2022年高中数学必修基本初等函数常考题型：对数函数及其性质的应用.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 对数函数及其性质的应用【常考题型】题型一、对数值的大小【例 1】1 以下大小关系正确的选项是 A0.430.4 3log 0.3B0.43log 0.330.4Clog 0.30.430.4 3Dlog 0.30.4 33 0.42 比较以下各组值的大小log53与log54；43log 2 与log12 ；35log 3 与log 4. 复习课 名师归纳总结 1解析 00.431 ,0.4 31 ,log 0.30 ,应选 C. 第 1 页,共 7 页 答案 C 2解 法一：对数函数ylog5x 在 0,上是增函数,而3 44,log53lo

2、g54. 343法二：log530,log540,43log53log54. 43由于log1211,log 211. 3log2log2535又因对数函数ylog2x 在 0,上是增函数,且11,350log21log21,1111. 35log2log235- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - log 2log12 . 35取中间值 1,log 3log 21log 5log 4 ,log 3log 4 . 【类题通法】比较对数值大小的方法 比较对数式的大小,主要依据对数函数的单调性1 假设底数为同一常数,就可由对数函数的单调性直接进行比较2 假设底数

3、为同一字母,就依据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类争论3 假设底数不同, 真数相同, 就可以先用换底公式化为同底后,再进行比较,也可以利用 顺时针方向底数增大画出函数的图象,再进行比较4 假设底数与真数都不同,就常借助【对点训练】比较以下各组中两个值的大小：1 ln 0.3, ln 2 ；1, 0 等中间量进行比较2 log 3.1 a, log 5.2 a a 0,且 a 1 ；3 log 0.2 ,log 0.2 ；4 log 3, log 3. 解： 1 由于函数 y ln x 是增函数,且 0.3 2 ,所以 ln 0.3 ln 2 . 2 当 a 1 时 , 函 数 y l

4、og a x 在 0, 上 是 增 函 数 , 又 3.1 5.2 , 所 以log 3.1 log 5.2；当 0 a 1 时,函数 y log a x 在 0, 上是减函数,又 3.1 5.2,所以 log 3.1 a log 5.2 . 3 由于 0 log 0.2 3 log 0.2 4 ,所以 1 1,即 log 0.2 log 0.2 . log 0.2 3 log 0.2 44 由于函数 y log 3 x 是增函数,且 3 ,所以 log 3 log 3 1. 同理, 1 log log 3,所以 log 3 log 3. 题型二、求解对数不等式名师归纳总结 - - - - -

5、 - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 2】1 已知 a 5 1,假设 log a m log 5,就 m 的取值范畴是 _22 已知 log a 11,就 a 的取值范畴为 _23 已知 log 0.7 2x log 0.7 x 1,就x的取值范畴为 _ 解析 1 0 a 1,f x log a x在 0, 上是减函数, 0 m 5 . 2 由 log a 12 1 得 log a 12 loga a . 当 a 1 时,有 a 1,此时无解2当 0 a 1 时,有1 a ,2从而1 a 1 . 2 a 的取值范畴是 1 ,1 . 23 函数 y

6、 log 0.7 x 在 0, 上为减函数,2 x 0由 log 0.7 2x log 0.7 x 1 得 x 1 0,解得 x 1,2 x x 1即 x 的取值范畴是 1, 答案 1 0 m 5 2 1 ,1 3 1,2【类题通法】常见对数不等式的解法常见的对数不等式有三种类型：需分1 形如 log a xlog a b 的不等式,借助ylog ax 的单调性求解,假如a 的取值不确定,a1与 0a1 两种情形争论名师归纳总结 2 形如 log a xb 的不等式,应将 b化为以 a 为底数的对数式的形式, 再借助ylog ax 的第 3 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料

7、 - - - - - - - - - 单调性求解3 形如 log a x log b x 的不等式,可利用图象求解【对点训练】假设a0且a1,且 loga2 a1log 3 aa0,求 a 的取值范畴,解：不等式可化为loga2 a1log 3alog 1等价于aa10或0a1,212 a13 a2a13a3 a103 a1解得1 3a1,即 a 的取值范畴为1 ,1 3. 题型三、对数函数性质的综合应用名师归纳总结 【例 3】1 以下函数在其定义域内为偶函数的是 D. ,1 上为减函数Ay2xBy2xCylog2xDyx22 已知fxlogaaaxa1 求 fx 的定义域和值域；判定并证明f

8、x 的单调性1解析 指数、对数函数在其定义域内不具备奇偶性,应选 答案 D ,2解 由a1,aax0,即ax a ,得x1. 故 fx 的定义域为,1 由 0aaxa ,可知 logaaaxlogaa1. 故函数 fx 的值域为,1 fx 在,1 上为减函数,证明如下：任取1x 1x ,又a1,a1xax 2,aa1xaax 2 log a aax 1log aaa2x ,即fx 1fx 2,故 fx 在第 4 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【类题通法】解决对数函数综合问题的方法对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综

9、合,求解中通常会涉及对数运算解决此类综合问题,第一要将所给的条件进行转化,然后结合涉及的学问点,明确各学问点的应用思路、化简方向,与所求目标建立联系,从而找到解决问题的思路【对点训练】已知函数 f x log a 3 ax ,1 当 x 0,2 时,函数 f x 恒有意义,求实数 a 的取值范畴；2 是否存在实数 a ,使得函数 f x 在区间 1,2 上为减函数, 并且最大值为 1？假如存在,试求出 a 的值；假如不存在,请说明理由解： 1 由题设, 3ax0对x0,2恒成立,且a0,a1. 设g x3ax,就 g x 在 0,2 上为减函数,g xming232 a0,a 不存在a3. 2

10、 a 的取值范畴是0,11,3. 22 假设存在这样的实数a ,就由题设知f11即 loga3a1,a3. 2此时fxlog333x. 22但x2时,fxlog 0 3无意义故这样的实数2【练习反馈】名师归纳总结 1设aclog 4,blog 3,clog 5,就 第 5 页,共 7 页A acabB bC abcD bac- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a解析：选 D 由于blog 3alog 41log 5c ,故 bac . 1,就2函数fxlgx 21x的奇偶性是 1A奇函数B偶函数C既奇又偶函数D非奇非偶函数解析：选 A fx定义域为R,f

11、xfxlg2 x11xlgx21x1lgx21x2lg10 ,1 fx 为奇函数,应选A. 3不等式log12x1log13x的解集为 _ 222x10x12解析：由题意3x0,x32x13xx231x2. 23答案：x1x2234 设a1,函数fxlog ax 在区间a ,2a上的最大值与最小值之差为2_. 名师归纳总结 解析：a1,第 6 页,共 7 页fxlog ax在a,2a 上递增, loga2 alogaa1,2即log 21,2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1a22,a4. 答案： 45 已 知 函 数fxloga1x ,g xlog

12、a1x, 其 中 a0且a1 , 设h xfxg x 1 求函数 h x 的定义域,判定h x 的奇偶性,并说明理由；2 假设f3a2,求使h x0成立的 x 的集合ax1x1解： 1 fxloga1x 的定义域为x x1,g xloga1x 的定义域为x x1, h xfxg x 的定义域为x x1x x1 h xfxh x ,g x loga1xlog a1x ,1x hxlog1xloga1x loga1xlog h x 为奇函数名师归纳总结 2 f3loga13log 4 a2,a2. 第 7 页,共 7 页 h xlog21xlog21x ,h x0等价于log21xlog21x ,1x1x1x0,1x0解得1x0. 故使h x0 成立的 x 的集合为x1x0- - - - - - -