冯恩信 电磁场与电磁波 课后习题答案.pdf

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1、习题1.1已知 =2+39 2；月=+22,求:(a)4和B的大小(模)；(b)A和5的单位矢量；(c)A B-,(d)M xQ；(e)A和8之间的夹角；(f)A在3上的投影。解：(a)4和8的大小A=同=Q A；+A；+32+=V14=3.743=年8+B；+B；=712+12+22=瓜=2.45(b)A和8的单位矢量2 =-=痂(2x+3 y-z)=0.5 3 5i+0.802$-0.267z-B 1b=j =桌(x+y-2 z)=0.408x+0.408g-0.81 位(C)A B屋 A也+AV 纥+A也=2+3+2=7(d)A xBAx B-x4B、八 人y zA AB、B.A人y z

2、3-1 =-5+3 y-z1 -2(e)4和 B 之间的夹角a根据Z-=ABcosa得cosa=A BAB79.1630.764a =40.19A 在 8 上的投影A bA B72452.86B1.2如果矢量A、8 和 C 在同一平面，证明A(5xC)=0。证明：设矢量A、8 和 C 所在平面为孙平面B=Bxx+ByyC Cxx+Cyyx y zB x C=Bx By Bz=(ByCz-BzCy)x+(BzCx-BXCZ)y+(BxCy-ByCx)zCx Cy C=C B,C 工A (B x Q =0 x(BxCy-ByCx)z-z=O1.3 已知 A=co s a+gs in a、B=x c

3、o s-y s in(3 C=xc o s/3+y s in(3,证明这三个矢量都是单位矢量，且三个矢量是共面的。证明：1)三个矢量都是单位矢量A=同=JA：+A；+A；=Vco s2 +s in2 a=1B=网=JB；+B；+B：=7 co s2 +s in2 =1c=|c|=Jc：+C；+C；=7 co s2+s i n2=12)三个矢量是共面的土 yB x C Bxx Byvc cZB_=2 co s/?s in 伉cA(B x C)=0 x 2 co s 用 s in废-2 =01.4 当 A I Z时.求 a。解：当N 1Z时，=0A,B=t z+2 +3 =0所以a =-51.5

4、证明三个矢量4 =5-5$、B=3 x-7 y-z C=一2 -2 -2形成一个三角形的三条边，并利用矢积求此三角形的面积。证 明：因 为A-B =2x+2y+zA +(-B)+C =0所以三个矢量A、B和C形成一个三角形此三角形的面积为5=小、同=XyA,B、zAB ;x y5-53 -7z0 =V 52+52+2 02/2 =1 0.6-11.6 P点和Q点的位置矢量分别为5 +1 2 亍+2 和 2 -3 亍+二 求从P点到Q点的距离矢量及其长度。解：从 P点到Q点的距离矢量为R =rQ-rp=(2 x-3 y +z)-(5 x +1 2 y +z)=-3 x-1 5 y从 P点到Q点的

5、距离为/?=|=7 32+1 52=1 5.31.7 求与两矢量A 4 x-3 y +z和B=2 x+y-z都正交的单位矢量。解：设矢量C 与两矢量A=4 3 夕+2和 5=2+夕2 都正交，则A-C =4 C -3 C +C.=0 (1)*)ZB C =2 C+C-C.=0 (2)x y t.+(2)得 6 Cv-2 Cv=0 t C,=3C(3)(1)+3 义(2)得 1 0 Cv-2Q=0 f Cz=5 CV(4)如果矢量6是单位矢量，则C =I c|=Tc J Tc f Tc F =7C9C1+25C=1所以 c*=j=0.1 6 97 1 +9 +2 5J =3C”().5()7C.

6、=5Q=0.8 4 5C =0.1 6 9 r +0.5 0 7 9 +0.8 4 5 z1.8 将直角坐标系中的矢量场 分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量表示。解：在圆柱坐标系中cos。si”0cos。si”01cos。=-sin 9 cos。0“=-sin 9 cos。00=sin。001001 0_0Fx(夕,夕,z)=cos痂-sin(p(pcos。si”0-4-cose si”0usin。F*二一 si”cose 0-sine cose 01=cos。一 心 一0 0 1_FZ20 0 1_ 00F2 1p,z)=sin 痂 +cos 时在圆球坐标系中F“殳=sin。coscosOc

7、os。sin OsinocosOsinecos。一 sin。正 叫-sincos。0sinOcosesin Osin 夕cos。丁sin。cose=cos0cos(pcosOsin。一 sin。0=cosOcosp-sincos00-sinFx(r,a(P)=sin 0cos(pp+coscos-sin qxp工2F 2F*=sinOcos。cosOcos/-sin sinOcos。sin Osin 夕cosOsin 夕cos夕sin Osin 0cos。一 sin。0cos。%sin 8 sine_F-0-z2_=cosOcosocossin?sin。1cosOsin/一 sin ocos。

8、0 J0cos.人F2(r,0.cp)=sin sin+cos sin(p6+cos(p)1.9将 圆 柱 坐 标 系 中 的 矢 量 场二三用直角坐标系中的坐标分.；A一量表示。得(1)6(x,y,z)=2cos m+2sin 新凡cos sin 夕 022cos 夕%=sin 夕 cose 00二2sine0 0 1 00又因为(2)一2F(x,y,z)=2Q=-(xr+yy)F2(x,y,z)=-3sin 砒+3cos 行利 用(2)式可得_3F、(x,y,z)=3(p=,(戏-yx)k+y1.1 0 将圆球坐标系中的矢量场;运用直角坐标系中的坐标分量表示。解：根据Ff(x,y,z)=x

9、5 sin 0cos(p+y5 sin 9sin 夕+z5 cos。sin 3cos(pcos。cos。-sin 55sin6cose%=sin Osin cosOsin/cos。0=5sin Osin 夕cos。一 sin 6005cos。x-r s in 0c o s(p又因为)=。=0 x /人 i/人八八、二 /,(xx+yy+zz)Jx +y +z-0=/,；(方一词E(厂,a o)=。=。x /，/人 人、4 /八 八 人、=厂,广(x y-y x)x ,(xx+yy+z z)Jx +y x2+y2+z-=-/J T 7 l-z(x2+/)+x z r+y z y 7 x2+y2

10、x2+y2+z21.1 1计 算在圆柱坐标系中两点P(5,n/6,5)和Q(2,万/3,4)之间的距离。解：两点P(5,乃/6,5)和。(2,乃/3,4)之间的距离为4=J(X|%)2+(|一内产+91-Z z)?=A/(5X CO S(ZT/6)-2X CO S(/3)2+(5 x s in(/6)-2 x s in(/3)2+(5-4)2=J(3.3 3)2 +(0.7 6 8,+2 =7 1 2.6 9 =3.5 61.1 2 空间中同一点上有两个矢量，取圆柱坐标系，4 =3 0 +5 0 4 2,8=2。+4 0 +3 2,求:(a)4+8 ；(b)Ax B；(c)A和B的单位矢量；(

11、d)A和3之间的夹角；(e)A和3的大小；A在5上的投影。解：(a)H+月=(3 +2)万+(5 +4)0+(-4+3)2 =5。+9。-2(c)A=1-(3。+5。一 4z)=(2p+4+3z)、*二.y“7.07”人B 1b =(2p+4+3z)B 抄+42+32(d)A和3之间的夹角短即+力+3力0=cos-1(B)-c o s-I()=68.4。AB 38.077(e)A和3的大小A=7.071B=4 B B；+B：=5.385(DA在5上的投影-人 1A/?=(3Q+50 42)y (2 Q +40+32)=2.61.13矢量场中，取圆柱坐标系，已知在点r(1,乃/2,2)矢量为4=

12、2。+3 0,在点Q(2,%,3)矢量为 5=3Q+1O2；求:(a)A+5；(b)A(c)A 和 3 之间的夹角。解：转换到直角坐标系I sin(5IT/LA.A.A suno ocsO O(a)(b)(c)AB-3x+2y-1000-1000-30103x+1 OzA+B-29+102A-B=9A和8之间的夹角6=cos-1(-)=cos-1(-)=125.7AB 15.441.14计算在圆球坐标系中两点P(10,乃/4,万/3)和Q(2,乃/2,外 之 间的距离及从P点 到Q点的距离矢量。解：根据圆球坐标与直角坐标的关系x=r s in 0c o s(p y =r s in O s in

13、。z-r c o s OX =r s in 6 co s =1 O x 0.7 0 7 x 0.5 =3.5 3 5 y=r s in s i n=1 0 x 0.7 0 7 x 0.8 6 6=6.1 2 2Z=r c o s d=1 0 x 0.7 0 7=7.0 7x2=r s in co s =2 x 1 x(-1)=-2 y2-r s in s in?=2 x lx =0z2=r c o s d=2 x 0 =0d=-尸+(弘 一丁2尸 +(Z-2 2)2=7(3.5 3 5+2)2 3*6*8+(6.1 2 2)2+(7.0 7)2=1 0.8 71.1 5空间中的同一点上有两个矢

14、量，取圆球坐标系，A=3r +0+5(p,8=2/一。+4 0,求:(a)A+8 ；(b)A“；(c)A和3的单位矢量；(d)4和B之间的夹角；(e)A和8的大小；A在8上的投影。解：(a)4+3 =5/+9 0(b)A B=25(c)A和5的单位矢量A Z*I人3 =(3/+6 +5 0)；Z?=(2f 6 +4。)V3 5 V2 1(d)A和8之间的夹角6=co s-1(无 当=co s 1(金-)=2 2.7 5 AB 2 7.1 1(e)A和B的大小A=+由+A；=5.9 28 =加+比+用=4.5 8(f)A在5上的投影=(3/+3 +5 0 A 4(25一。+4。)=5.4 5 5

15、1.1 6 求/(X,y,Z)二/产 的梯度。解：V/=x+y +z=3x2y2zx+2x3yzy+x3 y2zdx.dy di1.1 7 求标量场三在点（I1 1）沿方向的变化率。解:公琮+痔+冬yi+6 +4z2l,、二(xx-2y+z)次+V+12=xy 2x+4zJ/+y 2 +所以詈|(1”)=/1.1 8 由利用圆柱坐标和直角坐标的关系，推导解：在直角坐标系中(1)X =pcos夕y=p sin(pz 二 z(2)P(p =arctg x(3)(4)(5)由（2）、（3）式可得dp=COS（Pdx(6)_ _ 2 _d(p x2 y 1 .5、-=-=广 一7 =s in e (7

16、)&1 +()2 尸+y-PXepSy=s in (p(8)1d(p x x 1 ”、=-=-=co s*(9)i +(2)2%+y PX由(1)一(5)式得V 0 =x +y +z 今 4 d人 人 八 八 8 D 人独=(Q co s e -0 s in (p)+(Q s in 0 +0 co s 0)+2 dx,dy di而加 5 0 dp M)d(p S O 1 S中.=-1-=-CO S 6 9-s in。&dp dx d(p dx dp p d(p。dp d(p d.1 3=-二+-=S H1 0+-C O S 6 9 dp dy d(p 8y dp p d(p再 由(6)-(9)

17、式可得VO=(Q co s _0s i n o)(c o s(p-s i n c p)dp p d(p/人.A、/凶).十 (Q s i n 0+0co s 0)(s i n 夕 +明_L硬p e(p八co s。)+z di。以高 +足以 s i n?。0 名 co s e s i”-非以 c o s*”dp p d(p dp p d(p+Q丝s i n”对生。s 2/+0旦。s*n +对生。s源”+把dp p d(p dp p d(p d z.-Z-1.1 9 求/（p，8，z）=p co s。的梯度。解:W旦+01且+2巨dp p d(p di=p c o s(p-(p n(p1.20由二

18、，利用圆球坐标和直角坐标的关系，推导立-O解：x=rsinOcosg=；v-1*-Ls=(以 包 +名 丝 +以 丝)(沁in%os+%os%os-0sin)dr dx d0 dx d(p dx+(黎导瑞*瑞凯沁 i n e s in o+%n c o s )+(凶）a”+项ae+加 3夕dr dz 80 dz d(p dz)(/cosg-isin。)50 八 人 人=(sincose)(/sin6cos+ecosecos夕一0sin0)dr1 3 人 人 人+(-cos Bcos cp)(/sin，cose+8cos9cos0-0sine)r d0-(-sin(p)(沁in8cos0+3co

19、secos0-0sino)rsin dtp50 八 八 八+(sin Osin)(rsin sincp+cossin(p+(pcos(p)dr+(-cos 6sin)(rsin 3sin(p-cossin+(pcos(p)r d01 50 人 八+(-cos。)(rsin 夕sin 夕+，cos6sin 0+0cos夕)rsin0 d(p8中 八+(cos 0)(尸cos。一 6sin 夕)dr1 3 人+(-sin。)(/cos6 Osin夕)r dO-1.21 求/(r,。,。)=sinO cos夕的梯度。解：7f=r +0-+(p-dr r 36 r s in 6&=/2 rs in 8

