河北工业大学线性代数考试试题纸.doc

《河北工业大学线性代数考试试题纸.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《河北工业大学线性代数考试试题纸.doc（8页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、.河北工业大学考试试题纸（A卷）课程名称 线 性 代 数 题号一二三四五六七八九十总分题分151532141410100 备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题) 一、填空题（每小题3分，共15分）1、设，则_。2、设，且，则_。3、已知，是三元齐次线性方程组的两个不同的解，且，则该方程组的通解为_。4、已知向量组，则_。5、设三阶方阵与对角阵相似，则 。二、单项选择题（每小题3分，共15分）1、设是n维列向量，且，则（ ）。(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 2、设，则（ ）。(A) 1 (B) 2 (C) 1/2 (D) 43、设是向量空间的一个基，则下列仍是的一

2、个基的是（ ）。(A) (B) (C) (D) 4、二次型是正定二次型，则应满足（ ）。(A) (B) (C) (D) 5、设A为阶方阵，为的伴随矩阵，且，则的秩为（ ）。(A) (B) (C) 1 (D) 0三、计算题(每小题8分，共32分) 1、已知是行列式的元素的代数余子式，计算；2、设，求矩阵，使其满足；3、设为n阶方阵，且，计算；4、设，求：、为何值时，能由线性表示，且表示唯一，并求出表示式。四、(14分) 已知线性方程组（1） 求：a为何值时，方程组有唯一解、无解、有无穷多个解；（2） 在方程组有无穷多个解时，用其对应的齐次线性方程组的基础解系表示其通解。五、（14分） 已知实二次

3、型，（1）写出的矩阵；（2）求的秩；（3）求正交变换（必须写出正交变换矩阵P），把化为标准形。六、证明题（共10分）1、（6分） 设是齐次线性方程组的一个基础解系，证明：，也是该方程组的一个基础解系；2、（4分） 设为阶方阵，且，证明：。河北工业大学教务处 试题标准答案及评分标准用纸 课程名称:线性代数 （ A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、； 2、； 3、k(),kR； 4、3； 5、 3.二、选择题（每小题3分，共15分）1、C 2、A 3、B 4、D 5 、D三、解答题（每小题8分，共32分）1、 （3分） （8分）2、 由 得 （2分）因 （6分）所以 X= （8分）3、

4、因， （2分）所以 （4分） = = （6分） = = （8分）4、记，设. （2分） 解法一： （4分）故当 且时，方程组有唯一解，即能由线性表示，且表示式唯一； （6分）此时， ，. （8分） 解法二： （2分）故当 且时，方程组（1）有唯一解，即能由线性表示，且表示式唯一；（4分）此时， （4分） （8分）四（14分）、 系数矩阵为 ，增广矩阵为，（1）解法一 B （4分） 当且时，方程组有唯一解； 当时，B ，方程组无解； 当时，B ，方程组有无穷多个解。 （7分）解法二 （4分） 当且时，,，方程组有唯一解； 当时， ，方程组无解； 当时， ，方程组有无穷多个解。 （7分）(2) 在

5、方程组有无穷多个解时，得同解方程组，取，得原方程组一特解； （9分）在中取，得原方程组对应齐次线性方程组的基础解系为，； （12分）所以原方程组的通解为，为任意常数。 （14分）注：此题基础解系有很多种表示形式，改卷时需注意。五（14分）、（1） 的矩阵 ； （2分）（2）因 ，,所以的秩为2； （3分）（3）由 ，得A的特征值为，。 （6分） 当时，解方程，由=，得基础解系；当时，解方程，由=，得基础解系 ； 把单位化，得， （12分）则有正交阵和正交变换 ，把化为标准形. （14分）注：此题基础解系有很多种表示形式，故正交阵有多种形式，改卷时需注意。六、证明题1、（6分）证法一：由其次线性方程组解的性质知， 都是的解； （2分） 则有, , , ， 因所以 K 可逆， 或 ，所以 K 可逆，从而 . 又因为是的一个基础解系，故它们线性无关，于是，解向量组线性无关，故是该方程组的一个基础解系。 （6分） 证法二：由其次线性方程组解的性质知， 都是的解； （2分） 设，则有， 因为是的一个基础解系，它们线性无关，故有其系数行列式为, 方程组有唯一零解，所以解向量组线性无关，故是该方程组的一个基础解系。（6分）2、证法一： 因为,所以， （1分） 则有， 故有。 （4分） 证法二：，因此 。 （3分）又因为，所以有。 （4分）