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1、3曲线与方程、抛物线1(2017江苏南通天星湖中学质检)已知点A(1,2)在抛物线F:y22px上(1)若ABC的三个顶点都在抛物线F上,记三边AB,BC,CA所在直线的斜率分别为k1,k2,k3, 求的值;(2)若四边形ABCD的四个顶点都在抛物线F上,记四边AB,BC,CD,DA所在直线的斜率分别为k1,k2,k3,k4,求的值解(1)由点A(1,2)在抛物线F上,得p2,抛物线F:y24x,设B,C,1.(2)另设D,则0.2(2017江苏赣榆中学月考)抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方
2、程;(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1y2的值及直线AB的斜率解(1)由已知条件,可设抛物线的方程为y22px.点P(1,2)在抛物线上,222p1,得p2,故所求抛物线的方程是y24x,准线方程是x1.(2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB,则kPA(x11),kPB(x21)PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,kPAkPB,由A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线上,得y4x1,y4x2,y12(y22),y1y24,由得直线AB的斜率kAB1(x1x2)3(2017江苏常州中学质检)已知点A(1,0),F(1,0),动点P满足2.(1)求动点P的轨迹C的
3、方程;(2)在直线l:y2x2上取一点Q,过点Q作轨迹C的两条切线,切点分别为M,N.问:是否存在点Q,使得直线MNl?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由解(1)设P(x,y),则(x1,y),(x1,y),(2,0),由2|,得2(x1)2,化简得y24x.故动点P的轨迹C的方程为y24x.(2)直线l方程为y2(x1),设Q(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2)设过点M的切线方程为xx1m(yy1),代入y24x,得y24my4my1y0,由16m216my14y0,得m,所以过点M的切线方程为y1y2(xx1),同理过点N的切线方程为y2y2(xx2)所以直线MN的
4、方程为y0y2(x0x),又MNl,所以2,得y01,而y02(x01),故点Q的坐标为.4(2017江苏宝应中学质检)如图,已知抛物线C:y24x的焦点为F,过F的直线l与抛物线C交于A(x1,y1)(y10),B(x2,y2)两点,T为抛物线的准线与x轴的交点(1)若1,求直线l的斜率;(2)求ATF的最大值解(1)因为抛物线y24x焦点为F(1,0),T(1,0)当lx轴时,A(1,2),B(1,2),此时0,与1矛盾,所以设直线l的方程为yk(x1),代入y24x,得k2x2(2k24)xk20,则x1x2,x1x21,所以yy16x1x216,所以y1y24,因为1,所以(x11)(x21)y1y21,将代入并整理得,k24,所以k2.(2)因为y10,所以tanATF1,当且仅当,即y12时,取等号,所以ATF,所以ATF的最大值为.