20、 c o s +为c o sec o s0 伊 sin。1.22求 梯 度?其 中 左 为 常 数。解：T=QVr=r=rdrNekr=r =rkekrdr1.23在圆球坐标系中，矢量场 附 为 反 力=与 尸，其中左为常数，证明矢量场 协 对任意闭合曲线/的环量积分为零，即,户，=0。/证明：根据斯托克思定理：dl=J JV x F S/sr r0r sin 60Vx F(r-7 x r da=0v x 厂r r sm0ap00所以p.j/=|V x F /S=Oi s1.23 证 明(1)证明：(2)(1)V 2登 色 虫+夕 且 虫+2 2 虫+&+dz TT dx+2 a 甲 p2 d

21、y P dz T2 dz=工+0+小例-戈 曳+名+史dx dy dz 5 f i r dy dz击(5一%)(2)VF()=2/+夕色尸+2 尸dx dy dza a a=xF O+F O+zF O=尸()dx dy dzHA-JS-1.24 由 SA =l i m -推导*-F=oA Y T0 A V a解：d 小Q d.dg-r-4-(CS O O y+du i s cy)ds o o y +s o o y +u i s y)u i s +d)Q d dq(d)u i s y-O s o o y)d)u i S y -(d)u i s y-O s o o y)ds o o =7 f f

22、g d)Q&Q d XQ d)Q XQ d而 小 而7+语 坛+而 砺+/至 一d 0O s o。一=U)UIS=d6 U IS-一力 s o o =XQd)QY。雨O s o o 婚+。呼”w =Aydi i s V V=V 爵VTi o oV七 Io 5 C E 2klK=&|O iCI1S 5ODV(2)=sin Seos(pdxa/-5y=sin Osin/arf e/菽衫=cos 8=-cos Ocos(pr1 八=cosc/sm?1 .=sm 8dz rd(p _ sin cpdx rsin 0d(p _ cos(pdy 厂 sin。丝=0dz|_-f i r Oe S3x dr

23、dAx Q6 dAx d(p 必)，dr 5Ay Q0 dAy Q(pdr dx 5 0 dx d(p dx dr dy d0 dy d(p dy阴 一 dr dA.d0 dA.d(p+-+-+-dr dz dO dz d(p dz=sincos(p(sin cos(pAr+cos9cos(pA0 一sin 出)dr+cos cos(p-(sin cos(pAr+cos cos(pAe-sin 4)sin。drsin 加(sinOcosM +cos6cos处 0-sin(pA)d+sin sin 一(sin Osin 出,.+cos Osin(pAe+cos 出)dr+cos sin (sin

24、 0 sin(pAr+cos 6 sin(pA0+cos(pA)r 60COS。U /C.A 八 A A、+-z-(sinsin(pAr+cossin(pA0+cos 出)rsin 0&pa+cos 0 (cos 0Ar-sin 3A0)drsin6 3,八4 .、-(cos 3Ar sin 6A0)r 30-sin2 cos2(p-Ar+sinco s cos2(p A0-sin 6 8 s sin(p-Adr dr dr+si.n2 Osin2 (p-日 A.2.0r 4-sin cos sin(p A0+sin sin?cos cp4-cos2 0-Ar-cos Osin。二 A。dr

25、dr+(sin Seos 6cos2(p-Ar+cos2 Seos2 cp Ao-cos 8 cos 9sinc p-A)r 30 36 30+(sin Seos Osin?cp Ar+cos2 sin2(p A0 4-cos Bsin 9cos(p A)r 30 36 36-(sin 6cos 0 Ar-sin2 0-Ao)r 30 33+(cos2/9cos2(pAr-sin/9cos cos2(pA0)r+(cos 2 Osin2 3Ar-sin cos 0sin2(pA0)r1 .9+(sin*-0Ar+sincos 0AO)r1H-rsina a e(-sinsincos Ar-co

26、s0sin(pcos(p Ao+sin2(p A)d(p&p ap1/n。A n CZ.2 A +-(sin夕sin/cos。Ar+cos，sincos9 Ao+cos cp A)using d(p 的 的+-(sin Bsin?(pAr+cos 0sin2(pA0+sin?cos(pA)rsin。+J a(sin 6cos2(pAr+cos geos2(pA0 sin 夕cos epA)d 2 sin。cos。1 啊=(Ar)+-Ar+-(4)+-4 +-dr r rsin 30 rsin rsin d(p1 d 9 1 d 1 必。=/万（厂4）+嬴 工 为（而 啊）+嬴 工 不1.26计

27、算下列矢量场的散度b)户=万+p(pb)V-F =-(p F )+-+-=-p 3p p 3(p dz.p、V 7 己 1 。/C I 7、1 ,4 ,co s2 6c)V -F =(r-F)d-(s i n此)H-=s i n d H-r dr r s i n 6 0 r s i n。d(p r s i n 01.27 计 算 散 度(9),(豆后)，其中G为常矢量。解：.(而)=2P dpcc I 口。小 日中 日 小日.2小 1日，孤、1 I?1.28 由 V-中二一-+丁推导-d(p 6 0 S O .1 50=-+=co s 0-s i n e?-dx dx dp dx d(p dp

28、 p d(p以=%以+生虫=s i n e以+c os ldy dy dp dy d(p dp p d(pa?a.i 5 w a.i a ox菽=(8 S*而-s m*方.)(c。即 法-s m。4 而)2 d2 a,i 颉、.i d,。、=co s (p s i n 0co s 0 (-)-s m(p-(co s。)dp2 dp p d(p p d(p dp+s.i n i a(zs i.n?e、)p o(p d(pa2(p2=(s i n/+c osj 与(s i n 夕 辿+c osj 吗dp p d(p dp p d(p=s i,r r2 夕a2o-+s.i n co s a(-e-)

29、、+co s-i-a-(s i n.项)、dp dp p d(p p d(p dp+c o s(p 1 -d-(zc o s 夕e、)p d(p d(pm小=co s*2*c pe之-s.i n?co s?a/(-s-)、-s i.n 9-i-d-(z co s。-a-o-、)dp dp p d(p p d(p dp+s.i n 1 a(z s i.n?50)、)p d(p o(p.o a2O .d A 1 3/.+s i n -(p-+s i n (p c o s c p (-)+co s*-(s i n。-)8p dp p d(p p d(p dp+C O S 夕一1 7 d(z C O

30、S*3中、)p d(p d(p=a2o-+s.i n2-(p1-S-O-s.i n co s-1-6-2O-+s i.n co s -1-6-dp p dp p d(p dp p-d(p2 1 50).1 .1 9 2 1 於+co s (p-F co s s i n (p-co s Q s i n (p -F co s-(p-p dp p d(p dp p-d(p p d(p 13 1 1。，泊)、1 J?=-+-7T=-h(Q=)+2 q 2dp p dp p-d(p p o p o p p a p1.29已知a)f(r)=x2zb)f (r)=pc)/(r)=r求 力 九解：a)小富+篆

31、答b)-Ug旦)+上包+宫 p dp dp p d(p SL1 p、也 _1巴2 0 1 3/、1 2f _ 2c)V f =(r )H-(si n 6 )H-=-r dr dr r si n dO dO r si n _ 0 3(p r1.3 0求矢量场穿过由确定的区域的封闭面的通量。解：解 法1：r p r p ,r-*,r p r p-*一目 F dS=J jdS+j d S +J j S +J j F d Ss S S2 S3 s45为半径为1的圆弧侧面；S 2为侧平面；3下端面；S,上端面。1 nJj k =JJ p p+0 +z2)zp dc p dz=j j p p dc p d

32、z=7151哥0 0i 1j j F-=Jj (p p+0 +z2)(-9)渥z=_ j J(s2 s2dzdxy =0-1 00 1=j t/x-j t/x=0-1 0jp.曲=JJ(而+0 +ZZ)S3 S3z =().(-z)=0jp.而=j j(侬+0+ZZ)S4 S4 Z (z)p dp dc p =71121，Pi*P/*Pi*，/*1 F -d S =jjd+jjd+J J m +S =3%/2S S S?S3 S4解法2：丹户=Jj j v F dV=JJJ3dV=3V =3万/2VV1.31由(/乂4)贷=山工1-推导V xA =As 0zaAz(yd一分Ay先旦金4解：1)

33、设 立=,/为边长为A y和Az的，中心在(x,y,z)的矩形回路r _-S A dA A dl-4 Az -(A、,+-Az)Ay +(Az+-Ay)Az +A、,AyI&dy=-Az Ay H-L A.y Az&dyZ dz dy2)设。=9,/为边长为A x和 A z的，中心在(x,y,z)的矩形回路-dA 8AA-dl=-Ax/i x -(A+Ar)Az +(Ax+-Az)Av +A Azdx dz 也 必 上+也 加dx dz1-=-二 +2Av dx dz3)设吩=2,/为边长为A r和 A y的，中心在(x,y,z)的矩形回路-dA S 4VA-dl=一A、Ay -(Av+-Ay

34、)Ac +(Ay+-Ar)Ay +Ax/S xdy dx-也A)&+冬 gdy dxA-di/Av因此盟+外dy dx x u (一里 +当+兴-四+吗+2(.生+9)dz dy dx dz dy dx-zga4元旦金41.32 计算矢量场的旋度解:VxF3c dy工F、.工diA Ay ze a di2yz-1x ya dzaXda孙=x(-2y)+9(0+0)+z(-x+0)c 人 人=-2yx-xz1.33 计算V x万,X7x元 x(z Q),V x 0解:x万P八 八 AP P(P Z亘 亘 旦dp d(p dz.X?0 0=0PV x(zp)=-P加zr1 sin 0 dr-o班.

35、m，一即oz2龙0。二9前亘箔o x 0 =_ 1 _ d_r sin。dr0red_0rsin 0(pda(prsin 6?Acos。=r；rsin 61.34 已知 计算解:V x y 4=Xa,八 Ay ze 6dx.4 dLA A.A,dx.dy diy-x 0=(yx-xy)-(2z)=0对于任意矢量，若4=4。,丁甘+4（苍丁方V x AzeAz旦今4Xddx.3一4日yA=2(-%+生)dy dx一 dA A,(x,y)x+Av(x,y)门 2(-T+)=0dy dx1.35证明矢量场E=y戌+X 2 +x,既是无散场，又是无旋场。证:-dE dEYN E=+-dx+四三。dzV

36、x Ex y z3 3aSx,diE x E y E:A Z V /x y zA万ddx dy diyz xz xy=01.36 已知 E=&）c os3 E（）si n。，求 V-E 和 V x E。解：w7,1 0/F、1 d.,1 取V-E=(r .)+-(si n 6!E.)+-r dr r si n 60 r si n。d(pJ 冢?E 8 s 6)+焉条 i n 6(-E。si n 6)2E0 c os。2fo cos-=()r si n 0(pd_d(pr si n 比Q而亘花应户d一分Er1nelsi2r=一VXE1 d_r2 sin 3 drE。cos。rdale-rE0 s

37、in 0rsin 0(pa解:1.37-(-Eo sin。+&)sin 6)=0V x(OA)=xd _aC22OA,yg分必 A冈)A,aoA aAx aoA、独4V、=一-r-)+-+2(-dy dz dz dx dx dy二 似 次.竺)+9(生 一 次)+#当dy dz dz dx dx dy+必八/4豆一 4A 至）十八六/人4S至O-.4 8菽、）+“”人S标O-A4,6诙0）=OVx A+VOx A1.38解：根据亥姆霍兹定理其中1m ,_fc因为7x户=0,因此N=0；对于.户=。%）因y）b（z）J e 一)5)dydz4/4 J(x-x y+(y-y)2+(z-z，)247

38、 r r所以-1 rF(F)=-V O(r)=-V ()=4加 4 k1.39 已知,算后解：根据亥姆霍兹定理因为户=0,因此=()；对于 x斤=23(x)5(y)5(z)=#，W W 9)4/沙 yl(x-x y+(y-y)2+(z-z)21 1 人=z=-(r c os 6 -Asi n。)4 m 4 r所以F(r)=V x A(r)州一。sin亘琢o而亘弟人,3一分4enlsi2r-0州2i勿s4一一富-ar为场点到坐标原点的距离，a,b为常数。求电场强度。解：由于电荷分布具有球对称性，电场分布也具有球对称性，取一半径为r的球面，利用高斯定理肛S%等式左边为目 引 扰=4仃2”半 径 为

39、r的球面内的电量为q=4/5 aA/+5匕。24万-;r a5因此，电场强度为,3E7T；ra5 20。*+5 ba25%-2-6.在圆柱坐标系中电荷分布为P=r ar为场点到z轴的距离，a为常数。求电场强度。解：由于电荷分布具有轴对称性，电场分布也具有轴对称性，取一半径为r ,单位长度的圆柱面，利用高斯定理s等式左边为抵.抵=2mE,半径为r、高 为1的圆柱面内的电量为r rq =J p2mdr=Ja00271r3-;r aI 3因此，电场强度为Er=r2-;r a2-7.在直角坐标系中电荷分布为焉件多求电场强度。解：由于电荷分布具有面对称性,电场分布也具有面对称性，取一对称的方形封闭面,利

40、用高斯定理，穿过面积为S的电通量为E,2 S,方形封闭面内的电量为2 x 5/?0;|x|a因此，电场强度为E,詈;|小a60吗xa,。2-8.在直角坐标系中电荷分布为阳*Ma求电场强度。题28图解：由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，取一对称的方形封闭面,利用高斯定理，穿 过 面积为S的电通量为E*2S,方形封闭面内的电量为4=2X Xj pSdx=2/xSdx=0 0 x2S;|x|a因此，电场强度为E、=x2-;0 x C l.2%x2-;a x 02%a2-X -Q2%2-9.在电荷密度为夕(常数)半径为a的带电球中挖一个半径为b的球形空腔，空腔中心到带电球中心的距离为c

41、(b+ca)。求空腔中的电场强度。题2-9图解:由电场的叠加性，空腔中某点的电场等于完全均匀填充电荷的大球在该点的电场与完全均匀填充负电荷的小球在该点的电场之和。利用高斯定理，可求得完全均匀填充电荷的大球在该点的电场为E=座3号完全均匀填充负电荷的小球在该点的电场为所以，空腔中某点的电场为守功啜c 为从球心指向空腔中心的矢量。2-10.已知电场分布为E =x b/2 x b/2-x;x b/2求电荷分布。解:由左=夕/%得.优凶 8/22-11.已知在圆柱坐标中，电场分布为E=,a r b 其中为常数。求电荷分布。解：由2=夕/,得p =s07-E在a v r v b,V-E =V-()=0(

42、在圆柱坐标系)在 r b,后=0因此 夕=0在-a,厂b 有面电荷.电荷面密度为A =D=%E“=QC/a;r=a-c0C/b;r=b2-12.若在圆球坐标系中电位为(b-a);r a 、,a b、.=(-c i)a r b求电荷分布。解:由 =一2/q 得体 电 荷 密 度 z?=-0V2O(b-a);r a对(V)=(Q);Q r Z?求 拉 普 拉 斯 运 算 得 =0因此 0 =0下面计算r=a,r=b的分界面上的面电荷。一石=一 户d用.(r)=dr0;r aa b .；6 f r /?面电荷密度 Ps=D,=oE =，a；a oa/b,r =b2-13.分别计算方形和圆形均匀线电荷

43、在轴线上的电位。(a)解：(a)方形均匀线电荷在轴线上的电位方形每条边均匀线电荷的电位c L/2 ,t不/、P i f dz(d)=-/=4 兀%.Xi其中 d2=z2+(L/2)2方形均匀线电荷在轴线上的电位为=旦1苫2+?21兀年 ylz2+LT/2-L/2(b)圆形均匀线电荷在轴线上的电位ad(papt2-14.计算题2-5给出的电荷分布的电位。解：题 2-5给出的电荷分布的电场为=r3-丁，”a5 e0aa3+5 bcr5/由电位的定义，电位为对于ra.r a3+5 ba2,a3+5 ba2=1一 dr=-r 5%r 5 sor对于r 一十）;z 0及（z,）=2 4 7 z 2+a-

44、（1 +TX=）；Z L/22z-L/2);z-L/2+a2z+L/2);z L/2+a2Ep-2+2%6z+L/2z-L/2z+L/2)2+a2 yl(z-L/2)+a2z+L/2 z L/2L/2 z L/2=;z L/222o(z+L/2)2+a2 yl(z-L/2)2+a2-21.半径为a的介质球均匀极化，公器，求束缚电荷分布。解:介质中的束缚电荷体密度为“=()(2)介质表面的束缚电荷面密度为,=户=2 况,=4)cos62-22.求上题中束缚电荷在球中心产生的电场。解:介质表面的束缚电荷在球心产生的电场在 介 质 球 表 面 取 半 径 为r=。$1|9宽 度 为M=的 环 带，可

