北京市人大附中高三数学尖子生专题训练：圆与方程.doc

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1、北京市人大附中高三数学尖子生专题训练：圆与方程I 卷一、选择题1圆的方程为x2y26x8y0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，那么四边形ABCD的面积为()A10 B20 C30 D40【答案】B2 圆的方程是(xcosq)2+(ysinq)2= ,当q从0变化到2p时，动圆所扫过的面积是 ( ABpCD【答案】A3圆上两点、关于直线对称，那么圆的半径为 A9B3CD2【答案】B4与直线xy40和圆x2y22x2y0都相切的半径最小的圆的方程是()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)24C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)24【答案】A5假设直线经过圆的圆

2、心，那么的最小值是 ( ABC4D2【答案】C6设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，那么两圆心的距离|C1C2|()A4B4 C8D8【答案】C7直线l1：(k3)x(4k)y10与l2：2(k3)x2y30平行，那么k的值是()A1或3B1或5C3或5D1或2【答案】C8假设直线过圆的圆心,那么a的值为 ( A1B1C 3D 3【答案】B解析: 因为圆的圆心为-1,2，由直线过圆的圆心得：a=1.该题简单的考查直线与圆的位置关系，是简单题。9直线l过点(2,0)，当直线l与圆x2y22x有两个交点时，其斜率k的取值范围是()A(2，2) B(，)C D【答案】C10假设直线

3、3xya0过圆x2y22x4y0的圆心，那么a的值为()A1B1C3D3【答案】B11圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A(2,3) B(2,3)C(2，3) D(2，3)【答案】D12两圆相交于两点(1,3)和(m,1)，两圆的圆心都在直线xy0上，那么mc的值是()A1B2C3D0【答案】C13圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A(2,3)B(2,3)C(2，3)D(2，3)【答案】D14直线的位置关系是A相切B相交C相离D不能确定【答案】AII卷二、填空题15在平面直角坐标系xOy中，圆x2y24上有且仅有四个点到直线12x5yc0的距离为1，那么实数c的取值范围是_【答案】(13,

4、13)16点A(1,1)和圆C：x2y210x14y700，一束光线从点A出发，经过x轴反射到圆周C的最短路程是_【答案】817圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，那么C的方程为_【答案】(x2)2y21018过点的直线与圆C：相交的弦长为，那么圆C的圆心坐标是_ , 直线的斜率为 .【答案】-2，0； 19 AC、BD为圆O：x2y24的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，)，那么四边形ABCD的面积的最大值为_. 【答案】520假设a，b，c是直角ABC的三边的长(c为斜边)，那么圆M：x2y24截直线l：axbyc0所得的弦长为_【答案】2三、解答题21在平面直角坐标系xO

5、y中，圆C1：(x3)2(y1)24和圆C2：(x4)2(y5)24.(1)判断两圆的位置关系，并求连心线的方程；(2)求直线m的方程，使直线m被圆C1截得的弦长为4，被圆C2截得的弦长为2.【答案】(1)圆C1的圆心C1(3,1)，半径r12；圆C2的圆心C2(4,5)，半径r22.C1C2r1r2，两圆相离，连心线所在直线方程为：4x7y190.(2)直线m的斜率显然存在直线m被圆C1截得弦长为4.直线m过圆C1的圆心C1(3,1)设直线m的方程为y1k(x3)C2(4,5)到直线m的距离：d，k直线方程为y1(x3)22 动圆()被轴所截的弦长为2，被轴分成两段弧，且弧长之比等于，(其中

6、点为圆心，为坐标原点)(1)求所满足的关系；(2)点在直线上的投影为A,求事件“在圆内随机地投入一点，使这一点恰好落在内的概率的最大值。【答案】1由题意知： 所以得到 (2点到直线 的距离 得出所以点坐标是所以 那么，圆的面积是所以令，因为，所以所以当时，取到最大值，即当时，事件“在圆内随机地投入一点，使这一点恰好落在内的概率的最大为23平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖()试求圆的方程()假设斜率为1的直线与圆C交于不同两点满足,求直线的方程【答案】()由题意知此平面区域表示的是以构成的三角形及其内部,且是直角三角形,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是,所

7、以圆的方程是 ()设直线的方程是:因为,所以圆心到直线的距离是,即解得: 所以直线的方程是: 24过点A0，1，且方向向量为，相交于M、N两点.(1求实数的取值范围；(2求证：；(3假设O为坐标原点，且. 【答案】1由.25在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)x22xb(xR)的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论【答案】(1)令x0，得抛物线过点(0，b)令f(x)0，得x22xb0.由题意应有b0且44b0.b1且b0.(2)设圆的方程为x2y2DxEyF0.令

8、y0，得x2DxF0.这与x22xb0是同一个方程，D2，Fb.令x0，得y2EyFb.b2EbFFb，Eb1.圆C的方程为x2y22xbyyb0.(3)圆C过定点，证明如下：假设圆C过定点(x0，y0)，(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程并变形为xy2x0y0b(1y0)0.为了使上述方程对所有满足b1(b0)的b都成立，必须有，解得或经验证：点(0,1)，(2,1)均在圆C上，因此圆C过定点26以点C (tR，t0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点(1)求证：AOB的面积为定值；(2)设直线2xy40与圆C交于点M、N，假设OMON，求圆C的

9、方程；(3)在(2)的条件下，设P、Q分别是直线l：xy20和圆C的动点，求PBPQ的最小值及此时点P的坐标【答案】(1)由题设知，圆C的方程为(xt)22t2，化简得x22txy2y0，当y0时，x0或2t，那么A(2t,0)；当x0时，y0或，那么B，SAOBOAOB|2t|4为定值(2)OMON，那么原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，那么CHMN，C、H、O三点共线，那么直线OC的斜率k，t2或t2.圆心为C(2,1)或C(2，1)，圆C的方程为(x2)2(y1)25或(x2)2(y1)25，由于当圆方程为(x2)2(y1)25时，直线2xy40到圆心的距离dr，此时不满足直线与

10、圆相交，故舍去，圆C的方程为(x2)2(y1)25.(3)解点B(0,2)关于直线xy20的对称点为B (4，2)，那么PBPQPBPQBQ，又B到圆上点Q的最短距离为BCr32所以PBPQ的最小值为2，直线BC的方程为yx，那么直线BC与直线xy20的交点P的坐标为27 过点,且与:关于直线对称.(1求的方程；(2设为上的一个动点,求的最小值；(3过点作两条相异直线分别与相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行?请说明理由.【答案】(1)设圆心,那么,解得那么圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为(2)设,那么,且=,所以的最小值为(可由线性规划或三角代换求得)

11、(3)由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,由,得 因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得 同理,所以= 所以,直线和一定平行28中，AB=AC, D是外接圆劣弧上的点不与点A,C重合，延长BD至E。(1求证：AD的延长线平分CDE；(2假设BAC=，ABC中BC边上的高为2+，求外接圆的面积。 【答案】如图，设F为AD延长线上一点A，B，C，D四点共圆，CDF=ABC又AB=AC ABC=ACB,且ADB=ACB, ADB=CDF,对顶角EDF=ADB, 故EDF=CDF,即AD的延长线平分CDE (设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H,那么AHBC连接OC,A由题意OAC=OCA=150, ACB=750,OCH=600设圆半径为r,那么r+r=2+,解得r=2,外接圆的面积为4。