01章函数与极限923-15函数极限的性质.ppt

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1、多媒体课件广东石油化工学院理学院数学系广东石油化工学院理学院数学系1.5 1.5 函数极限的性质函数极限的性质由数列极限的性质，我们可以得到函数极由数列极限的性质，我们可以得到函数极限相应的性质限相应的性质由于函数极限有六种不同的形式由于函数极限有六种不同的形式：下面以下面以0lim( )xxf xA 给出函数极限的性质给出函数极限的性质 形式为代表，形式为代表，这些性质的证明只要在数列极限相应性质这些性质的证明只要在数列极限相应性质证明方法上做一些修改即可得到证明方法上做一些修改即可得到lim( ), lim( ),lim( ),xxxf xf xf x000lim( ), lim( ),l

2、im( ),xxxxxxf xf xf x定理定理1 1 ( (极限的唯一性极限的唯一性) ) 如果如果0lim( )xxf x存在，存在， 则则0lim( )xxf x极限是唯一的极限是唯一的定理定理2 2 ( (局部有界性局部有界性) ) 如果如果0lim( )xxf xA ， 0M 0 00 xx ( )f xM 则存在常数则存在常数和和，使得当，使得当时，有时，有 0 x00(, )U x 注：局部有界性是指函数在注：局部有界性是指函数在的去心邻域的去心邻域内有界内有界定理定理3 3（局部保号性）（局部保号性）0lim( )xxf xA 0A 0 00 xx ( )0f x 设设，如果

3、，如果0A （或或），则），则，使当，使当时，时，( )0f x （或或）0lim( )xxf xA (0)A 0 00(, )xU x 推论推论 如果如果，则，则，时，有时，有( )2Af x 当当0lim( )xxg xB 定理定理4 4（四则运算性）（四则运算性），则下列结论成立，则下列结论成立. .0lim( )xxf xA ，若若（1 1）0lim( ( )( )xxf xg xAB（2 2）0lim( )( )xxf xg xA B(0)B 0( )lim( )xxf xAg xB （3 3）例例1 1 若若xxf xA0lim( ) ，xxg xB0lim( ) ，AB. 0 ，

4、且且证明证明00(, )xU x 使当使当时，时，( )( )f xg x 本题利用极限的四则运算性质和保号性即可证明AB 0BA0lim( )xxf xA 证证，又因为，又因为， xxg xB0lim( ) ，xxg xf xBA0lim( ( )( )0.所以所以 0 ，g xf x( )( )0 ，由函数极限的局部保号性，由函数极限的局部保号性，00(, )xU x 时，时，即即g xf x( )( ). 例例2 2 求求2lim(34)xx 2lim(34)xx 22lim3lim4xxx23lim4xx3 2410解解 由极限四则运算性质有由极限四则运算性质有212lim321xxx

5、x212lim321xxxx121lim2lim(321)xxxxx 121112limlim3lim2lim1xxxxxxx 213213例例3 3 求求解解 由极限四则运算性质有由极限四则运算性质有22232lim1xxxxx2x22232lim1xxxxxlimx 200lim100 x 例例4 4 求求解解 将分式分子同除将分式分子同除利用极限四则运算性质得利用极限四则运算性质得, ,使分子分母中各项有极限使分子分母中各项有极限, ,2 2322xx2111xx定理定理5 5（复合函数极限运算性质）（复合函数极限运算性质）( ( )yf g x ( )ug x ( )yf u 设函数设

6、函数是由函数是由函数与与复合而成，复合而成， ( ( )f g x0 x00(, )U x 在点在点的某个去心邻域的某个去心邻域上有定义，上有定义， 0lim( )uuf uA 00(, )xU x 0( )g xu 0lim( ( )xxf g xA 00lim( )xxg xu 若若，. .且当且当时，时，则，则0lim( ( )xxf g xA 0 0 00 xx ( ( )f g xA 证明思路：证明思路：要证要证，只要证，只要证，当，当时，时，即可即可. .0lim( )uuf uA 0 0 ，00uu 证明证明 ( )ug x ， ( ( )( )f g xf u，又，又，对对当当

7、时，时，( )f uA 00 xx 0( ),g xu 0uu ，由于由于00lim( )xxg xu ，对上述对上述00()，当当时，时，即即0 , ,( )f uA 从而有从而有，即，即( ( )f g xA 21limsin12xxx 2sin12xx 21,2uxx sinyu 例例5 5 求求解解 是由是由复合而成复合而成1limxu21lim(+1)2xxx ,2 2limsinuu sin2 1, 21limsin11.2xxx 解解: : 方法方法 1 1.11lim1xxx,xu 则则, 1lim1ux令令11112uuxx1 u 原式原式) 1(lim1uu2方法方法 2

8、211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2例例6 6 求求 00,( )0,xU xf x 0lim( ),xxf xA 0?A 问题讨论：问题讨论：且且是否一定有是否一定有1 1若对若对0lim( )xxf x0lim( )xxg x0lim( )( )xxf xg x 0lim( )xxf x0lim( )xxg x0lim( ( )( )xxf xg x 2 2若若存在，存在，不存在，是否一定有不存在，是否一定有存在？反之，若存在？反之，若不存在，不存在，不存在，是否一定有不存在，是否一定有不存在？不存在？本节根据数列极限性质，相似得到函数极限本节根据数列

9、极限性质，相似得到函数极限的的唯一性、局部有界性、局部保号性唯一性、局部有界性、局部保号性等基本性质及等基本性质及函数极限的四则运算性质和复合函数极限的性质函数极限的四则运算性质和复合函数极限的性质函数极限的四则运算性质通过函数极限定义函数极限的四则运算性质通过函数极限定义和函数极限的基本性质得到，复合函数极限的性和函数极限的基本性质得到，复合函数极限的性质通过函数极限定义得到质通过函数极限定义得到. .补充：求极限的方法补充：求极限的方法1 1、极限的四则运算法则及其推论、极限的四则运算法则及其推论; ;2 2、极限求法、极限求法; ;a.a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入

10、法求极限; ;b.b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限; ;c.c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限; ;d.d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限; ;e.e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限. .3 3、复合函数的极限运算法则、复合函数的极限运算法则例例7 7.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 补充：求极限的

11、方法补充：求极限的方法小结小结: :则有则有设设,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 则有则有且且设设, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0则商的法则不能应用则商的法则不能应用若若 xQ解解)32(lim21 xxx, 0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由无穷小与无穷大的关

12、系由无穷小与无穷大的关系, ,得得例例8 8.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx解解例例9 9.321lim221 xxxx求求.,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x.1后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型( (消去零因子法消去零因子法) )例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再求极限再求极限分出无穷小分出无穷小

13、去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 ( (无穷小因子分出无穷小因子分出法法) )小结小结: :为非负整数时有为非负整数时有和和当当nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子, ,分母分母, ,以分出无穷小以分出无穷小, ,然后再求极限然后再求极限. .例例1010).21(lim222nnnnn 求求解解是无限多个无穷小之和是无限多个无穷小之和时时, n2

14、22221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限. .例例1111.sinlimxxx 求求解解,1,为无穷小为无穷小时时当当xx .sin 是有界函数是有界函数而而x. 0sinlim xxxxxysin 例例7 7).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求设设yox1xy 112 xy解解两个单侧极限为两个单侧极限为是函数的分段点是函数的分段点,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,

15、,. 1)(lim0 xfx故故例例1212.lim333axaxax 求求解解axaxaxax 3233)()(lim原式原式3233232)(limaaxxaxax 0 323203limauuaxu 令令1 1、极限的四则运算法则及其推论、极限的四则运算法则及其推论; ;2 2、极限求法、极限求法; ;a.a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限; ;b.b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限; ;c.c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限; ;d.d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限; ;e.e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限. .3 3、复合函数的极限运算法则、复合函数的极限运算法则