冯恩信电磁场与电磁波 课后习题答案.doc

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1、如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流冯恩信 电磁场与电磁波 课后习题答案【精品文档】第 30 页习题1.1 已知，求:(a) A和B 的大小（模）； (b) A和B的单位矢量；(c) ；(d) ；(e)A和B之间的夹角；(f) A在B上的投影。解：(a) A和B 的大小 (b) A和B的单位矢量(c) (d) (e)A和B之间的夹角 根据得(f) A在B上的投影1.2如果矢量A、B和C在同一平面，证明A(BC)=0。 证明：设矢量A、B和C所在平面为平面1.3已知A=、B和C，证明这三个矢量都是单位矢量，且三个矢量是共面的。证明：1）三个矢量都是单位矢量2）三个矢量是共面的1.4 ；，当时

2、，求。解：当时， 所以1.5证明三个矢量A、B和C形成一个三角形的三条边，并利用矢积求此三角形的面积。证明 ：因为所以三个矢量A、B和C形成一个三角形此三角形的面积为1.6 P点和Q点的位置矢量分别为和，求从P点到Q点的距离矢量及其长度。 解：从P点到Q点的距离矢量为从P点到Q点的距离为1.7 求与两矢量A和B都正交的单位矢量。解：设矢量与两矢量A和B都正交，则 （1） （2）（1）+（2） 得 （3）（1）+3（2）得 （4）如果矢量是单位矢量，则所以 1.8将直角坐标系中的矢量场分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量表示。解：在圆柱坐标系中在圆球坐标系中1.9 将圆柱坐标系中的矢量场用直角坐标

3、系中的坐标分量表示。解：根据 （1）得又因为 （2）利用（2）式可得 1.10 将圆球坐标系中的矢量场用直角坐标系中的坐标分量表示。解：根据 （1）得又因为（2）得 1.11 计算在圆柱坐标系中两点和之间的距离。解：两点和之间的距离为1.12空间中同一点上有两个矢量，取圆柱坐标系，A，B，求:(a) A+B ； (b) AB； (c) A和B的单位矢量； (d) A和B之间的夹角； (e) A和B的大小； (f) A在B上的投影。解：(a)(b) (c) (d) A和B之间的夹角(e) A和B的大小(f) A在B上的投影1.13 矢量场中，取圆柱坐标系，已知在点矢量为A，在点矢量为B；求:(a

4、)A+B ； (b) AB；(c) A和B之间的夹角。解：转换到直角坐标系(a)A+B(b) AB(c) A和B之间的夹角1.14 计算在圆球坐标系中两点和之间的距离及从P点到Q点的距离矢量。解：根据圆球坐标与直角坐标的关系1.15空间中的同一点上有两个矢量，取圆球坐标系，A，B，求:(a) A+B ； (b) AB； (c) A和B的单位矢量； (d) A和B之间的夹角； (e) A和B的 大小； (f) A在B上的投影。解：(a)A+B (b) AB(c) A和B的单位矢量(d) A和B之间的夹角(e) A和B的 大小(f) A在B上的投影1.16 求的梯度。解：1.17 求标量场在点(1

5、,1,1)沿方向的变化率。解：所以 1.18由，利用圆柱坐标和直角坐标的关系，推导解：在直角坐标系中（1） （2）（3）（4）（5）由（2）、（3）式可得（6）（7）（8）（9）由（1）（5）式得而再由（6）（9）式可得1.19 求的梯度。解：1.20 由，利用圆球坐标和直角坐标的关系，推导解：1.21 求的梯度。解：1.22 求梯度，其中为常数。解：1.23在圆球坐标系中，矢量场为，其中为常数，证明矢量场对任意闭合曲线的环量积分为零，即 证明：根据斯托克思定理：=0所以 =01.23 证明（1）；（2）。证明：（1）（2）1.24 由A 推导。解：图111.25由推导和解： （1）由得 （2

6、） 1.26 计算下列矢量场的散度a) b) c) 解：a) b) c) 1.27 计算散度，其中为常矢量。解：1.28 由推导。解：1.29 已知 a) (r) b) (r)= c) (r)=求。解：a)b) c) 1.30求矢量场穿过由确定的区域的封闭面的通量。解：解法1：为半径为1的圆弧侧面；为侧平面；下端面；上端面。解法2：1.31由(A)推导A 。解：1）设，为边长为和的，中心在的矩形回路2）设，为边长为和的，中心在的矩形回路3）设，为边长为和的，中心在的矩形回路因此1.32计算矢量场的旋度解：1.33计算解：1.34 已知，计算解：对于任意矢量，若=01.35 证明矢量场E=既是无

7、散场，又是无旋场。证：1.36 已知E=，求E和E。解： 1.37 证明。解：1.38 已知计算解：根据亥姆霍兹定理其中因为，因此；对于所以 1.39已知计算解：根据亥姆霍兹定理其中因为，因此；对于所以第2章习题2-1.已知真空中有四个点电荷，分别位于(1,0,0)，(0,1,0)，(-1,0,0,)，(0,-1,0)点，求(0,0,1)点的电场强度。解：2-2.已知线电荷密度为的均匀线电荷围成如图所示的几种形状，求P点的电场强度。 a b c题2-2图解：(a) 由对称性(b) 由对称性(c) 建立坐标系如图所示，两条半无限长线电荷产生的电场为半径为a的半圆环线电荷产生的电场为总电场为2-3

8、.真空中无限长的半径为a的半边圆筒上电荷密度为，求轴线上的电场强度。解:在无限长的半边圆筒上取宽度为的窄条,此窄条可看作无限长的线电荷,电荷线密度为,对积分,可得真空中无限长的半径为a的半边圆筒在轴线上的电场强度为 题2-3图 题24图2-4.真空中无限长的宽度为a的平板上电荷密度为，求空间任一点上的电场强度。解: 在平板上处取宽度为的无限长窄条，可看成无限长的线电荷，电荷线密度为，在点处产生的电场为其中 对积分可得无限长的宽度为a的平板上的电荷在点处产生的电场为2-5.已知真空中电荷分布为r为场点到坐标原点的距离，a，b为常数。求电场强度。解：由于电荷分布具有球对称性，电场分布也具有球对称性

9、，取一半径为 r 的球面，利用高斯定理等式左边为 半径为 r 的球面内的电量为因此，电场强度为2-6.在圆柱坐标系中电荷分布为r为场点到z轴的距离，a为常数。求电场强度。解: 由于电荷分布具有轴对称性，电场分布也具有轴对称性，取一半径为 r ,单位长度的圆柱面，利用高斯定理等式左边为半径为r 、高为1的圆柱面内的电量为因此，电场强度为2-7. 在直角坐标系中电荷分布为求电场强度。解: 由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为 S的电通量为,方形封闭面内的电量为因此，电场强度为2-8. 在直角坐标系中电荷分布为求电场强度。题28图解: 由于

10、电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为 S的电通量为,方形封闭面内的电量为 因此，电场强度为 2-9.在电荷密度为（常数）半径为a的带电球中挖一个半径为b的球形空腔，空腔中心到带电球中心的距离为c(b+ca对于r0半空间为介电常数为的介质，z0半空间为介电常数为的介质，当(1)电量为q的点电荷放在介质分界面上；(2)电荷线密度为的均匀线电荷放在介质分界面上。求电场强度。解：（1）电量为q的点电荷放在介质分界面上以点电荷为中心作以半径为r的球，利用高斯定理设上、下半球面上的电位移矢量分别、，根据对称性，在上、下半球面上大小分别相等，有根据边界

11、条件，因此（2）电荷线密度为的均匀线电荷放在介质分界面上 以线电荷为轴线作以半径为r单位长度的圆柱面，利用高斯定理设上、下半柱面上的电位移矢量分别、，根据对称性，在上、下半柱面上大小分别相等，有根据边界条件，因此2-34.面积为A，间距为d的平板电容器电压为V，介电常数为厚度为t的介质板分别按如图a、b所示的方式放置在两导电平板之间。分别计算两种情况下电容器中电场及电荷分布。题2.34图解：（a）设导体板之间介质与空气中的电场分别为、，那么、满足关系 （边界条件）求解以上两式得根据导体表面上的边界条件，在上、下导体表面上的电荷面密度为 (b) 由图可见，导体板之间介质与空气中的电场为根据导体表

12、面上的边界条件，在上、下导体板与空气的界面上的电荷面密度为在上、下导体板与介质的界面上的电荷面密度为2-35 在内外半径分别为和之间的圆柱形区域内无电荷，在半径分别为和的圆柱面上电位分别为和0。求该圆柱形区域内的电位和电场。解：由电荷分布可知，电位仅是的函数，电位满足拉普拉斯方程，方程为解微分方程得利用边界条件得 ， 因此2-36在半径分别为和的两同轴导电圆筒围成的区域内，电荷分布为，为常数，若介质介电常数为，内导体电位为V，外导体电位为0。求两导体间的电位分布。解：由电荷分布可知，电位仅是的函数，电位满足泊松方程解微分方程得利用边界条件得 2-37 两块电位分别为0和V的半无限大的导电平板构

13、成夹角为的角形区域，求该角形区域中的电位分布。 c b a 题2.37图 题2.38 图解：由题意，在圆柱坐标系中，电位仅是的函数，在导电平板之间电位方程为其通解为 由边界条件 ，得所以，2-38 .由导电平板制作的金属盒如图所示，除盒盖的电位为V外，其余盒壁电位为0，求盒内电位分布。解：用分离变量法，可得电位的通解为利用边界条件，可求出系数 （m、n为奇数） （m、n为偶数）2-39 在的匀强电场中沿z轴放一根半径为a的无限长导电圆柱后，求电位及电场。题2.39图解：由分离变量法，无限长导电圆柱外的电位的通解为 （1）设，当时的电位等于无导电圆柱的电位，即 （2）要使式（1）的电位在时等于式

14、（2），可得到系数再由导体界面的边界条件得因此，电位的特解为2-40 .在无限大的导电平板上方距导电平板h处平行放置无限长的线电荷，电荷线密度为，求导电平板上方的电场。解:用镜像法,导电平板的影响等效为镜像位置的一个电荷线密度为-的线电荷, 导电平板上方的电场为式中、分别为线电荷及其镜像线电荷到场点的距离矢量。2-41 由无限大的导电平板折成的角形区，在该角形区中某一点()有一点电荷q，用镜像法求电位分布。解：如图将空间等分为8个区，在每个区中以原来的导电面为镜面可以依次找到镜像位置，原电荷的位置为()，另外7个镜像电荷在圆柱坐标系中的坐标为：()，()，()，()，()，()，()。镜像电荷

15、为对于场点，电荷到场点的距离矢量为则场点的电场为题2-41图题2-42图2-42 半径为a，带电量为Q的导体球附近距球心f处有一点电荷q，求点电荷q所受的力。解：点电荷q 受到的力（场）有两部分，一部分等效为镜像电荷的力，另一部分等效为位于球中心的点电荷的力。由镜像法，镜像电荷的大小和位置分别为由于包围导体球的总电量为Q，所以位于位于球中心的点电荷=Q-;因此点电荷q 受到的力为2-43 内外半径分别为a、b的导电球壳内距球心为d(d0半空间为介电常数为的介质，z0半空间的场时，原来的问题可等效为图2-46(b)，计算z0半空间的场时，原来的问题可等效为图2-46(c)。这样上半空间的电位可表

16、示为式中为到场点的距离，为的镜像位置的电荷到场点的距离；下半空间的电位可表示为式中为到场点的距离，为的镜像位置的电荷到场点的距离。利用边界条件，和得由此得和所受的斥力分别为(a) (b) (c)题2-46图2-47.两同心导体球壳半径分别为a、b，两导体之间介质的介电常数为，求两导体球壳之间的电容。解：设内导体带电荷为 q，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r的球面，采用高斯定理，两导体球壳之间的电场为两导体球壳之间的电压为两导体球壳之间的电容为 2-48 两同心导体球壳半径分别为a、b，两导体之间有两层介质，介电常数为、，介质界面半径为c，求两导体球壳之间的电容。解：设内导体带电荷为

