01章函数与极限923-14 函数极限的定义.ppt

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1、多媒体课件多媒体课件广东石油化工学院理学院数学系广东石油化工学院理学院数学系1.4 函数极限的定义函数极限的定义函数极限函数极限的定义是高等数学最基本的概念之一，的定义是高等数学最基本的概念之一，函数极限函数极限是高等数学研究函数性态的工具是高等数学研究函数性态的工具研究函数极限，就是研究函数的变化趋势，为研究函数极限，就是研究函数的变化趋势，为研究函数的微分和积分提供有效方法研究函数的微分和积分提供有效方法x ，x ，x ，0 xx，0 xx，0 xx( )yf x求函数求函数的极限的极限可以分成求当可以分成求当六种情况时，六种情况时，( )f x的变化趋势的变化趋势lim( )xf xA

2、( )()f xA x 记为或定义定义X 定义定义1可简单地表达为：可简单地表达为：0,M,( ),xMf xA当时 有AxfA)(xM0,MAAoxy)(xfy A几何解释几何解释:lim( )xf xA定义定义1推广至左侧：推广至左侧：0,M,( ),xMf xA 当时 有AxfA)(xM ,0MAAoxy)(xfy A几何解释几何解释:直线直线 y = A 为曲线为曲线)(xfy 的水平渐近线的水平渐近线lim( )xf xA定义定义1推广整个实数区域：推广整个实数区域：lim( )xf xA,0X,)(,AxfXx有时当AxfA)(XxXx或,0XXAAoxy)(xfy A几何解释几何

3、解释:Axfx)(lim,00,M当当xM时时, 有有 Axf)(Axfx)(lim,00,M当当xM 时时, 有有 Axf)(三种情况三种情况 :lim( )xf xA0,M,( ),xMf xA当时 有,0lim( )xf xA lim( )xf xlim( )xf x A 定理定理1证明证明 必要性显然下证充分性必要性显然下证充分性lim( )xf xlim( )xf x ,A 0,10,M( ),f xA 1xM 使当使当时，时， 使当使当2xM 时时, 1lim0.xx证证:10 x1x例例1 证明证明1=|x取取1,M ,xM当当时时10 x因此因此1lim0 xx就有就有故故,0

4、要使要使10,x即即,1x只要只要1x ，sinlim0.xxx证证:sin0 xxsin xx证明证明1|x取取,1X,时当Xx sin0 xx因此因此sinlim0 xxx就有就有故故,0欲使欲使sin0,xx即即,1x课堂练习课堂练习对于函数对于函数29( ),3xf xx ( )f x3x 在在无定义，无定义， 00 xxx0 x0 x0 x,0,0当),(0 xx时, 有 Axf)( )f x0 x001(,)U x A0 ，10()，00 xx ( )f xA ，( )f xx0 xA0lim( )xxf xA0( )().f xA xx定义2 设在的某个去心邻域上为实常数，时，则

5、称函数当趋于时，为极限，或有定义，若对当以记作 ，N x0 x ( )f xA 注注3：这里的这里的相当于数列极限中的相当于数列极限中的表示表示与与的接近程度，的接近程度，不是唯一的，不是唯一的，要通过要通过确定确定.( )f x0 x0 xx( )f x( )f x0 x注注4：函数函数在在点的极限只表示点的极限只表示时，时，的变化趋势，的变化趋势，在在点有无定义没关系点有无定义没关系与与0 x0 xAAAx0 xy)(xfy （2）单侧极限）单侧极限定义定义2 左极限左极限 :0()f x 0lim( )xxf xA,0,0当当),(00 xxx时时, 有有.)( Axf定义定义2 右极限右极限:0()f x 0lim( )xxf xA,0,0当当00(,)xxx时，有有.)( Axf定理定理 2Axfxx)(lim000lim( )lim( )xxxxf xf xA.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx补例补例 证证1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x例例2 证明证明1lim 213xx