考研数学三-公式定理全套汇编.doc

.\ 专题八：公式大全 （一） 最近几天做题的过程中，越来越觉得有些公式在不同的题目之间反复使用，可谓上镜率颇大。终于又下定决心，要好好整理一下咯！ 下面将收录，我认为比较重要的部分公式。有些考的少，或者太简单的就不列出来了。相信下面的公式应该会比较有代表性。 （二） 1.当x→0时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln1+x~ex-1 当x→0时，ax-1~xlna （用e的等价变形来记） 1-cosx~12x21-cos2x~2x2 n1+x-1~1nx1+βxα-1~αβx （用1∞未定式来记） loga(1+x)~1lnax （用换底公式来记） 2. 1∞未定式通用公式：limf(x)g(x)=elim⁡g(x)∙fx-1 3.泰勒公式： fx=fx0+fx0x-x0+f ’’(x0)2!x-x02+⋯+f(n)x0n!x-x0n+f(n+1)ξ(n+1)!(x-x0)n+1 （ξ在x与x0之间） 麦克劳林公式： fx=f0+f0x+f ’’(0)2!x2+⋯+fn(0)n!xn+fn+1θx(n+1)!xn+1 （0<θ<1） 4.五个基本初等函数泰勒公式： (1)ex=1+x+12!x2+⋯+1n!xn+eθx(n+1)!xn+1 (2)sinx=x-13!x3+15!x5-⋯+-1n-1∙12n-1!∙x2n-1+-1n∙cosθx2n+1!∙x2n+1 (3)cosx=1-12!x2+14!x4-⋯+(-1)n∙12n!∙x2n+-1n+1∙cosθx2n+2!∙x2n+2 (4)1+xα=1+αx+αα-12!x2+⋯+αα-1⋯α-n+1n!xn+αα-1⋯α-nn+1!1+θxα-n-1xn+1 (5)ln1+x=x-12x2+13x3-⋯+-1n-11nxn+-1n∙xn+1n+11+θxn+1 5.定积分重要公式： ※（1）若f(x)在[-a,a]上连续，则-aaf(x)dx=0a[fx+f(-x)]dx ※（2）若f(x)在[0,a]上连续，则0af(x)dx=120a[fx+f(a-x)]dx （3）0πxf(sinx)dx=π20πfsinxdx=π0π2f(sinx)dx 6.几个重要的广义积分： ※（1）-∞+∞e-x2dx=π （主要记这一个，以下的几个自己推） （2）0+∞e-x2dx=π2 （3）-∞+∞e-x22dx=2π （4）0+∞e-x22dx= π 2 7.6种常见的麦克劳林展开式： （1）ex=n=0∞xnn! x∈-∞,+∞ （2）sinx=n=0∞-1n∙x2n+12n+1! x∈-∞,+∞ （3）cosx=n=0∞-1n∙x2n2n! x∈-∞,+∞ （4）ln1+x=n=0∞(-1)n∙xn+1n+1 x∈(-1,1] （5）(1+x)a=n=0∞αα-1⋯α-n+1n!xn x∈(-1,1) ※特别：11-x=n=0∞xn x∈(-1,1) 11+x=n=0∞-1n∙xn x∈(-1,1) （6）arctanx=n=0∞-1n∙x2n+12n+1 x∈[-1,1] 8.微分方程与差分方程的6大类： （1）一阶齐次线性微分方程 y+P(x)y=0 通解： y=Ce-P(x)dx (C=eC1) （2）一阶非齐次线性微分方程 y+Pxy=Q(x) 的通解： y=e-Pxdx(QxePxdxdx+C) （3）二阶常系数齐次线性微分方程 y’’+py’+qy=0 (p,q为常数)的通解：由特征方程 r2+pr+q=0,解出r1,r2 i. r1,r2为两个不相等的实根：y=C1er1x+C2er2x ii. r1,r2为两个相等的实根：y=(C1+C2x)er1x iii. r1,r2为一对共轭复根，r1=α+βi,r2=α-βi (α=-p2,β=4q-p22)： y=eαxC1cosβx+C2sinβx （4）二阶常系数非齐次线性微分方程 y’’+py’+qy=f(x) 的特解： ①若fx=Pm(x)eλx，则特解为 y*=xkQm(x)eλx， i.若λ不是特征方程的根，则k=0 ii.若λ是特征方程的单根，则k=1 iii.若λ是特征方程的重根，则k=2 ②若fx=eλxPlxcosωx+Pnxsinωx，则特解为 y*=xkeλxRm(1)xcosωx+Rm(2)xsinωx (m=max⁡(l,n)) i.若λ+ωi（或 λ-ωi）不是特征方程的根，则k=0 ii.若λ+ωi（或 λ-ωi）是特征方程的根，则k=1 （5）一阶常系数齐次线性差分方程 yx+1-ayx=0的特征方程为： λ-a=0 通解为： Yx=Cax （C为任意常数） （6）一阶常系数非齐次线性差分方程 yx+1-ayx=f(x)的特解为： ①若fx=Pn(x)，则特解为：yx*=xkQn(x) i.若1不是特征方程的根，则k=0 ii.若1是特征方程的根，则k=1 ②若fx=b1cosωx+b2sinωx，则特解为： yx*=Acosωx+Bsinωx （A,B为待定系数） 9.条件概率公式：PBA=PABPA 10.全概率公式： PA=PAB1PB1+PAB2PB2+⋯+PABnPBn 贝叶斯公式： PBiA=PABiPBij=1nPABjPBj i=1,2,⋯,n ※常用的两个公式： PA=PABPB+PABPB PBA=PABPBPABPB+PABPB 11. ※随机变量分布及其数字特征： 分布及数字征 离散型 分布律 期望 方差 （0-1）分布 PX=k=pk1-p1-k p p(1-p) 二项分布 PX=k=Cnkpkqn-k np npq 几何分布 PX=n=p∙qn-1 1p qp2 超几何分布 PX=k=CMkCN-Mn-kCNn nMN nMN1-MNN-nN-1 泊松分布 PX=k=λkk!e-λ λ λ 分布及数字征 连续型 概率密度 分布函数 期望 方差 均匀分布 fx=1b-a,a00,x≤0 Fx=0,x≤01-e-λx,x>0 1λ 1λ2 一般正态分布 fx=12πσe-x-μ22σ2 μ σ2 标准正态分布 φx=12πe-x22 Φx=12π-∞xe-t22dt 0 1 12.边缘分布公式： 连续型随机变量边缘分布函数：FXx=Fx,∞ , FYy=F∞,y 离散型随机变量边缘分布函数：不需要记，明白意思就能自己推 连续型随机变量概率密度：fXx=-∞+∞fx,ydy , fYy=-∞+∞fx,ydx 离散型随机变量概率密度：不需要记，明白意思就能自己推 13.两个随机变量的函数分布： i.Z=X+Y的分布 若X与Y不独立，则 fX+Yz=-∞+∞f(z-y,y)dyfX+Yz=-∞+∞f(x,z-x)dx 若X与Y独立，则 fX+Yz=-∞+∞fXz-yfY(y)dyfX+Yz=-∞+∞fXxfY(z-x)dx ii.Z=YX 的分布；Z=XY 的分布 若X与Y不独立，则 fYXz=-∞+∞xfx,xzdxfXYz=-∞+∞1xfx,zxdx 若X与Y独立，则 fYXz=-∞+∞xfXxfY(xz)dxfXYz=-∞+∞1xfX(x)fYzxdx iii.M=max{X,Y} 及 N=min{X,Y} 的分布，设X和Y相互独立 ※Fmaxz=FX(z)FYz ※Fminz=1-1-FXz[1-FYz] 14.期望及方差公式： （1）离散型随机变量期望：EX=k=1∞xkpk （2）连续型随机变量期望：EX=-∞+∞xf(x)dx （3）设Y是X的函数Y=g(X)，则 EY=Eg(X)=k=1∞g(xk)pk EY=Eg(X)=-∞+∞g(x)f(x)dx （4）设Z是二维随机变量(X,Y)的函数 Z=g(X,Y)，则 EZ=Eg(X,Y)=-∞+∞-∞+∞gx,yf(x,y)dxdy EZ=Eg(X,Y)=j=1∞i=1∞gx,ypij （5）期望的性质： i.EX+Y=EX+E(Y) ii.若X,Y不相关，则：EXY=EXE(Y) iii.附加公式：EX+Y=-∞+∞-∞+∞(x+y)f(x,y)dxdy EXY=-∞+∞-∞+∞xyf(x,y)dxdy （6）方差定义式：DX=EX-EX2 具体写成：DX=k=1∞xk-EX2pkDX=-∞+∞xk-EX2fxdx （7）※方差计算式：DX=EX2-E2X （8）方差的性质： i. DCX=C2DX , DX+C=DX ii. DXY=DX+DY2Cov(X,Y) iii.若X,Y不相关，则：DXY=DX+DY （9）切比雪夫不等式： 设随机变量X具有期望 EX=μ，方差 DX=σ2，则对任意正数ξ有：PX-μ≥ξ≤σ2ξ2 或 PX-μ<ξ≥1-σ2ξ2 （10）协方差定义式：CovX,Y=EX-EXY-EY （11）协方差计算式：CovX,Y=EXY-EXEY （12）协方差的性质： i. CovaX,bY=abCovX,Y ii. CovX1+X2,Y=CovX1,Y+CovX2,Y （13）相关系数： ρXY=CovX,YDX∙DY 从此处开始以下公式共用一个条件：X1,X2,⋯,Xn是来自总体X的简单随机样本。 15.（1）当n充分大时： k=1nxk-nμnσ~N(0,1) （2）当n充分大时，上式也可也写成： X-μσn~N0,1 或 X~N(μ,σ2n) 16.（1）样本均值： X=1ni=1nXi ※（2）样本方差： S2=1n-1i=1nXi-X2=1n-1i=1nXi2-nX2 16.χ2分布：总体X~N(0,1)，则 χ2=X12+X22+⋯+Xn2 记作：χ2~χ2(n) E(χ2)=n , Dχ2=2n χ2n1+χ2n2=χ2n1+n2 17.t分布：设 X~N(0,1)，Y~χ2(n)，则 t=XYn记作：t~t(n) 若 t~t(n)，则：t2~F1,n 18.F分布：设 X~χ2(n1)，Y~χ2(n2)，且X与Y相互独立，则 F=Xn1Yn2 记作：F~Fn1,n2 若 F~Fn1,n2，则 1F~Fn2,n1 特例：若X~N(0,1)，Y~N(0,1) 则 X2Y2~F(1,1) ※19.九个最常见的统计量： EX=μ , DX=σ2n , ES2=σ2 X~Nμ,σ2n , X-μσn=nX-μσ~N(0,1) i=1nXi-μ2σ2~χ2(n) n-1S2σ2=i=1nXi-Xσ2~χ2(n-1) X-μSn=nX-μS~t(n-1) nX-μ2S2~F1,n-1 20.施密特正交化公式： β1=α1 β2=α2-β1,α2β1,β1β1 β3=α3-β1,α3β1,β1β1-β2,α3β2,β2β2 ⋯ βr=αr-β1,αrβ1,β1β1-β2,αrβ2,β2β2-⋯-βr-1,αrβr-1,βr-1βr-1