2022年三角函数学习中的几个“小技巧-大突破.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载三角函数学习中的几个“ 小技巧,大突破”冯广东摘要： 从近几年高考数学试卷统计情形看,三角函数是高考的六大板块之一,每年考一道大题和一道小题, 而一道大题里面往往又隐含了如干个小问题数学问里面的简单被忽视的一些小问题、小技巧关健词：三角函数、给值求角、比较大小、解三角形一、“ 已知三角函数值求角” 问题所以, 高中生应当留意三角函在学习过程中同学们通常存在这么几个困惑：1、给出一个三角函数值可能对应着多个或很多个角,不知道该先求哪个角？四个例题说明：2、不能精确的写出已知要求的那个范畴的角下

2、面以例 1、已知 sin x 2且 x , ,求 x 的取值集合2 2 2例 2、已知 sin x 2且 x , ,求 x 的取值集合2 2 2例 3、已知 sin x 2且 x 0 , 2 ,求 x 的取值集合2例 4、已知 sin x 2,求 x 的取值集合2此类问题在处理时,不管已知的三角函数值是正数仍是负数,我们都可以临时把它看作正数,目的是为了找到看作正数后相对应的那个锐角,然后我们可以利用：或或 2 或 处理一下,就求出了相对应的区间： , ； , 3 ； 3, 2 ； 0, 2 2 2 2内符合题意的角了假如满意条件的角可以有很多个,那么我们把刚才求出来的角“+”2 k k Z

3、就可以了下面我们按以上思路来解决以上四个例题：例 1、解：令sin2（2为锐角）,就4,又sinx20且1,且x2,2, 第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - 2所以满意条件的角在 0 ,2内,所以 x 的取值集合为 4例 2、解：令sin2（为锐角） ,就4,又sin x20且1 ,且22x2,2,所以满意条件的角在2,0 内,所以x4,所以 x 的取值集合为细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -4精品资料欢迎下载例 3、解：令 sin

4、2（为锐角） ,就,又 sin x 20 且 1 ,且2 4 2x 0 2, ,所 以 满 足 条 件 的 角 在 , 3 , 3, 2 内 , 所 以 x 5或2 2 4x 2 7,4所以 x 的取值集合为 5 , 7 4 4例 4、解：由上面例 2 和例 3 可得答案为： x / x 2 k 5或 x 2 k 7 , k Z 4 4或者答案也可以为： x / x 2 k 5或 x 2 k , k Z 4 4二、“ 利用三角函数的单调性比较大小” 问题在教学中通常要求同学把三角函数化成同名且自变量落在一个单调区间内即可,但是学生在实际操作过程中简单混淆单调区间,不如我们把此类问题中的自变量利

5、用诱导公式负角化为正角,正角统一都化为锐角,这样就更简洁、明朗了,由于正弦、余弦、正切函数在区间 0 ,2内的单调性依次为：单调递增、单调递减、单调递增,同学是特别熟识的,tan42例如：比较tan13与tan17的大小45解：tan13tan13tan 255 tan47 tan5tan 424 174 174 7tantantan 2tantan55555由于ytanx在,02内单调递增,且42,所以tan4tan255所以tan4tan2,即tan13tan17545三、“ 利用正、余弦定懂得三角形” 问题在 ABC 中,设角 A 、 B 、 C 的对边长分别为：a 、 b 、 c 第

6、2 页,共 4 页 - - - - - - - - - 正弦定理：aAbBcC2r（ r 为ABC 的外接圆半径）sinsinsin余弦定理：a2b2c22bccosA；b2a2c22accosB；c2a2b22abcosC定理的内容以及变形同学们一般都能记住,但是遇到详细问题时究竟该用哪个定理？有的同学就拿不准了下面我们来探讨这个问题,第一我们要清晰解三角形问题中三角形的三个角和三条边六个元素至少得已知三个,而且这三个已知的元素中至少得有一条边,这样我细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - -

7、- - - - - - - -精品资料 欢迎下载们才可以解这个三角形那么我们就可以以已知条件中边的条数将此类问题进行分类：1、已知“ 一边两角” （实际上第三个角也知道了） ,用正弦定理（由于这条边确定是已知角的对边）2、已知“ 两边一对角” ,用正弦定理； 已知“ 两边一夹角”,用余弦定理 3、已知“ 三边” ,用余弦定理 当然,有时在一道题目中正、余弦定理都可以用,我们挑选其一就可以了另外, 假如已知条件答应的话,我们尽量去求三角形内角的余弦值,这是由于在三角形中余弦值可以把锐角、直角、钝角分的清清晰楚,余弦值为正,角为锐角；余弦值为负,角为钝角；余弦值为 0,角为直角而正弦值分不清锐角和

8、钝角最终别忘了三角形中“ 内角和等于 180 ” ；“ 大边对大角,大角对大边”；“ 两边之和大于第三边” ；“ 三角形面积公式”；“ 射影定理”；“ 已知两边一对角时,可能两解、 一解、 无解”等下面我们来看一些例题：例 1、在ABC 中,已知c10,A45,C30,求 b （保留两个有效数字） 分析：已知形式为： “ 一边两角”,所以用正弦定理4530105,解：bBcC,B180AC180sinsinbcsinB10sin10519sinCsin30求 B （精确到 1 ）和c（保留两个有效例 2、在ABC 中,已知a20,b28,A40数字）分析：已知形式为： “ 两边一对角”,所以用

9、正弦定理,而且可能两解、一解、无解 第 3 页,共 4 页 - - - - - - - - - 解：sinBbsinA28sin400 .8999,B 164,B2116（BA）a20当B 164时,C1180B 1A180644076,c 1asinC120sin7630sinAsin40当B2116时,C2180B2A180 1164024,c2asinC220sin2413sinAsin40例 3、在ABC 中,已知a2 .730,b3.696 ,C8228/,解这个三角形（边长保留四个有效数字,角度精确到/1 ）分析：已知形式为： “ 两边一夹角”,所以用余弦定理解：由c2a2b22a

10、bcosC2.73023.696222 .7303 .696cos8228/,得细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -c4 . 297精品资料欢迎下载cosAb2c2a23.69624 .29722 .73020 .7767,A392/2bc23. 6964. 297B180AC180392/8228/5830/例 4、在ABC 中,已知a7 ,b10,c6,求 A 、 B 、 C （精确到 1 ）分析：已知形式为： “ 三边” ,所以用余弦定理解：cosAb2c2a210262720 .725 ,A44 第 4 页,共 4 页 2bc2106cosCa2b2c272102620 .8071 ,C362ab2710B180AC1804436100细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -