西北工业大学2005至2006学年第二学期线性代数考试试题.pdf

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1、西北工业大学西北工业大学 20052005 至至 20062006 学年第二学期线性代数考试试题学年第二学期线性代数考试试题（2006.052006.05）一、填空题（每空 3 分）1已知四阶行列式和,则的第二列元素的代数余子式的2已知是二个三维列向量，则3设方阵A A满足4已知向量组线性无关的充要条件是，则则该向量组5设6已知向量组，则的维数，为二阶方阵，且满足线性无关，向量组，则，其中，向量空间7已知 阶方阵是满足，且，则的一个特征值8 已知二次型问 应满足是正定的，二、（10 分）计算阶行列式三、（10 分）已知二阶方阵是二阶单位矩阵，是满足，其中，的伴随矩阵，求四、（15 分）已知线性

2、方程组问：为何值时，方程组有唯一解、无解、无穷多解？在无穷多解时，求通解五、（10 分）已知方阵个特征向量，求的值上的二组基：，是的伴随矩阵的一六、（10 分）已知（I），（II）（1）求：基（I）到基（II）的过渡矩阵；（2）问：是否存在非零向量，使在基（I）下的坐标x与基（II）下的坐标满足，其中？若存在，求通七、（15 分）设二次型过正交变换化为标准形八、（6 分）设，求参数分别是、及所用的正交变换矩阵，且证明的列向量组与的列向量组等价西北工业大学西北工业大学 2005-20062005-2006 学年第二学期线性代数考试试题答案学年第二学期线性代数考试试题答案一、1.42.-53.4.

3、两两互异5.（任意）6.27.-18.二、三、由得，由于，所以由上式得以可逆，故又由于，所四、可求得1)当2)当且时，时，有惟一解；，于是可见，无解；3)当时，可见时，无解；而时，有无穷多解此时，同解方程组为，通解为，即五、法法 1 1设，两边左乘得（任意），即，也即当时，解得可逆时，与又相同的特征向量于是，设，即法法 2 2当，也即解得量此时，所以也是的特征向六、(1)由于，其中，所以故由基(I)到基(II)的过渡矩阵为（2）坐标变换公式为于 当时，有，即 由同解方程组为，通解为（任意），故（任意）七、(1)二次型的矩阵于是是的特征值利用，（正交）相似于，解得于是可求得对应特征值，的特征向量分别为将正交化，再单位化得，故正交变换为，八、设，又设写成矩阵形式得，其中故，的列向量组可由由于的列向量组线性表示又由于，方程组有解，方程组向量组与有解，故的列向量组可由的列向量组线性表示从而的列的列向量组等价