120=-1203.在理想介质中(x,t)= 80cos(10*10t+2x)(x,t)= -cos(10*10t+2x)求: , , ,.解： 由得 =Hz=1m,由: ，从而 及 波阻抗 得：=9 ,=44.均匀平面电磁波在真空中沿=1/(+)方向传播, =10,求,(y,z,t),(y,z,t), .解：设已知，则k=2/,=10=1/Z*=/(24)

31、(-)(y,z,t)= 10cos(2c/t-/(y+z)(y,z,t)= 1/(12)(-)cos(2c/t-/(y+z)=5/(6)(+)5.证明电磁波=5(+)=5/120 为均匀平面波.证明：由=5(+)即 ，=/2-1/2=0 ，=0又的方向不变，等相面为与垂直的面，显然为平面。且，的大小也不变，故为均匀平面波。6.求=100kHz,1MHz,100MHz,10GHz时电磁波在铝(=3.6*10/欧米, =1, =1)中的集肤深度.解：=1/=100kHz, =2.6526*10 m=1MHz, = 8.3882*10m=100MHz, = 8.3882*10m=10GHz, = 8.3882*10m7.银的=6.1*10(1/欧米),在什么频率上, =1mm?解：由=1/得：= 4.2KHz8.电磁波的频率为100MHz,媒质参数为=8, =1, =0.5*10(1/欧米),求,.解：=1/= 1.0607*10m/s=3m=3/=1.0607m=2/= 5.929.设地球的=8, =1, =5*10(1/欧米),在什么频率范围可将地球近似看作介质?求该频率上的.解：当 时，可看作介质，工程中大于10倍即可，故：10*= 8.988*10Hz=0.333210.在真空中,均匀平面波=(-1+j2)+(-2-j)求,及极化状态.解：=-，k=1, =2=-(-1+j2