45、 看 成 半 径 为r=asinO,z=一。c o s电荷线密度为pf=aF1yosOd0的线电荷圆环，例中给出了线电荷圆环的电场，对。积分得E 二a3 sincos2 6d0(a sin 0)2+3COS6)23/2题2-22图2-23.无限长的线电荷位于介电常数为 的均匀介质中，线电荷密度p,为常数，求介质中的电场强度。解：设无限长的线电荷沿z 轴放置，利用高斯定理，容易求得介质中的电场强度为Ep=/-p为场点到线电荷的距离.Inep2-24.半径为a 的均匀带电球壳，电荷面密度/为常数，外包一层厚度为d、介电常数为的介质，求介质内外的电场强度。解:由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为

46、r 的球面，采用高斯定理 D d S =qs上式左右两边分别为4m2口.=4加202由 此 得D,尸匕单r因为力=击，所以A-Y-,a r a+d2-25.两同心导体球壳半径分别为a、b,两导体之间介质的介电常数为,内、外导体球壳电位分别为V,0。求两导体球壳之间的电场和球壳面上的电荷面密度。解：设内导体带电荷为q,由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为r 的球面，采用高斯定理，两导体球壳之间的电场为E=&-一 4兀 夕2两导体球壳之间的电压为V=(E dr=-(-)J 44 a bV 1所以纥=1一T Ra b球壳面上的电荷面密度为y 10 (r =a)=Dn(r=a)=sEr(r=a)=

47、-L，aa b“1ps(r=b)=D,(r=b)=虎入厂=b)=-、-a b2-26两同心导体球壳半径分别为a、b,两导体之间有两层介质，介电常数为%、%,介质界面半径为c,内外导体球壳电位分别为丫,0。求两导体球壳之间的电场和球壳面上的电荷面密度以及介质分界面上的束缚电荷面密度。解：设内导体带电荷为q,由于电荷与介质分布具有球对称性,高斯定理可得，Dr4加两导体球壳之间的电场为q1_-a r c.4诏厂Er=q1,-;c r b4%4厂两导体球壳之间的电压为b c _ bV=Erd r=d r+*4 r*42 r 4万 与 a cJ L =y/_L(l_l)+_L(l_l)4 x a c E

48、2 c bV-;Q r c(-)+&(，)/厂 a c c b匕=4 rV1 1 ；c rb工(-)+()k2a c c bg vp,(r =a)=)“(r =a)=()+(-,)2a c s2 c b一-(-)+(一，)0J a c c b取半径为r的球面，采用4密 c bp x(r=c)=%(E,(r=c+)-E,.(r=c_)二 必 _1_12-2 7圆柱形电容器，内外导体半径分别为a、b,两导体之间介质的介电常数为,介质的击穿场强为E,求此电容器的耐压。解：设圆柱形电容器长度为L,内导体电量为g,利用高斯定理，可得Er=2九 Lb1内外导体间的电压为V=-d r=-n-J Ij r s

49、 Lr 2兀 在 a因此J V2 4s L 1 bIn a所以电场可表示为内导体表面的电场为所以 V =a Ea n-ab如果介质的击穿场强为,则电容器的耐压为 V =a Eh n-a2-2 8已知真空中一内外半径分别为a、b的介质球壳，介电常数为,在球心放一电量为q的点电荷。（1）用介质中的高斯定理求电场强度；（2）求介质中的极化强度和束缚电荷。解：（1）由题意，电场具有球对称结构。采用高斯定理目力Y/M u q ,在半径为r的球面上由力=赤 得qr b47TQrq.-2 r；4Z r =oz证：D=eE=azEz D=(azEa)=nazn-Ea=dz z2-3 0.有三层均匀介质，介电常

50、数分别为弓取坐标系使分界均平行于xy面。已知三层介质中均为匀强场，且牵求 存 后。解：因为三层介质中均为匀强场，1 3,设第二、三层介质中的电场强度分别为E2=E2xx+E2yy+E2zE3=E3xx+E3yy+E3:z由边界条件4,=6 2,可得EK=Eix=E|.r=3，4 =E3,=E ly=0由 边 界 条 件=D2I I，可得。2二=0 3 z =A =2与，即 E2Z=2st/s2；E3Z 2st/e3所以 E2=3x+2et!s2z E3=3X+2I/S3Z2-3 1 .半径为a的导体球中有两个半径均为b的球形腔,在其中一个空腔中心有一个电量为q的点电荷在该球形空腔中心，如图所示