2022年高中数学必修1基本初等函数常考题型：对数函数及其性质的应用 .pdf

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1、对数函数及其性质的应用( 复习课 ) 【常考题型】题型一、对数值的大小【例 1】(1) 以下大小关系正确的选项是( ) A30.40.434log 0.3B30.40.44log 0.33C4log 0.330.40.43D0.434log 0.330.4(2) 比较以下各组值的大小53log4与54log3；13log 2与15log2；2log 3与5log 4. (1)解析 300.41,0.431，4log 0.30，故选 C. 答案 C (2)解 法一：对数函数5logyx在0,上是增函数，而3443，53log454log3. 法二：53log04，54log03，53log454

2、log3. 由于13log2211log3，15log 2211log5. 又因对数函数2logyx在0,上是增函数，且1135，210log321log5，211log3211log5. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页13log 215log2. 取中间值1，2log 32log 215log 55log 4，2log 35log 4. 【类题通法】比较对数值大小的方法比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性(1) 假设底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较(2) 假设底数为同一字母，则根据底数对

3、对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论(3) 假设底数不同， 真数相同， 则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较(4) 假设底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较【对点训练】比较以下各组中两个值的大小：(1) ln 0.3，ln 2；(2) log 3.1a，log 5.2a(0a，且1a) ；(3) 3log 0.2，4log 0.2；(4) 3log，log 3. 解： (1) 因为函数lnyx是增函数，且0.32，所以ln 0.3ln 2. (2)当1a时 ， 函 数logayx在0,上 是 增 函 数 ， 又3.15

4、.2， 所 以log 3.1alog 5.2a；当01a时，函数logayx在0,上是减函数，又3.15.2，所以log 3.1alog 5.2a. (3) 因为0.20log30.2log4，所以0.21log30.21log4，即3log 0.24log 0.2. (4) 因为函数3logyx是增函数，且3，所以3log3log 31. 同理，1loglog3，所以3loglog 3. 题型二、求解对数不等式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页【例 2】(1) 已知512a，假设logamlog 5a，则m的取值范

5、围是_(2) 已知1log12a，则a的取值范围为_(3) 已知0.7log2x0.7log1x，则x的取值范围为 _ 解析 (1) 01a，logafxx在0,上是减函数，05m. (2) 由1log12a得1log2alogaa. 当1a时，有12a，此时无解当01a时，有12a，从而112a. a的取值范围是1,12. (3) 函数0.7logyx在0,上为减函数，由0.7log2x0.7log1x得201021xxxx，解得1x，即x的取值范围是1, 答案 (1)05m(2)1,12(3)1,【类题通法】常见对数不等式的解法常见的对数不等式有三种类型：(1) 形如logaxlogab的

6、不等式，借助logayx的单调性求解，如果a的取值不确定，需分1a与01a两种情况讨论(2) 形如logaxb的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助logayx的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页单调性求解(3) 形如logaxlogbx的不等式，可利用图象求解【对点训练】假设0a且1a，且log21aalog 30aa，求a的取值范围解：不等式可化为log21aalog 3aalog 1a，等价于1210213031aaaaa或0121331aaaa，解得113a，即a的取值范围为1,13. 题型三、

7、对数函数性质的综合应用【例 3】(1) 以下函数在其定义域内为偶函数的是( ) A2yxB2xyC2logyxD2yx(2) 已知logxafxaa(1a) 求fx的定义域和值域；判断并证明fx的单调性(1)解析 指数、对数函数在其定义域内不具备奇偶性，故选D. 答案 D (2)解 由1a，0 xaa，即xaa，得1x. 故fx的定义域为,1由0 xaaa，可知logxaaalog1aa. 故函数fx的值域为,1fx在,1上为减函数，证明如下：任取121xx，又1a，1xa2xa，1xaa2xaa，loga(1xaa)loga(2xaa) ，即12fxfx，故fx在,1上为减函数精选学习资料

8、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页【类题通法】解决对数函数综合问题的方法对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路【对点训练】已知函数log3afxax，(1) 当0,2x时，函数fx恒有意义，求实数a的取值范围；(2) 是否存在实数a， 使得函数fx在区间1,2上为减函数， 并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由解： (1

9、) 由题设，30ax对0,2x恒成立，且0a，1a. 设3g xax，则g x在0,2上为减函数，min2320g xga，32a. a的取值范围是30,11,2. (2) 假设存在这样的实数a，则由题设知11f，即log31aa，32a. 此时323log32fxx. 但2x时，32log 0fx无意义故这样的实数a不存在【练习反馈】1设5log 4a，5log 3b，4log 5c，则 ( ) AacbBbcaCabcDbac精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页解析：选D 由于5log 3ba5log 414log

10、 5c，故bac. 2函数21lg1fxxx的奇偶性是 ( ) A奇函数B偶函数C既奇又偶函数D非奇非偶函数解析：选A fx定义域为R，fxfx21lg1xx21lg1xxlg2211xxlg10，fx为奇函数，故选A. 3不等式12log21x12log3x的解集为 _解析：由题意21030213xxxx，12323xxx1223x. 答案：1223xx4设1a，函数logafxx在区间,2aa上的最大值与最小值之差为12，则a_. 解析：1a，logafxx在,2aa上递增，log2aa1log2aa，即1log 22a，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

11、- - - - - -第 6 页，共 7 页122a，4a. 答案：45 已 知 函 数log1afxx，log1ag xx， 其 中 (0a且1a) ， 设h xfxg x(1) 求函数h x的定义域，判断h x的奇偶性，并说明理由；(2) 假设32f，求使0h x成立的x的集合解： (1) log1afxx的定义域为1x x，log1ag xx的定义域为1x x，h xfxg x的定义域为1x x111x xxxh xfxg xlog1axlog1ax，hxlog1axlog1axlog1axlog1axh x，h x为奇函数(2) 3flog13alog 42a，2a. h x2log1x2log1x，0h x等价于2log1x2log1x，111010 xxxx，解得10 x. 故使0h x成立的x的集合为10 xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页