2018版数学《学案导学与随堂笔记》人教B版选修4-4讲义：第二讲 参数方.docx

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1、2.3圆锥曲线的参数方程2.3.1椭圆的参数方程2.3.2抛物线的参数方程1.椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆1(ab0)的参数方程是_(0t2)t的意义是参数t是椭圆上一点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角(称为点M的离心角).(2)中心不在原点，而在点(x0，y0)处椭圆的参数方程为0t2 .2.抛物线的参数方程抛物线y22px的参数方程为_t(，)，参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线斜率的倒数.【思维导图】【知能要点】1.椭圆的参数方程.2.抛物线的参数方程.知识点1椭圆的参数方程1.和圆的参数方程中的参数是半径OM的旋转角不同，椭圆参数方程中

2、的参数是椭圆上点M的离心角.2.椭圆1 (ab0)的参数方程为(02).【例1】 已知A、B分别是椭圆1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求ABC的重心G的轨迹的普通方程.解：由动点C在该椭圆上运动，故据此可设点C的坐标为(6cos ，3sin )，点G的坐标为(x，y)，则由题意可知点A(6，0)，B(0，3).由重心坐标公式可知由此消去得到(y1)21即为所求.【反思感悟】 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.1.设F1，F2分别为椭圆C：1 (ab0)的左、右焦点.(1)若椭圆C上的点A到F1，F2距离之和等于4，写出椭圆C的

3、方程和焦点坐标；(2)设P是(1)中椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程.解：(1)由椭圆上点A到F1，F2的距离之和是4，得2a4，即a2.又点A在椭圆上，因此1，得b23，于是c2a2b21，所以椭圆C的方程为1，焦点坐标为F1(1，0)，F2(1，0).(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cos ，sin )，线段F1P的中点坐标为(x，y)，则x，y，所以xcos ，sin .消去，得1，这就是线段F1P的中点的轨迹方程.知识点2抛物线的参数方程抛物线的参数方程 (t为参数)，由于，因此t的几何意义是抛物线的点(除顶点外)与抛物线的顶点连线的斜率的倒数.【例2】 设飞机以匀速v1

4、50 m/s做水平飞行，若在飞行高度h588 m处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度，重力加速度g9.8m/s2).(1)求炸弹离开飞机后的轨迹参数方程；(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标(结果保留整数).解：(1)如图所示，A为投弹点，坐标为(0，588)，B为目标，坐标为(x0，0).记炸弹飞行的时间为t，在A点t0.设M(x，y)为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t，炸弹初速度v0150 m/s，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得 (g9.8 m/s2)，即这是炸弹飞行曲线的参数方程.(2)炸弹飞行到地面目标B处的时间t0满足方程y0，即5884.9t2

5、0，解得t02(s).由此得x015023001 643 (m).即飞机在离目标约1 643 m(水平距离)处投弹才能击中目标.【反思感悟】 准确把握题意，分析物理学中运动过程，选择适当的坐标系及变量，将物理问题转化为数学问题.利用抛物线的参数方程解决.2.若不计空气阻力，炮弹运行轨道是抛物线，测得我炮位A与炮击目标B在同一水平线上，水平距离为6 000 m，炮弹运行的最大高度为1 200 m，求炮弹的发射角和发射初速度v0(重力加速度g9.8 m/s2).解：在以A为原点，直线AB为x轴的直角坐标系中，炮弹方程是(t为参数)，它经过最高点(3 000，1 200)和点B(6 000，0)的时

6、间分别为t0和2t0，代入参数方程得消去t0，得解得：38.7，v07(m/s).知识点3利用参数方程求圆锥曲线相交弦问题利用直线或圆锥曲线方程中参数的意义，求解有关相交弦问题更简洁，易于计算.【例3】 已知直线l：(t为参数)与椭圆1交于A，B两点，求|AB|及P(1，2)到A，B两点的距离之积与之和.将代入1中，得tA1，tB0，|AB|tAtB|5，|PA|tA|5，|PB|tB|0.|PA|PB|0，|PA|PB|055.【反思感悟】(1)注意利用直线参数方程的一般形式(t为参数)求弦长时，弦长l|t2t1|.(2)在直线参数方程中，如果直线上的点M1，M2所对应的参数值分别为t1和t

7、2，则线段M1M2的中点所对应的参数值为t中(t1t2).3.已知曲线C：1，直线l：(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.解：(1)曲线C的参数方程为(为参数).直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos，3sin)到l的距离为d|4cos3sin6|，则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan.当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.课堂小结1.椭圆和双曲线的参数方程中，参数的几何意义都是曲线上点

8、M的离心角；抛物线参数方程中参数t的几何意义是抛物线上的点(除顶点外)和顶点连线斜率的倒数.2.圆锥曲线的参数方程可以有不同的形式，求曲线的参数方程可根据具体问题选取角度、长度、斜率、时间等作为参数.随堂演练1.化下列参数方程为普通方程，并作出曲线的草图.(为参数).解：由y2(sin cos )21sin2 12x得y22x1.sin 2，x.sin cos ，y.故所求普通方程为y22，图形为抛物线的一部分，如图所示. 2.如图所示，过不在椭圆1上的任一点P作两条直线l1，l2分别交椭圆于A，B和C，D四点，若l1，l2的倾斜角为，且满足.求证：A，B，C，D四点共圆.证明：设P(x0.y

9、0)，直线l1：(t为参数)，直线l2(p为参数)，分别代入椭圆方程得(b2cos2a2sin2)t22(b2x0cos a2y0sin )tb2xa2ya2b20；(b2cos2a2sin2)p22(b2x0cos a2y0sin )pb2xa2ya2b20.，cos2cos2 ，sin2sin2，t1t2p1p2，即|PA|PB|PC|PD|.由平面几何知识知，A，B，C，D四点共圆.基础达标1.椭圆(为参数)，若0，2，则椭圆上的点(a，0)对应的()A. B. C.2 D.答案：A解析：将(a，0)代入参数方程，得0，2，.2.下列在曲线(为参数)上的点是()A. B.C.(2，) D

10、.(1，)答案：B解析：转化为普通方程：y21x (|y|)，把选项A、B、C、D代入验证得，选B.3.P(x，y)是曲线(为参数)上任意一点，则(x5)2(y4)2的最大值为()A.36 B.6 C.26 D.25答案：A解析：借助于曲线的参数方程，(x5)2(y4)2(cos3)2(sin4)26cos8sin2610sin()26，sin()1，1，(x5)2(y4)2的最大值为36.4.曲线与x轴交点的坐标是_.答案：(1，0)，(5，0)解析：将曲线的参数方程化为普通方程：(x2)29(y1)，令y0，得x1或x5.5.过抛物线(t为参数)的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(

11、x2，y2)两点，如果x1x26.则|AB|_.答案：8解析：把参数方程化为普通方程为y24x，p2，|AB|x1x2p628.6.在椭圆1上找一点，使这一点到直线x2y120的距离的最小值.解：设椭圆的参数方程为d|cos sin 3|当cos1时，dmin，此时所求点为(2，3).综合提高7.若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线 (t为参数)上，则|PF|等于()A.2 B.3 C.4 D.5答案：C解析：抛物线为y24x，准线为x1，|PF|为P(3，m)到准线x1的距离，即为4.8.椭圆(为参数)的焦距为()A. B.2 C. D.2答案：B解析：由椭圆的参数方程知：a5，b2，c.

12、2c2 9.二次曲线 (是参数)的左焦点的坐标是_.答案：(4，0)解析：题中二次曲线的普通方程为1左焦点为(4，0).10.在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为(cos sin )2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为_.答案：(2，4)解析：将极坐标方程、参数方程转化为普通方程，联立求得交点坐标，或只将直线的极坐标方程转化为普通方程，再把曲线的参数方程代入直线的普通方程求交点坐标.由(cos sin )2得xy2.法一：由得y28x，联立得即交点坐标为(2，4).法二：把代入xy20得t22t20，解得

13、t，即交点坐标为(2，4).11.设抛物线y24x有内接OAB，其垂心恰为抛物线的焦点，求这个三角形的周长.解：抛物线y24x的焦点为F(1，0)，F为OAB的垂心，所以x轴AB，A、B关于x轴对称.设A(4t2，4t)(t0)，则B(4t2，4t)，所以kAF，kOB.因为AFOB，所以，kAFkOB1.所以t2，由t0得t，所以A(5，2)，B(5，2)，所以|AB|4，|OA|OB|3，这个三角形的周长为10.12.(创新拓展)过点M(3，2)作椭圆1的弦.(1)求以M为中心的弦所在直线的方程；(2)如果弦的倾斜角不大于90，且M到此弦的中心距离为1，求此弦所在直线的方程.解：(1)设过点M(3，2)的直线参数方程为(t为参数为倾斜角)将其代入椭圆方程得t2(16cos225sin2)2t(16cos 25sin )3590.M为弦的中点，tM0.16cos 25sin 0，得tan .故此弦所在直线的方程为16x25y980.(2)点M到弦中点的距离为|，且0，1，即16cos 25sin 16cos225sin2.cos cos2，sin sin2，等式成立的充要条件是cos cos2，且sin sin2，从而倾斜角只能为0到90，故此时过点M(3，2)的弦所在直线的方程分别为y2或x3.