西北工业大学2006至2007学年第二期线性代数考试试题.pdf

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1、西北工业大学西北工业大学 20062006 至至 20072007 学年第二期线性代数考试试题学年第二期线性代数考试试题西北工业大学西北工业大学 2006-20072006-2007 学年第二期线性代数考试试题学年第二期线性代数考试试题（2626）（2007.052007.05）一、填空题（每空 3 分）1已知 3 阶矩阵2已知阶可逆矩阵的每行元素之和为 3，则的列向量为，则，其中的通解为的一个特征值为的行列式为，则，对应的一个特征向量为3 已知线性方程组线性无关，且_4二次型，系数矩阵的秩为5 设三阶矩阵则6设方阵A A满足7 已知 阶方阵当 满足的特征值为时，矩阵，三维向量，已知与线性相关

2、，则，则是正定矩阵，二、（10 分）计算阶行列式三、（10 分）设且，求矩阵四、（14 分）当满足什么条件时，线性方程组无解、无穷多解？在无穷多解时，求通解五、（12 分）已知的两组基：有唯一解、（I），（II）（1）求由基（II）到基（I）的过渡矩阵；（2）如果在基（II）下的坐标为六、（13 分）试求一正交变换，化二次型，求在基（I）下的坐标为标准形，并回答七、（8 分）证明（1）如果（2）如果表示什么类型二次曲面且，则不可逆；，则，且是实对称矩阵，且和八、（6 分）已知阶方阵同可逆，证明与的特征值相西北工业大学西北工业大学 2006-20072006-2007 学年第二期线性代数试题（学

3、年第二期线性代数试题（2626）解答）解答一、1.；2.，；3.；4.2；5.或 0；6.7.，二、三、由得，由于所以四、可求得1)当2)当且时，有惟一解；，于是时，增广矩阵可见3)当，无解；时，增广矩阵可见时，无解；而时，有无穷多解此时，同解方程组为，通解为，即五、(1)由于，（任意），其中，所以故由基(II)到基(I)的过渡矩阵为（2）法法 1 1故在基(I)下的坐标为法法 2 2故在基(I)下的坐标为六、二次型的矩阵，可求得所以的特征值为，对应，的特征向量为它们已正交；单位化得，对应的特征向量为，单位化得，故正交变换表示单叶双曲面七、（1）由法法 1 1反证若这与法法 2 2由不可逆法法 3 3由得，化二次型为得，即可逆，上式两边右乘矛盾，故不可逆，从而齐次方程组知有非零解，故得（假设是阶方阵）又由知，于是故不可逆（2）法法 1 1由于是实对称矩阵，所以存在可逆矩阵使得利用得于是，故由于是实对称矩阵，所以法法 2 2设故有（只比较上式两边的对角元素）从而八、法法 1 1由于的特征值相同法法 2 2设乘得，即可逆，所以，即与相似，故与的特征值为，对应的特征向量为，即，两边左，即由于，上式表明也是的特征值为的特征值反之，设乘得，对应的特征向量为，即，两边左由于可逆，所以，上式表明也是的特征值故与的特征值相同