2022年高中函数总复习 .pdf

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1、. . 函数的综合复习要点梳理1.函数的单调性(1) 设2121,xxbaxx那么1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数 . (2) 设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数 . 注：如果函数)(xf和)(xg都是减函数 ,则在公共定义域内,和函数)()(xgxf也是减函 数 ; 如 果 函 数)(ufy和)(xgu在 其 对 应 的 定义 域 上 都 是 减函 数 , 则 复

2、 合 函 数)(xgfy是增函数 . 2.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称 ; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称， 那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称， 那么这个函数是偶函数注：若函数)(xfy是偶函数，则)()(axfaxf；若函数)(axfy是偶函数，则)()(axfaxf. 注： 对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立 , 则函数)(xf的对称轴是函数2bax; 两个函数)(axfy与)(xbfy的图象关于直线2bax对称 . 注 ： 若)()(axfxf, 则 函 数)(xfy的 图 象 关 于 点)0 ,

3、2(a对 称 ; 若)()(axfxf, 则函数)(xfy为周期为a2的周期函数 . 3.多项式函数110( )nnnnP xa xaxa的奇偶性多项式函数( )P x是奇函数( )P x的偶次项 ( 即奇数项 ) 的系数全为零. 多项式函数( )P x是偶函数( )P x的奇次项 ( 即偶数项 ) 的系数全为零. 函数( )yfx的图象的对称性(1) 函数( )yf x的图象关于直线xa对称()()f axf ax(2)( )faxf x. (2) 函数( )yf x的图象关于直线2abx对称()()f amxf bmx()()f abmxf mx. 4.两个函数图象的对称性(1) 函数(

4、)yf x与函数()yfx的图象关于直线0 x( 即y轴) 对称 . (2) 函数()yf mxa与函数()yf bmx的图象关于直线2abxm对称 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - . . (3) 函数)(xfy和)(1xfy的图象关于直线y=x 对称 . 若将函数)(xfy的图象右移a、上移b个单位，得到函数baxfy)(的图象；若将曲线0),(yxf的图象右移a、上移b个单位，得到曲线0),(byaxf

5、的图象 . 5.几个常见的函数方程(1) 正比例函数( )f xcx,()( )( ),(1)fxyf xf yfc. (2) 指数函数( )xf xa,()( )( ),(1)0f xyf x f yfa. (3) 对数函数( )logaf xx,()( )( ),( )1(0,1)f xyf xfyf aaa. (4) 幂函数( )f xx,()( )( ),(1)f xyf x fyf. (5) 余弦函数( )cosf xx, 正弦函数( )sing xx，()( ) ( )( ) ( )f xyf x f yg x g y，6.几个函数方程的周期( 约定 a0) （1）)()(axfx

6、f，则)(xf的周期 T=a；（2）0)()(axfxf，或)0)()(1)(xfxfaxf，或1()( )f xaf x( ( )0)f x, 或21( )( )(),( )0,1 )2f xfxf xafx, 则)(xf的周期 T=2a；(3)0)()(11)(xfaxfxf，则)(xf的周期 T=3a；(4)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf且1212( )1()()1,0| 2 )f af xf xxxa，则)(xf的周期 T=4a；(5)( )()(2 ) (3 )(4 )f xf x af xa f xaf xa( ) () (2 ) (3 ) (4 )f x

7、f x a f xa f xa f xa, 则)(xf的周期 T=5a；(6)()()(axfxfaxf，则)(xf的周期 T=6a. 7.分数指数幂(1)1mnnmaa（0,am nN，且1n）. (2)1mnmnaa（0,am nN，且1n）. 8.根式的性质（1）()nnaa. （2）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a. 9.有理指数幂的运算性质(1)(0, ,)rsrsaaaar sQ. (2)()(0, ,)rsrsaaar sQ. (3)()(0,0,)rrraba babrQ. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

8、 - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - . . 注：若 a0，p 是一个无理数，则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 指数式与对数式的互化式logbaNbaN (0,1,0)aaN.对数的换底公式logloglogmamNNa (0a, 且1a,0m, 且1m,0N). 推论loglogmnaanbbm(0a, 且1a,0m n, 且1m,1n,0N). 10.对数的四则运算法则若 a0，a1，M 0，N0，则(1)log ()loglogaaaM

9、NMN; (2)logloglogaaaMMNN; (3)loglog()naaMnM nR. 注：设函数)0)(log)(2acbxaxxfm, 记acb42. 若)(xf的定义域为R, 则0a，且0; 若)(xf的值域为R, 则0a，且0. 对于0a的情形 , 需要单独检验 . 例 1. （安徽）设( )f x是定义在R上的奇函数，当x时，( )f xxx，则( )f（）（A） (B) （）（） 3 【答案】 A 【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法. 属容易题 . 【解析】2(1)( 1)2(1)( 1)3ff. 故选 A. 1. （广东）设函数( )f x和 g(x) 分

10、别是 R上的偶函数和奇函数， 则下列结论恒成立的是 （）A( )fx+|g(x)|是偶函数 B( )f x-|g(x)|是奇函数C|( )f x| +g(x)是偶函数 D|( )f x|- g(x)是奇函数2. （湖北）已知定义在R上的奇函数xf和偶函数xg满足2xxaaxgxf1,0aa且，若ag 2，则2f（）经典例题变式训练名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - . . A. 2B.415 C. 417 D. 2

11、a3. （辽宁）若函数)(12()(axxxxf为奇函数，则a=（）A21B 32C 43D1 4. （全国）下列函数中，既是偶函数又在+（0， ）单调递增的函数是（）（A）3yx (B) 1yx（C）21yx (D) 2xy5.（广东文10）设)(),(),(xhxgxf是 R上的任意实值函数如下定义两个函数xgf和xgf；对任意Rx,)(xgfxgf；)(xgxfxgf则下列等式恒成立的是（）A)(xhghfxhgfB)(xhghfxhgfC)(xhghfxhgfD)(xhghfxhgf例 2. （广东）函数1( )lg(1)1f xxx的定义域是（）A(, 1) B(1,) C( 1,1

12、)(1,) D(,)【答案】 C 方法总结经典例题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - . . 1 （ 2012 年西城区）函数21( )logf xx的定义域是 _ _2 （ 2012 年西城区）函数2( )logf xx的定义域是 _ _. 3 （2012 年东城区）已知函数1)(2xxf的定义域为ba,)(ba，值域为5,1，则在平面直角坐标系内，点),(ba的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为（） A 8

13、B6 C 4 D2例 3. （山东）函数2sin2xyx的图象大致是【答案】 C 【解析】因为12cos2yx, 所以令12cos02yx, 得1cos4x, 此时原函数是增函数; 令12cos02yx, 得1cos4x, 此时原函数是减函数, 结合余弦函数图象， 可得选 C变式训练方法总结经典例题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - . . 正确 . 1.（陕西） 设函数( )f x（xR）满足()( )fxf x

14、，(2)( )f xf x，则函数( )yf x的图像是（）2 （ 2011 年海淀区）函数2sin,22yxx x的图象是（）3 （ 2011 年海淀区）函数( )1xf xe的图象大致是（）A B C D变式训练yxO2662yxO2332yxO22yxO2332A（）B（）C（）D（）OyxOyxOyxOyx方法总结名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - . . 例 4. （天津）函数23xfxx的零点所在的一个

15、区间是（） 2, 11,00,11,2【答案】 B 【解析】解法1因为22260f，11230f，00200f，所以函数23xfxx的零点所在的一个区间是1,0故选解法 2230 xfxx可化为23xx画出函数2xy和3yx的图象，可观察出选项，不正确，且00200f，由此可排除，故选1. （天津文）函数e2xfxx的零点所在的一个区间是（） 2, 11,00,11,22 （2012 年丰台区） 若函数21( )log ()f xxax在区间1(,2)2内有零点，则实数a 的取值范围是（）A25(log, 12 B25(1,log)2 C25(0,log)2D251,log)23.（重庆）设m

16、 ，k 为整数，方程220mxkx在区间（ 0,1 ）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（）（A）-8 （B） 8 (C)12 (D) 13 经典例题变式训练方法总结名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - . . 例 5. （天津）设函数212log,0log,0 xxfxxx若fafa，则实数a的取值范围是（） 1 00 1,U11,U1 01,U10 1,U【答案】 C 【解析】若0a，则212loglogaa，

17、即22log0a，所以1a，若0a则122loglogaa，即22log0a，所以01a，10a。所以实数a的取值范围是1a或10a，即1 01a,U故选 C1. （浙江）已知0),1(02xxfxxxf，则22ff的值为（）A6 B 5 C4 D2 2 （ 2012 年丰台区）已知函数2log,(0),( )2 ,(0).xxxf xx若1( )2f a，则 a= 3 （ 2012 年东城区）已知函数sin,0,( )(1),0,xxf xf xx那么)65(f的值为经典例题变式训练方法总结名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -

18、- - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - . . 例 6. （天津）设5log 4a，25log 3b，4log 5c，则（） acbbcaabcbac【答案】 D 【解析】因为44log 5log 41cc，50log 41a，50log 31a，所以25555log 3log 3 log 4log 4ba，所以bac，故选1 （ 2012 年昌平区）设4log,2,3.03.03.02cba，则（）Abac Babc Ccab Dacb2 （ 2011 年海淀区）若21.52111( ),( ),log222abc，

19、则（）AbacBbcaCabcDacb3. （ 2011 年东城区）设12log 3a，0.313b，lnc，则（）Aabc Bacb Ccab Dbac经典例题变式训练方法总结名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - . . 例 6.（四川） 函数( )f x的定义域为A ，若12,xxA且12()()f xf x时总有12xx，则称( )fx为单函数例如，函数( )f x=2x+1(xR) 是单函数下列命题：函数2(

20、 )f xx（ xR）是单函数；若( )f x为单函数，12,xxA且12xx，则12()()f xf x；若 f ： A B为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；函数( )f x在某区间上具有单调性，则( )f x一定是单函数其中的真命题是_ （写出所有真命题的编号）【答案】【解析】对于，若12()()f xf x，则12xx，不满足；实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；对于，若任意bB，若有两个及以上的原象，也即当12()()f xf x时，不一定有12xx，不满足题设，故该命题为真；根据定义，命题不满足条件1 （ 2012 年东城区）对于函数(lg21f xx），有如下三个命

21、题：)2(xf是偶函数；)(xf在区间)2,(上是减函数，在区间,2上是增函数；)()2(xfxf在区间,2上是增函数其中正确命题的序号是（）A B C D2 （2012 年丰台区） 函数( )f x的导函数为( )fx，若对于定义域内任意1x，2x12()xx，有121212()()()2f xf xxxfxx恒成立，则称( )f x为恒均变函数给出下列函数：( )=23fxx；2( )23f xxx；1( )=f xx；( )=xf xe；( )=lnf xx其中为恒均变函数的序号是 （写出所有满足条件的函数的序号）经典例题变式训练名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -

22、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - . . 1 （ 2012 年西城） 下列函数中，既是偶函数又在(0,)单调递增的函数是（）A1yx B |exy C23yx Dcosyx2 （2012 年朝阳区） 函数2( )2xf xax的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是（）A(1,3) B(1,2) C (0,3) D(0, 2)3 （ 2012 年朝阳区）函数)0(12)0(2xxxyx的图象大致是（）4 （昌平区）某类产品按工艺共分10 个档次，最低档次产品

23、每件利润为8 元. 每提高一个档次，每件利润增加2 元. 用同样工时，可以生产最低档产品60 件，每提高一个档次将少生产 3 件产品 . 则获得利润最大时生产产品的档次是（）A第 7 档次 B第 8档次 C第 9 档次 D第 10 档次5 （东城区） 已知函数1)(2xxf的定义域为ba,)(ba，值域为5,1，则在平面直角坐标系内，点),(ba的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为（） A 8 B6 C 4 D26 （ 2012 年海淀区 已知函数( )2f xx xx，则下列结论正确的是（）A( )f x是偶函数，递增区间是),0( B( )f x是偶函数，递减区间是)1 ,(C( )f

24、x是奇函数，递减区间是)1 , 1( D( )f x是奇函数，递增区间是)0,(7 （海淀区）若)1lg(2)(xxf， 则( )f x的定义域是（） A ), 1( B), 1()1 , 0( C)0, 1()1,(D) 1 ,0()0 ,(强化训练名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - . . 8 （ 2011 年海淀区）若2( )1f xx， 则( )fx 的定义域是（） A 0,1) B 0,) C (1,)

25、D0,1)(1,)9 （ 2011 年海淀区）要得到函数1( )2xf x的图象，可以将（）A函数2xy的图象向左平移1 个单位长度B函数2xy的图象向右平移1 个单位长度C函数2xy的图象向左平移1 个单位长度D函数2xy的图象向右平移1 个单位长度10 （海淀区）已知函数( )f x 在定义域(0,) 上是单调函数, 若对任意(0,)x，都有1( )2ff xx, 则1( )5f的值是（）A5 B 6 C7 D811 （2011 年朝阳区） 设0 x是函数21( )( )log3xf xx的零点若00ax，则( )f a的值满足（）A( )0f a B( )0f aC( )0f a D(

26、)f a的符号不确定12 （2011 年朝阳区高）已知函数)30(42)(2aaxaxxf，其图象上两点的横坐标1x，2x满足21xx, 且axx121, 则有 ( ) A)()(21xfxf B)()(21xfxfC)()(21xfxf D)(),(21xfxf的大小不确定13 （顺义区） 函数1cosyxx在坐标原点附近的图象可能是（）y2O3232222xy2O3232222xy2O3232222xy2O3232222xABCD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1

27、2 页，共 13 页 - - - - - - - - - . . 14 （顺义区） 已知函数3( )sin ,( 1,1)f xxx x，如果2(1)(1)0fmfm，则m的取值范围是。15 （2011 年朝阳区） 已知函数12log (), 40,( )2cos ,0.xxf xxx若方程( )f xa有解，则实数a的取值范围是 _ _答案：2,。16. （顺义区） 已知函数22,1( )45,1xxf xxxx，若( )0f xa恰有两个实数根， 则a的取值范围是。17. （朝阳区）设函数( )1f xx()Q的定义域为,baa b， 其中0ab 若函数( )f x在区间,a b上的最大值

28、为6，最小值为3，则( )f x在区间, ba上的最大值与最小值的和为_ _18. （顺义区） 已知下列四个命题：函数xxf2)(满足：对任意Rxx21,，有)()(21)2(2121xfxfxxf；函数)1(log)(22xxxf,1221)(xxg均是奇函数；若函数)(xf的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足)()4(xfxf，那么(2)(2012)ff=；设21, xx是关于x的方程)1,0(logaakxa的两根，则1=21xx. 其中正确命题的序号是 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -