2022年高考数学一轮复习第八章立体几何.空间向量与立体几何课时练理 .pdf

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1、1 2017 高考数学一轮复习第八章 立体几何 8.5 空间向量与立体几何课时练理时间： 45 分钟基础组1.2016 枣强中学猜题若直线l的方向向量为a(1 ，1，2) ，平面 的法向量为u( 2,2 ， 4) ，则( ) AlBlCl? Dl与 斜交答案B 解析因为直线l的方向向量a(1， 1,2) 与平面 的法向量u(2,2 ， 4) 共线，则说明了直线与平面垂直，故选B. 22016衡水中学期中 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM12MC1，N为B1B的中点，则 |MN| 为( ) A.216aB.66aC.156aD.153a答案A 解析MNMAABBN1

2、3AC1ABBN13(ABADAA1) AB12AA123AB16AA113AD，|MN| 23AB16AA113AD22136a2216a. 3 2016武邑中学期中 平面 的一个法向量为(1,2,0)， 平面 的一个法向量为(2 ，1,0) ，则平面 和平面 的位置关系是( ) A平行B相交但不垂直C垂直D重合名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - 2 答案C 解析由(1,2,0)(2， 1,0) 122( 1)0

3、0 0，知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直42016衡水中学期末 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( ) A.55B.53C.255D.35答案A 解析设CB1，则CACC12，故B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，则BC1(0,2 ， 1)，AB1(2,2,1) ，cosBC1，AB1BC1AB1|BC1| |AB1|33555，即直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为55. 故选 A. 5.2016 冀州中学猜题如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分

4、别是AB，B1C的中点，则EF和平面ABCD所成角的正切值为( ) A.2 B.22名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - 3 C.12D2 答案B 解析如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则点C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，F12，1，12，E1，12，0 ，EF 12，12，12DD1(0,0,1)为底面的一个法向量，cosEF，DD1EFDD1|EF|DD1|1333，所以EF

5、和平面ABCD所成角 的正弦值为sin 33，tan sin cos22. 故选 B. 62016武邑中学仿真 过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角为( ) A30 B45C60 D90答案B 解析建立如图所示的空间直角坐标系，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - 4 设ABPA1，知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，

6、P(0,0,1) 由题意得，AD平面ABP，设E为PD的中点，连接AE，则AEPD，又CD平面PAD，AECD，又PDCDD，AE平面CDP. AD(0,1,0)，AE 0，12，12分别是平面ABP、平面CDP的法向量，而AD，AE45，平面ABP与平面CDP所成的锐二面角为45.72016衡水中学模拟 若平面 的一个法向量为n(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a(2， 3,3) ，则l与 所成角的正弦值为_答案41133解析设l与 所成角为，则 sin |cos n，a| |na|n|a| 833|161149941133. 82016冀州中学期中 已知在长方体ABCDA1B1C1D1

7、中，底面是边长为2 的正方形，高为 4，则点A1到截面AB1D1的距离是 _答案43解析如图建立空间直角坐标系Dxyz，则A1(2,0,4)，A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，AD1( 2,0,4)，AB1(0,2,4)，AA1(0,0,4)，设平面AB1D1的法向量为n(x，y，z) ，则nAD10，nAB10，即2x4z0，2y4z0，解得x2z且y 2z，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - -

8、 - 5 不妨设n(2 ，2,1) ，设点A1到平面AB1D1的距离为d. 则d|AA1n|n|43. 92016衡水中学仿真 已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，ACBC2，AA14，D是棱AA1的中点如图所示(1) 求证：DC1平面BCD；(2) 求二面角ABDC的大小解(1) 证明：按如图所示建立空间直角坐标系由题意，可得点C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(2,0,2)，A1(2,0,4)，C1(0,0,4)于是，DC1( 2,0,2)，DC( 2,0 ， 2) ，DB( 2，2， 2) 可算得DC1DC0，DC1DB0. 因此，DC1DC，DC1DB.

9、 又DCDBD，所以DC1平面BDC. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - 6 (2) 设n(x，y，z) 是平面ABD的法向量，则nAB0，nAD0.又AB( 2,2,0) ，AD(0,0,2)，所以 2x2y0，2z0.取y1，可得x1，y1，z0，即平面ABD的一个法向量是n(1,1,0)由(1) 知，DC1是平面DBC的一个法向量，记n与DC1的夹角为，则 cosnDC1|n|DC1|12，23. 结合三棱

10、柱可知，二面角ABDC是锐角，故所求二面角ABDC的大小是3. 10. 2016枣强中学预测 如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB12，M是线段B1D1的中点(1) 求证：BM平面D1AC；(2) 求证：D1O平面AB1C；(3) 求二面角BAB1C的大小名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - 7 解(1) 证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则点O(1

11、,1,0)，D1(0,0 ，2) ，OD1( 1， 1，2)，又点B(2,2,0)，M(1,1 ，2) ，BM( 1， 1，2) ，OD1BM，又OD1与BM不共线，OD1BM. 又OD1? 平面D1AC，BM?平面D1AC，BM平面D1AC. (2) 证明：连接OB1，OD1OB1( 1，1，2) (1,1 ，2) 0，OD1AC( 1，1，2) ( 2,2,0)0，OD1OB1，OD1AC，即OD1OB1，OD1AC，又OB1ACO，D1O平面AB1C. (3) CBAB，CBBB1，CB平面ABB1，BC( 2,0,0) 为平面ABB1的一个法向量OD1OB1，OD1AC，OD1( 1，

12、 1，2)为平面AB1C的一个法向量cosBC，OD1BCOD1|BC| |OD1|22212，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - 8 BC与OD1的夹角为 60，即二面角BAB1C的大小为60.112016冀州中学一轮检测 如图 1，在 RtABC中，ACB30，ABC90，D为AC中点，AEBD于点E，延长AE交BC于点F，将ABD沿BD折起， 使平面ABD平面BCD，如图 2 所示(1) 求证：AE平面BCD

13、；(2) 求二面角ADCB的余弦值；(3) 在线段AF上是否存在点M使得EM平面ADC？若存在， 请指明点M的位置； 若不存在，请说明理由解(1) 证明：因为平面ABD平面BCD，交线为BD，又在ABD中，AEBD于点E，AE? 平面ABD，所以AE平面BCD. (2) 由(1) 中AE平面BCD可得AEEF. 由题意可知EFBD，又AEBD，如图，以E为坐标原点，分别以EF，ED，EA所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Exyz，不妨设ABBDDCAD2，则BEED1. 由图 1 条件计算得AE3，BC23，BF33，则E(0,0,0)，D(0,1,0)，B(0 ， 1，0) ，A

14、(0,0 ，3) ，F33，0，0 ，C(3，2,0) ，DC(3，1,0) ，AD(0,1 ，3) 由AE平面BCD可知平面DCB的法向量为EA，EA(0,0 ，3) ，设平面ADC的法向量为n(x，y，z) ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - 9 则nDC0，nAD0，即3xy0，y3z0.令z1，则y3，x1，所以n( 1，3，1)因为平面DCB的法向量为EA，所以 cosn，EAEAn|EA|n|55.

15、所以二面角ADCB的余弦值为55. (3) 设AMAF，其中 0,1由于AF33，0，3 ，所以AMAF33，0，3 ，其中 0,1所以EMEAAM33，0，3 . 由EMn0，即33(1 )30，解得 34(0,1) 所以在线段AF上存在点M使EM平面ADC，且AMAF34. 122016武邑中学一轮检测 如图， 在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动(1) 求证：D1EA1D；(2) 当E点为AB的中点时，求点E到平面ACD1的距离；(3)AE为何值时，二面角D1ECD的大小为4？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -

16、 - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - 10 解(1) 证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，D1(0,0,1)E在棱AB上移动，设E(1 ，a,0)，0a2.D1E(1，a，1) ，A1D( 1,0 ，1) ，D1EA1D0，D1EA1D. (2) 设平面ACD1的法向量为m(x，y，z) ，点E到平面ACD1的距离为h. AC( 1,2,0) ，AD1( 1,0,1)，x2y

17、0，xz0，令y1，则m(2,1,2)又E(1,1,0)，CE(1 ， 1,0) ，CE与平面ACD1所成角的正弦值为|mCE|m|CE|13226，h|CE| 2613. (3) 设平面D1EC的法向量为n(x1，y1，z1)，D1E(1，a，1) ，D1C(0,2 ，1) ，x1ay1z10，2y1z10，令y11，得n(2 a,1,2) 易知平面ECD的一个法向量为DD1(0,0,1)，则|cosn，DD1| 2a2522，可得a23或a23( 不符合，舍去 ) ，当AE23时，二面角D1ECD的大小为4. 能力组132016武邑中学月考 如图所示，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD

18、，PC2，在四边形ABCD中，BC90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成 30的角求证：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - 11 (1)CM平面PAD；(2) 平面PAB平面PAD. 证明以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. PC平面ABCD，PBC为PB与平面ABCD所成的角，PBC30，PC2，BC23，PB4，D(0,1,0)

19、，B(23，0,0) ，A(23，4,0) ，P(0,0,2)，M32，0，32，DP(0， 1,2) ，DA(23，3,0) ，CM32，0，32. (1) 设n(x，y，z) 为平面PAD的一个法向量，由DPny2z0，DAn23x3y0名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - 12 得z12y，x32y，令y2，得n(3，2,1) nCM332201320，nCM. 又CM?平面PAD，CM平面PAD. (2)

