2020年中考数学考点突破19锐角三角形和解直角三角形训练.docx

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1、锐角三角函数和解直角三角形一选择题1（2019济南）某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53方向请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（）（参考数据：tan3734，tan5343）A225mB275mC300mD315m【解答】解：如图，作CEBA于E设ECxm，BEym在RtECB中，tan53=ECEB，即43=xy，在RtAEC中，tan37=ECAE，即34=x105+y，解得x180，y135，AC=EC2+AE2=1802+2402=300（m），故选：C2（2019营口）如图

2、，在四边形ABCD中，DAB90，ADBC，BC=12AD，AC与BD交于点E，ACBD，则tanBAC的值是（）A14B24C22D13【解答】解：ADBC，DAB90，ABC180DAB90，BAC+EAD90，ACBD，AED90，ADB+EAD90，BACADB，ABCDAB，ABDA=BCAB，BC=12AD，AD2BC，AB2BCADBC2BC2BC2，AB=2BC，在RtABC中，tanBAC=BCAB=BC2BC=22；故选：C3（2019日照）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30，则甲楼高度为（）A11米B（36153）米C153

3、米D（36103）米【解答】解：过点A作AEBD，交BD于点E，在RtABE中，AE30米，BAE30，BE30tan30103（米），ACEDBDBE（36103）（米）甲楼高为（36103）米故选：D4（2019长春）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离BC为（）A3sin米B3cos米C3sin米D3cos米【解答】解：由题意可得：sin=BCAB=BC3，故BC3sin（m）故选：A5（2019湘西州）如图，在ABC中，C90，AC12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cosBDC=57，则BC的长是（）A1

4、0B8C43D26【解答】解：C90，cosBDC=57，设CD5x，BD7x，BC26x，AB的垂直平分线EF交AC于点D，ADBD7x，AC12x，AC12，x1，BC26；故选：D6（2019宜昌）如图，在54的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sinBAC的值为（）A43B34C35D45【解答】解：如图，过C作CDAB于D，则ADC90，AC=AD2+CD2=32+42=5sinBAC=CDAC=45故选：D7（2019广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35，再

5、往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin350.6，cos350.8，tan350.7，sin650.9，cos650.4，tan652.1）（）A3.2米B3.9米C4.7米D5.4米【解答】解：过点O作OEAC于点F，延长BD交OE于点F，设DFx，tan65=OFDF，OFxtan65，BF3+x，tan35=OFBF，OF（3+x）tan35，2.1x0.7（3+x），x1.5，OF1.52.13.15，OE3.15+1.54.65，故选：C8如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是BAC，若tanBAC=25，则

6、此斜坡的水平距离AC为（）A75mB50mC30mD12m【解答】解：BCA90，tanBAC=25，BC30m，tanBAC=25=BCAC=30AC，解得，AC75，故选：A9（2019益阳）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为，大桥主架的顶端D的仰角为，已知测量点与大桥主架的水平距离ABa，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（）Aasin+asinBacos+acosCatan+atanDatan+atan【解答】解：在RtABD和RtABC中，ABa，tan=BCAB，tan=BDAB，BC

7、atan，BDatan，CDBC+BDatan+atan；故选：C10（2019河北）如图，从点C观测点D的仰角是（）A DABBDCECDCADADC【解答】解：从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE，从点C观测点D的仰角是DCE，故选：B.11（2019长沙）如图，ABC中，ABAC10，tanA2，BEAC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+55BD的最小值是（）A25B45C53D10【解答】解：如图，作DHAB于H，CMAB于MBEAC，AEB90，tanA=BEAE=2，设AEa，BE2a，则有：100a2+4a2，a220，a25或25（舍弃），BE2a45，ABAC，B

8、EAC，CMAB，CMBE45（等腰三角形两腰上的高相等）DBHABE，BHDBEA，sinDBH=DHBD=AEAB=55，DH=55BD，CD+55BDCD+DH，CD+DHCM，CD+55BD45，CD+55BD的最小值为45方法二：作CMAB于M，交BE于点D，则点D满足题意通过三角形相似或三角函数证得55BDDM，从而得到CD+55BDCM45故选：B12（2019苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为183m的地面上，若测角仪的高度是1.5m测得教学楼的顶部A处的仰角为30则教学楼的高度是（）A55.5mB54mC19.5mD18m

9、【解答】解：过D作DEAB，在D处测得教学楼的顶部A的仰角为30，ADE30，BCDE183m，AEDEtan3018m，ABAE+BEAE+CD18+1.519.5m，故选：C二填空题13（2019阜新）如图，一艘船以40nmile/h的速度由西向东航行，航行到A处时，测得灯塔P在船的北偏东30方向上，继续航行2.5h，到达B处，测得灯塔P在船的北偏西60方向上，此时船到灯塔的距离为 nmile（结果保留根号）【解答】解：根据题意，得：PAB60，PBA30，AB2.540100（nmile），P180PABPBA180603090在RtPAB中，PBABsinPAB10032=503（nm

10、ile）故答案为：50314（2019葫芦岛）如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得PAB30，在B处测得PBC75，若AB80米，则河两岸之间的距离约为 米（31.73，结果精确到0.1米）【解答】解：过点A作AEa于点E，过点B作BDPA于点D，PBC75，PAB30，DPB45，AB80，BD40，AD403，PDDB40，APAD+PD403+40，ab，EPAPAB30，AE=12AP203+2054.6，故答案为：54.615.（2019鄂尔多斯）如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好

11、玩三角形”若RtABC是“好玩三角形”，且A90，则tanABC 【解答】解：如图1中，在RtABC中，A90，CE是ABC的中线，设ABEC2a，则AEEBa，AC=3a，tanABC=ACAB=32如图2中，在RtABC中，A90，BE是ABC的中线，设EBAC2a，则AEECa，AB=3a，tanABC=ACAB=233，故答案为：32或23316（2019雅安）在RtABC中，C90，AB5，BC4，则sinA 【解答】解：在RtABC中，sinA=BCAB=45，故答案为：4517（2019辽阳）某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路1

12、00米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45方向上，点C在点A北偏东60方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车 （填“超速”或“没有超速”）（参考数据：31.732）【解答】解：作AD直线l于D，在RtADB中，ABD45，BDAD100，在RtADB中，tanACD=ADCD，则CD=ADtanACD=1003173.2，BC173.210073.2（米），小汽车的速度为：0.073253600=52.704（千米/小时），52.704千米/小时速60千米/小时，小汽车没有超速，故答案为：没有超速18（2019

13、大连）如图，建筑物C上有一杆AB从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53，观测旗杆底部B的仰角为45，则旗杆AB的高度约为 m（结果取整数，参考数据：sin530.80，cos530.60，tan531.33）【解答】解：在RtBCD中，tanBDC=BCCD，则BCCDtanBDC10，在RtACD中，tanADC=ACCD，则ACCDtanADC101.3313.3，ABACBC3.33（m），故答案为：319（2019徐州）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45，测得该建筑底部C处的俯角为17若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为 m（参考数据：si

14、n170.29，cos170.96，tan170.31）【解答】解：作AEBC于E，则四边形ADCE为矩形，ECAD62，在RtAEC中，tanEAC=ECAE，则AE=ECtanEAC620.31=200，在RtAEB中，BAE45，BEAE200，BC200+62262（m），则该建筑的高度BC为262m，故答案为：2623、 、解答题20（2019恩施州）如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为45，走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为30，已知AB6m，DE10m求乙楼的高度AC的长（参考数据：21.41，31.73，精确到0.1m）【解答】解：如图

15、，过点E作EFAC于F，则四边形CDEF为矩形，EFCD，CFDE10，设ACxm，则CDEFxm，BF（x16）m，在RtBEF中，EBF60，tanEBF=EFBF，xx-16=3，x24+8337.8m答：乙楼的高度AC的长约为37.8m21（2019盘锦）如图，池塘边一棵垂直于水面BM的笔直大树AB在点C处折断，AC部分倒下，点A与水面上的点E重合，部分沉入水中后，点A与水中的点F重合，CF交水面于点D，DF2m，CEB30，CDB45，求CB部分的高度（精确到0.1m参考数据：21.41，31.73）【解答】解：设CB部分的高度为xmBDCBCD45，BCBDxm在RtBCD中，CD

16、=BCsin45=xsin45=2x（m）在RtBCE中，BEC30，CE2BC2x（m）CECFCD+DF，2x=2x+2，解得：x2+2BC2+23.4（m）答：CB部分的高度约为3.4m22（2019营口）如图，A，B两市相距150km，国家级风景区中心C位于A市北偏东60方向上，位于B市北偏西45方向上已知风景区是以点C为圆心、50km为半径的圆形区域为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A，B两市的高速公路，高速公路AB是否穿过风景区？通过计算加以说明（参考数据：31.73）【解答】解：高速公路AB不穿过风景区过点C作CHAB于点H，如图所示根据题意，得：CAB30，CBA45，

17、在RtCHB中，tanCBH=CHHB=1，CHBH设BHtkm，则CHtkm，在RtCAH中，tanCAH=CHAH=33，AH=3tkmAB150km，3t+t150，t753-75751.737554.7554.7550，高速公路AB不穿过风景区23（2019鞍山）如图为某海域示意图，其中灯塔D的正东方向有一岛屿C一艘快艇以每小时20nmile的速度向正东方向航行，到达A处时得灯塔D在东北方向上，继续航行0.3h，到达B处时测得灯塔D在北偏东30方向上，同时测得岛屿C恰好在B处的东北方向上，此时快艇与岛屿C的距离是多少？（结果精确到1nmile参考数据：21.41，31.73，62.45

18、）【解答】解：过点D作DEAB于点E，过点C作CFAB于点F，如图所示则DECF，DEACFA90DCEF，四边形CDEF为平行四边形又CFE90，CDEF为矩形，CFDE根据题意，得：DAB45，DBE60，CBF45设DEx（nmile），在RtDEA中，tanDAB=DEAE，AE=xtan45=x（nmile）在RtDEB中，tanDBE=DEBE，BE=xtan60=33x（nmile）AB200.36（nmile），AEBEAB，x-33x6，解得：x9+33，CFDE（9+33）nmile在RtCBF中，sinCBF=CFBC，BC=CFsin45=9+3322=92+3620（

19、nmile）答：此时快艇与岛屿C的距离约为20nmile24（2019朝阳）小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30已知山坡坡度i3：4，即tan=34，请你帮助小明计算古塔的高度ME（结果精确到0.1m，参考数据：31.732）【解答】解：作DCEP交EP的延长线于C，作DFME于F，作PHDF于H，则DCPHFE，DHCP，HFPE，设DC3x，tan=34，CP4x，由勾股定理得，PD2DC2+CP2，即252（3x）2+（4x）2，解得，x5，则DC3x15，CP4x20，

20、DHCP20，PHFEDC15，设MFym，则ME（y+15）m，在RtMDF中，tanMDF=MFDF，则DF=MF33=3y，在RtMPE中，tanMPE=MEPE，则PE=MEtanMPE=33（y+15），DHDFHF，3y-33（y+15）20，解得，y7.5+103，MEMF+FE7.5+103+1539.8，答：古塔的高度ME约为39.8m25（2019抚顺）如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD3m数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离测角仪支架高AEBF1.2m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45

21、，AB5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）（参考数据：tan310.60，sin310.52，cos310.86）【解答】解：能，理由如下：延长EF交CH于N，则CNF90，CFN45，CNNF，设DNxm，则NFCN（x+3）m，EN5+（x+3）x+8，在RtDEN中，tanDEN=DNEN，则DNENtanDEN，x0.6（x+8），解得，x12，则DHDN+NH12+1.213.2（m），答：点D到地面的距离DH的长约为13.2m26（2019铁岭）如图，聪聪想在自己家的窗口

22、A处测量对面建筑物CD的高度，他首先量出窗口A到地面的距离（AB）为16m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角为30，看建筑物顶部D的仰角为53，且AB，CD都与地面垂直，点A，B，C，D在同一平面内（1）求AB与CD之间的距离（结果保留根号）（2）求建筑物CD的高度（结果精确到1m）（参考数据：sin530.8，cos530.6，tan531.3，31.7）【解答】解：（1）作AMCD于M，则四边形ABCM为矩形，CMAB16，AMBC，在RtACM中，tanCAM=CMAM，则AM=CMtanCAM=16tan30=163（m），答：AB与CD之间的距离163m；（2）在RtAMD中，tan

23、DAM=DMAM，则DMAMtanDAM161.71.335.36，DCDM+CM35.36+1651（m），答：建筑物CD的高度约为51m27（2019株洲）小强的爸爸准备驾车外出启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为，且tan=13，若直线AF与地面l1相交于点B，点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行（1）求BC的长度；（2）假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段MN为此长方形前端的边），MNl1，若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米，通过汽车的前端F1点恰好看见障碍物的顶部N点（点D为点A的对应点，点F1为点F的对应点），求障碍物的高度【解答】解：（1）由题意得，ABC，在RtABC中，AC1.6，tanABCtan=13，BC=ACtanABC=1.613=4.8m，答：BC的长度为4.8m；（2）过D作DHBC于H，则四边形ADHC是矩形，ADCHBE0.6，点M是线段BC的中点，BMCM2.4米，EMBMBE1.8，MNBC，MNDH，EMNEHD，MNDH=EMEH，MN1.6=1.84.8，MN0.6，答：障碍物的高度为0.6米