2018版数学《学案导学与随堂笔记》人教B版选修4-4讲义：第二讲 参数方程一 第1.docx

《2018版数学《学案导学与随堂笔记》人教B版选修4-4讲义：第二讲 参数方程一 第1.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版数学《学案导学与随堂笔记》人教B版选修4-4讲义：第二讲 参数方程一 第1.docx（14页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、【综合评价】参数方程是以参变量为中介来表示曲线上的点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式.某些曲线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数方程有助于学生进一步体会数学方法的灵活多变，提高应用意识和实践能力.【学习目标】1.通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义.2.分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程.3.举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性.4.借助教具或

2、计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹(摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.5.了解摆线在实际中应用的实例(例如，最速降线是平摆线，椭圆是特殊的内摆线卡丹转盘，圆摆线齿轮与渐开线齿轮，收割机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计，星形线与公共汽车门)；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用.2.1曲线的参数方程2.1.1抛射体的运动2.1.2曲线的参数方程1.参数方程的概念(1)设在平面上取定了一个直角坐标系xOy，把坐标x，y表示为第三个变量t的函数. atb.(*)如果对于t的每一个值(atb)，(*)式所确定的点M(

3、x，y)都在一条曲线上；而这条曲线上的任一点M(x，y)，都可由t的某个值通过(*)式得到，则称(*)式为该曲线的参数方程，其中变量t称为参数.如果能从参数方程中消去参数t，就得到联系x和y的方程F(x，y)0，而且这个方程的每一组解(x，y)都可从t的某个值通过(*)式得到，则方程F(x，y)0就是这条曲线的直角坐标方程(即普通方程).(2)参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.【思维导

4、图】【知能要点】1.参数方程的概念.2.求曲线的参数方程.3.参数方程和普通方程的互化.知识点1参数方程及其求法1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x，y间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值.2.求曲线参数方程的主要步骤：第一步，画出轨迹草图.设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的

5、关系.第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数惟一确定.第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.【例1】 如图所示，OB是机器上的曲柄，长是r，绕点O转动，AB是连杆，M是AB上一点，MAa，MBb，(2r0)，取NOQ为参数，设动点P(x，y).在RtOQN中，|OQ|，|OP|OQ|，xOP，x|OP|coscosd，y|OP|sinsin.知识点2参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去

6、参数方程中的参数即可，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型.由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M的坐标x，y和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数.【例2】 已知某条曲线C的参数方程为(其中t是参数，aR)，点M(5，4)在该曲线上.(1)求常数a；(2)求曲线C的普通方程.解：(1)由题意可知有故a1.(2)由已知及(1)可得，曲线C的方程为由第一个方程得t代入第二个方程，得y，即(x1)24y为所求.【反思感悟】 参数方程化为普通方程时，求参数的表达式应从简单的有唯一结论的式子入手，易于代入消参.2.把下列参数方程

7、化为普通方程解：由已知得由三角恒等式sin2 cos2 1，可知(x3)2(y2)21这就是所求的普通方程.【例3】 将下列参数方程化成普通方程.(1)(2)(3)解：(1)由x，得t.代入y化简得y(x1).(2)由x2yt1得tx2y1，代入yt2t1化简得x24xy4y2x3y10.(3)将ypt的两边平方得y2p2t22p2p2p2，以xpt2代入上式，得y2p(x2p).【反思感悟】 消去参数的方法一般有三种：(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；(2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数.将参数方程化为普通

8、方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围.3.选取适当参数，把直线方程y2x3化为参数方程.解：法一：选tx，则y2t3，由此得直线的参数方程(tR).法二：选tx1，则y2t1，参数方程为(tR).课堂小结1.求轨迹的参数方程，可以通过对具体问题的分析，选择恰当的参数，建立参数方程.2.曲线的参数方程和普通方程可以互化，两种方程具有等价性.3.曲线上点的坐标如果需要单独表示，使用参数方程比较方便.随堂演练1.如图所示，OA是圆C的直径，且OA2a，射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQOA，

9、PBOA，试求点P的轨迹方程.解：设P(x，y)是轨迹上任意一点，取DOQ，由PQOA，PBOA，得xODOQcos OAcos22acos2yABOAtan 2atan P点轨迹的参数方程为 ，由于tan2 1代入消得点P轨迹的普通方程为y24a2.2.将下列曲线的参数方程化为普通方程，并指明曲线的类型.(1)(为参数，a，b为常数，且ab0)；(2) (为参数，a，b为正常数)；(3)(t为参数，p为正常数).解：(1)由cos2sin21，得1 (ab0)，它表示的曲线是椭圆.(2)由已知，tan ，由1tan2 ，有1，它表示的曲线是双曲线.(3)由已知t，代入x2pt2得2px，即y

10、22px它表示的曲线是抛物线.3.两曲线的参数方程为 (为参数)和(t为参数)，求它们的交点坐标.解：将两曲线的参数方程化为普通方程，得1，yx (x0).联立解得它们的交点坐标为.4.如图所示，设矩形ABCD的顶点C坐标为(4，4)，点A在圆x2y29(x0，y0)上移动，且AB、AD两边分别平行于x轴、y轴.求矩形ABCD面积的最小值及对应点A的坐标.解：设点A坐标为(x0，y0)，B点坐标(4，y0)，D点坐标(x0，4).则矩形面积SABAD(4x0)(4y0)164(x0y0)x0y0.因为点A在x2y29上，所以x03cos ，y3sin ，则S1612(sin cos )9sin

11、 cos .令tsin cos ，t，).则sin cos .S1612t(t21)t212t.又对称轴t0.故A不对.B中，x0，0y1，故B不对.C中，1x1，故C不对，所以只能选D.3.参数方程表示的曲线是()A.双曲线x2y21B.双曲线x2y21的右支C.双曲线x2y21，但x0，y0D.以上结论都不对答案：D解析：平方相减得x2y21，但x，y1.4.动点M作等速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M位于A(1，1)，则点M的参数方程为_.答案：解析：以时间t为参数，则5.将参数方程化成普通方程为_.答案：x212y (|x|)解析：应用三角变形消去，

12、同时注意到|x|.6.已知曲线C的参数方程为(t为参数，t0)求曲线C的普通方程.解：x2t2，x22t.曲线C的普通方程为3x2y60(y6).综合提高7.已知曲线C的参数方程为(为参数，2).已知点M(14，a)在曲线C上，则a()A.35 B.35C.3 D.3答案：A解析：146，cos ，a5tan35()353，故选A.8.直线l的参数方程为(t为参数)，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P(a，b)之间的距离为()A.|t1| B.2|t1| C.|t1| D.|t1|答案：C解析：点P1对应的点的坐标为(at1，bt1)，|PP1|t1|.9.物体从高处以初速度v0(m/

13、s)沿水平方向抛出，以抛出点为原点，水平直线为x轴，物体所经路线的参数方程为_.答案：(t为参数)解析：设物体抛出的时刻为0 s，在时刻t s时其坐标为M(x，y)，由于物体作平抛运动，依题意，得(t为参数)这就是物体所经路线的参数方程.10.以过点A(0，4)的直线的斜率k为参数，将方程4x2y216化成参数方程是_.答案：解析：设直线为ykx4，代入4x2y216化简即可.11.在长为a的线段AB上有一个动点E，在AB的同侧以AE和EB为斜边，分别作等腰直角三角形AEC和EBD，点P是CD的定比分点，且CPPD21，求点P的轨迹.解：建立如图所示坐标系(设C、D在x轴上方).设E(t，0)

14、(t为参数，t0，a)，B(a，0)，则点C的坐标为，点D的坐标为.CPPD21，即2.由定比分点公式，有t0，a，这就是点P运动轨迹的参数方程.12.(创新拓展)已知圆的极坐标方程为24cos()60.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点P(x，y)在该圆上，求xy的最大值和最小值.解：(1)由24cos()60得24cos 4sin 60，即x2y24x4y60为所求，由圆的标准方程(x2)2(y2)22，令x2cos ，y2sin ，得圆的参数方程为(为参数).(2)由上述可知xy4(cos sin )42sin()，故xy的最大值为6，最小值为2.