20、如图，取AP的中点E，连接BE，则E(3，2,1) ，BE( 3，2,1) PBAB，BEPA. 又BEDA( 3，2,1) (23，3,0) 0，BEDA，BEDA. 又PADAA，BE平面PAD. 又BE?平面PAB，平面PAB平面PAD. 142016衡水中学热身 在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB1，AA12，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO侧面ABB1A1. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - -

21、- - - - - - - 13 (1) 证明：BCAB1；(2) 若OCOA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值解(1) 证明：由题意tan ABDADAB22，tan AB1BABBB122，注意到 0ABD，AB1B2，所以ABDAB1B. 所以ABDBAB1AB1BBAB12. 所以AB1BD. 又CO侧面ABB1A1，所以AB1CO. 又BD与CO交于点O，所以AB1面CBD. 又因为BC? 面CBD，所以BCAB1. (2) 如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x轴、y轴、z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则A0，33，0 ，B63，0，0 ，C0，0，33，

22、B10，233，0 ，D66，0，0 . 又因为CC12AD，所以C163，233，33. 所以AB 63，33，0 ，AC0，33，33，DC166，233，33. 设平面ABC的法向量为n(x，y，z) ，则根据ABn0，ACn0 可得n(1 ，2，2) 是平面ABC的一个法向量，设直线C1D与平面ABC所成角为. 则 sin |DC1n|DC1|n|35555. 152016冀州中学期末 如图，在几何体ABCA1B1C1中，点A1，B1，C1在平面ABC内的正投影分别为A，B，C，且ABBC，AA1BB14，ABBCCC12，E为AB1中点名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

23、 - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - 14 (1) 求证：CE平面A1B1C1；(2) 求二面角B1AC1C的大小解(1) 证明：由题知AA1平面ABC，BB1平面ABC，CC1平面ABC，AA1BB1CC1. 如图，取A1B1中点F，连接EF，FC1，E为AB1中点，EF綊12A1A. AA14，CC12，CC1綊12A1A，EF綊CC1，四边形EFC1C为平行四边形，CEC1F. CE?平面A1B1C1，C1F? 平面A1B1C1，CE平面A1B1C1. (

24、2) 由题知，ABBC，又BB1平面ABC，BB1AB，BB1BC，分别以BA，BC，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(0,0,4)，C1(0,2,2)，AC( 2,2,0) ，CC1(0,0,2)，AB1( 2,0,4)，B1C1(0,2 ， 2)设平面ACC1的法向量为m(x1，y1，z1) ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - 15 则m

25、AC0，mCC10，2x12y102z10，令x11，得m(1,1,0)，设平面AB1C1的法向量为n(x2，y2，z2) ，则nAB10，nB1C10，2x24z202y22z20，令z21，得x22，y21，n(2,1,1)cosm，nmn|m|n|32. 由图知，二面角B1AC1C是钝角，二面角B1AC1C的大小为 150.16. 2016衡水中学预测 在直角梯形ABCD中，ADBC，BC2AD2AB22，ABC90，如图所示，把ABD沿BD翻折，使得平面ABD平面BCD，如图所示(1) 求证：CDAB；(2) 若点M为线段BC的中点，求DM与平面ACD所成角的正弦值；(3) 在线段BC

26、上是否存在点N， 使得AN与平面ACD所成的角为60？若存在， 求出BNBC的值；若不存在，说明理由解(1) 证明：由已知条件可得，BD2，CD2，又BD2CD2BC2，CDBD. 平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，CD平面ABD. AB? 平面ABD，CDAB. (2) 以点D为原点，BD所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则各相关点的坐标为A(1,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，M(1,1,0)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师

27、精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - 16 CD(0， 2,0) ，AD( 1,0 ，1) ，MC( 1,1,0)，DM(1,1,0)设平面ACD的法向量为n(x，y，z) ，则CDn，ADn，y0，xz0，令x1，得平面ACD的一个法向量为n(1,0 ， 1)若DM与平面ACD所成的角为，则DM与平面ACD所成角的正弦值为sin |cosn，DM | nDM|n|DM|12. (3) 假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成的角为60.设BNBC，01，则N(2 2，2，0) ，AN(12，2， 1) 平面ACD的一个法向量为n(1,0 ， 1) ，且直线AN与平面ACD所成的角为60，sin60 |ANn|AN|n|32，整理得 82210，14或 12( 舍去 ) 综上所述，在线段BC上存在点N，使AN与平面ACD所成的角为60，此时BNBC14. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -