01章函数与极限923-12收敛数列的性质.ppt

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1、多媒体课件多媒体课件广东石油化工学院理学院数学系广东石油化工学院理学院数学系1.2收敛数列的性质收敛数列的性质自然会考虑到其极限是否唯一，自然会考虑到其极限是否唯一，且且与与同时成立同时成立,则则可得可得收敛数列极限的唯一性收敛数列极限的唯一性定理定理1 ( (极限的唯一性极限的唯一性)则数列则数列有有naM ，中的中的定理定理2 (收敛数列的有界性收敛数列的有界性)定理定理3 (收敛数列的保号性收敛数列的保号性)用同样的研究方法，可得收敛数列的保号性用同样的研究方法，可得收敛数列的保号性推论：推论：如果数列如果数列 na收敛于收敛于a，且且0a ，那么那么存在正整数存在正整数N，当当nN时，

2、时， 有有.2naa那么那么定理定理4(收敛数列与其子数列间的关系收敛数列与其子数列间的关系)那么它的任一子数列也收敛，那么它的任一子数列也收敛，证明证明 则当则当kK 时，时， kn k KN , ,这就证明了这就证明了lim.knkaa 于是于是knaa 定理定理5 (数列的运算数列的运算)则有：则有：可证可证数列极限的如上运算性质数列极限的如上运算性质.例例1证明证明:0a 本题可利用定理本题可利用定理3，通过反证法证明，通过反证法证明证明证明现在用反证法证明，现在用反证法证明，矛盾矛盾例例2解解limn 本题可通过代数式分子分母同除本题可通过代数式分子分母同除5n，四则运算法则求得四则

3、运算法则求得利用极限利用极限例例3本题可通过代数式有理化，然后利用例本题可通过代数式有理化，然后利用例2方法求得方法求得解解limn 2limnnnnn 11lim11nn 问题讨论问题讨论1有界数列是否一定收敛？发散的数列是否有界数列是否一定收敛？发散的数列是否一定无界？一定无界？本节根据数列极限的定义，本节根据数列极限的定义， 研究了收敛数列研究了收敛数列极限的极限的唯一性、有界性、保号性、子列的收敛性唯一性、有界性、保号性、子列的收敛性等基本性质及等基本性质及数列极限的四则运算数列极限的四则运算性质性质数列极限的四则运算性质通过数列极限的定义数列极限的四则运算性质通过数列极限的定义和收敛数列的基本性质得到和收敛数列的基本性质得到补充例补充例1 11( 1).nnx 证证明明数数列列是是发发散散的的证证lim,nnxa 设设由定义由定义, ,1,2 对对于于1,2nNnNxa则则使使得得当当时时 有有成成立立11,(,),22nnNxaa即即当当时时区间长度为区间长度为1.1.1,1,nx 而而无无休休止止地地反反复复取取两两个个数数不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1 1的区间内的区间内. .,.nx事事实实上上是是有有界界的的 但但却却发发散散