17、 q，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r的球面，采用高斯定理可得，两导体球壳之间的电场为两导体球壳之间的电压为两导体球壳之间的电容为 2-49 面积为A，间距为d的导电平板之间放置介电常数为，厚度为t的介质板，如图a、b所示。分别计算两种情况下导电平板之间的电容。题2-49图解：（a）设导体板之间介质与空气中的电场分别为、，那么、满足关系 （边界条件）求解以上两式得根据导体表面上的边界条件，在上、下导体表面上的电荷面密度为电容为 (b) 由图可见，导体板之间介质与空气中的电场为根据导体表面上的边界条件，在上、下导体板与空气的界面上的电荷面密度为在上、下导体板与介质的界面上的电荷面密度

18、为电容为 2-50 两块沿方向无限延伸的导电平板夹角为，与和的圆柱面相截，两板之间的电压为V，。忽略边缘效应，求两块板间的电位分布，电场，以及单位长度的电容。题2.50图解：在圆柱坐标系中，电位只和有关，在两块导电平板之间此方程的通解为利用边界条件，得电场强度为板上单位长度的电量为板上单位长度的电容为2-51 真空中半径为a的导体球电位为V，求电场能量。解：用两种方法求解。1） 用电位求电场能量2） 用电场强度求电场能量导体球内的电场强度为零，导体球外的电场强度为电场能量为2-52 .圆球形电容器内导体的外半径为a，外导体的内半径为b，内外导体之间填充两层介电常数分别为、的介质，界面半径为c，

19、电压为V。求电容器中的电场能量。解：设圆球形电容器内导体上的电荷为 q，由高斯定理可求得在内外导体之间从而可求得内外导体之间的电压为圆球形电容器的电容为电场能量为2-53 长度为d的圆柱形电容器内导体的外半径为a，外导体的内半径为b，内外导体之间填充两层介电常数分别为、的介质，界面半径为c，电压为V。求电容器中的电场能量。解：设圆柱形电容器内导体上的电荷为q，用高斯定理，在内外导体之间内外导体之间的电压为内外导体之间的电容为电场能量为 2-54 两个点电荷电量均为，放在介电常数为的介质中，间距为，求互位能。解： 两个点电荷的互位能为将一个点电荷从无限远移到和另一个间距为处外力做的功2-55 两

20、尺寸为aa的平行导电平板之间距离为d，带电量分别为,当将介电常数为的介质板插入导电板之间深度为x时，分别求介质板所受的电场力。题2.55 图解：设空气填充部分和介质填充部分导电平板上的电荷密度分别为、由导体边界条件得，；由介质边界条件得或，因此空气填充部分和介质填充部分导电平板上的电量分别为由及得平行导电平板之间的电场能量为由虚功原理，对于常电荷系统，介质所受的沿x方向电场力为第3章习题3-1 半径为的薄圆盘上电荷面密度为，绕其圆弧轴线以角频率旋转形成电流，求电流面密度。解：圆盘以角频率旋转，圆盘上半径为处的速度为，因此电流面密度为3-2 在铜中，每立方米体积中大约有个自由电子。如果铜线的横截

21、面为，电流为。计算1） 电流密度； 2） 电子的平均漂移速度；解：1）电流密度 2) 电子的平均漂移速度3-3 一宽度为传输带上电荷均匀分布，以速度匀速运动，形成的电流，对应的电流强度为，计算传输带上的电荷面密度。解：电流面密度为 因为 所以 3-4 如果是运动电荷密度，是运动电荷的平均运动速度，证明：证：如果是运动电荷密度，是运动电荷的平均运动速度，则电流密度为代入电荷守恒定律得3-5 由的铁制作的圆锥台，高为，两端面的半径分别为和。求两端面之间的电阻。解：用两种方法（1）如题图3.5所示题3.5图（2）设流过的电流为，电流密度为电场强度为 电压为 3-6 在两种媒质分界面上，媒质1的参数为

22、，电流密度的大小为，方向和界面法向的夹角为；媒质2的参数为。求媒质2中的电流密度的大小、方向和界面法向的夹角，以及界面上的电荷面密度。解：根据边界条件媒质2中的电流密度和界面法向的夹角为3-7 同轴电缆内导体半径为，外导体半径为，内外导体之间有两层媒质。内层从到，媒质的参数为；外层从到，媒质的参数为；求（1） 每区域单位长度的电容；（2） 每区域单位长度的电导；（3） 单位长度的总电容；（4） 单位长度的总电导。解： 内外导体之间的两层媒质是非理想的，那么设同轴电缆内、外导体之间单位长度的漏电流为那么在半径为的圆柱面上电流均匀，电流密度为电场强度为 第一层的电压为 第二层的电压为 第一层单位长

23、度的电导为 第二层单位长度的电导为 单位长度的总电导为 利用静电比拟第一层单位长度的电容为 第二层单位长度的电容为 单位长度的总电容为 3-8 在上题中，当同轴电缆长度为，内外导体之间的电压为，利用边界条件求界面上的电荷面密度。解： 由上题，因此 3-9 两同心导体球壳，内导体球壳半径为，外导体球壳半径为。两同心导体球壳之间填充两层媒质，内层从到，媒质的参数为；外层从到，媒质的参数为；求同心导体球壳（1） 每区域的电容；（2） 每区域的电导；（3） 总电容；（4） 总电导。解： 内外导体之间的两层媒质是非理想的，那么设同心导体球壳之间的漏电流为 那么在半径为的圆球面上电流均匀，电流密度为电场强

24、度为 第一层媒质的电压为 第二层媒质的电压为 第一层媒质单位长度的电导为 第二层媒质单位长度的电导为 单位长度的总电导为 利用静电比拟 第一层单位长度的电容为 第二层单位长度的电容为 单位长度的总电容为 其中 3-10 上题中，内外导体之间的电压为，利用边界条件求界面上的电荷面密度。解： 由上题，因此 3-11 平板电容器两导电平板之间为三层非理想介质，厚度分别为电导率分别为，平板面积为S，如果给平板电容器加电压V，求平板之间的电场。解：设导电平板之间三层非理想介质中的电场均为匀强电场，分别为、，根据电压关系和边界条件，、满足以下关系解此方程组得3-12 在3.3例2中，如果在弧形导电体两弧面

25、之间加电压，求该导电体沿径向的电阻。解：设流过两弧面的电流为I。作以与两弧面同轴的半径为的弧面，流过此弧面的电流密度为，则由 得由此得 两弧面之间的电压为 该导电体沿径向的电阻为 3-13 圆球形电容器内导体半径为a，外导体内半径为c，内外导体之间填充两层介电常数分别为，电导分别为的非理想介质，两层非理想介质分界面半径为b，如果内外导体间电压为V，求电容器中的电场及界面上的电荷密度。解：由于圆球形电容器内填充两层非理想介质，有电流流过，设电流为I。在圆球形电容器内取一半径为的球面，流过此球面的电流密度为，则由得 或 电场强度为电压为 由此求出电流与电压的关系后，电场为内导体表面的电荷密度为外导

26、体内表面的电荷密度为媒质分界面的（驻立）电荷密度为3-14 求3-11题中电容器的漏电导。解：由3-2题得流过电容器的电流为所以 3-15 求3-13题中圆球形电容器的电容及漏电导。解：此圆球形电容器的电容及漏电导是并串联的形式如图所示。3-16分别求3-11题及3-13题中电容器的损耗功率。解：（1）3-11题（2）3-13题3-17边长均为a的正方体导电槽中充满电导率为的电解液，除导电板盖的电位为V外，槽的其余五个边界面电位为零。求电解液中的电位。解：此题电位所满足的方程和边界条件与题2-33相同，因此其解也与题2-33相同。3-18 将半径为a的半个导电球刚好埋入电导率为的大地中，如图所示。求接地电阻。解：设从地线流出的电流为I，在大地中作与导体球同心，半径为的半球面，在此半球面上电流密度相同，显然满足关系电场强度为 导电球的电位为 因此导电球的接地电阻为题3-18 图3-19在电导率为的大地深处，相距d平行放置半径均为a的无限长导体圆柱。求导体圆柱之间单位长度的漏电导。解：用静电比拟法。此问题可与介质中的平行双导线比拟，其电导与电容的关系为因为介质中的平行双导线单位长度的电容为因此，埋地导体圆柱之间单位长度的漏电导为