北京市人大附中高三数学尖子生专题训练：点、直线、平面之间的位置.doc

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1、北京市人大附中高三数学尖子生专题训练：点、直线、平面之间的位置关系I 卷一、选择题1、表示直线，、不正确的选项是 A假设那么B假设那么C假设那么D假设那么【答案】D2设P表示一个点，a、b表示两条直线，、Pa，PaabP，baab，a，Pb，Pbb，P，PPbABCD【答案】D3平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，那么以下四种位置关系中，不一定成立的是()AABmBACmCABDAC【答案】D4m是平面的一条斜线，点A，l为过点A的一条动直线，那么以下情形可能出现的是()Alm，lBlm，lClm，lDlm，l【答案】C5直线平面假设且那么假设且那么假设且那么假设且那

2、么【答案】A6A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面【答案】D7 点P在直线上，直线在平面内可记为 ( )AP，BP，CP，DP，【答案】A8A假设B假设，那么C假设，那么D假设一直线上有两点在平面外，那么直线上所有点在平面外【答案】D9设，是两条不同的直线， 假设，那么； 假设，那么； 假设，那么； 假设，那么.A和B和C和D和【答案】A10 a，b是两条不重合的直线， A ，那么 B a，那么C ，那么 D当，且时，假设，那么【答案】C11

3、三条直线a,b,c和平面，那么以下推论中正确的选项是 A假设a/b,b,那么B，b/，那么a/bC假设共面，那么D，那么a/b【答案】C12假设a、b是空间两条不同的直线，、是空间的两个不同的平面，那么a的一个充分条件是()Aa，Ba，Cab，bDa，【答案】DII卷二、填空题13 三个平面两两相交，且三条交线互相平行，那么这三个平面把空间分成_个局部【答案】714 假设为一条直线， ； ； ； .填写序号【答案】15互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；假设平面平面，那么平面内任意一条直线m平面；假设平面与平面的交线为m，平面内的直线n直线m，那么直线n平面；假设平

4、面内的三点A，B，C到平面的距离相等，那么.【答案】116如图132，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OAOB2，OC3，D为四面体OABC图132不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形；不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥；存在点D，使CD与AB垂直并且相等；存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上【答案】17在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，那么表示直线GH、MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)【答案】18 在各个面都是正三角形的四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中成立的是_(填

5、序号)BC平面PDF；DF平面PAE；平面PDF平面ABC；平面PAE平面ABC.【答案】三、解答题19如图，在空间四边形ABDP中，AD，AB，ABAD，PD，且PDADAB，E为AP中点(1)请在BAD的平分线上找一点C，使得PC平面EDB；(2)求证：ED平面EAB.【答案】(1)设BAD的平分线交BD于O，延长AO，并在平分线上截取AOOC，那么点C即为所求的点证明：连接EO、PC，那么EO为PAC的中位线，所以PCEO，而EO平面EDB，且PC平面EDB，PC平面EDB.(2)PDAD，E是边AP的中点，DEPA又PD(平面ABD)，PDAB，由ADAB，AB平面PAD，而DE平面P

6、AD，ABDE由及ABPAA得DE平面EAB.20一个多面体的直观图及三视图如下列图：(其中M、N分别是AF、BC的中点)(1)求证：MN平面CDEF；(2)求多面体ACDEF的体积【答案】由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADEBCF，且ABBCBF2，DECF2，CBF(1)证明：取BF的中点G，连结MG、NG，由M、N分别为AF、BC的中点可得，NGCF，MGEF，平面MNG平面CDEF，又MN平面MNG，MN平面CDEF.(2)取DE的中点H.ADAE，AHDE，在直三棱柱ADEBCF中，平面ADE平面CDEF，平面ADE平面CDEFDE.AH平面CDEF.多面体ACD

7、EF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在ADE中，AHS矩形CDEFDEEF4，棱锥ACDEF的体积为VS矩形CDEFAH421如图，在四面体ABOC中，OCOA，OCOB，AOB120，且OAOBOC1.(1)设P为AC的中点，证明：在AB上存在一点Q，使PQOA，并计算的值(2)求二面角OACB的平面角的余弦值【答案】解法一：(1)证明：在平面OAB内作ONOA交AB于N，连结NC.又OAOC，OA平面ONC.NC平面ONC，OANC.取Q为AN的中点，那么PQNC.PQOA.在等腰AOB中，AOB120，OABOBA30.在RtAON中，OAN30.ONANAQ.在ONB中，NO

8、B1209030NBO，NBONAQ.3.(2)连结PN、PO.由OCOA，OCOB知：OC平面OAB.又ON平面OAB，OCON.又由ONOA知：ON平面AOC.OP是NP在平面AOC内的射影在等腰RtCOA中，P为AC的中点，ACOP.根据三垂线定理，知：ACNP.OPN为二面角OACB的平面角在等腰RtCOA中，OCOA1，OP在RtAON中，ONOAtan30在RtPON中，PN，cosOPN解法二：(1)证明：取O为坐标原点，分别以OA，OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz(如下列图)那么A(1,0,0)，C(0,0,1)，B(，0)P为AC中点，P(，0，)设(0

9、,1)，(，0)，(1,0,0)(，0)(1，0)(，)PQOA，0，即0，存在点Q(，0)使得PQOA且3.(2)记平面ABC的法向量为n(n1，n2，n3)，那么由n，n，且(1,0，1)，得故可取n(1，1)又平面OAC的法向量为e(0,1,0)，cosn，e二面角OACB的平面角是锐角，记为，那么cos22如图，长方体底面为正方形，为线段的中点，为线段的中点. (求证：平面；(设的中点，当的比值为多少时，并说明理由.【答案】I为线段的中点，为线段的中点， , 面. (II当时， 矩形为正方形，为的中点， 23如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，点D是AB的中点(1)求证：C

10、D平面A1ABB1；(2)求证：AC1平面CDB1.【答案】(1)ABCA1B1C1是直三棱柱，平面ABC平面A1ABB1，ACBC，点D是AB的中点，CDAB，平面ABC平面A1ABB1AB，CD平面A1ABB1.(2)连接BC1，设BC1与B1C的交点为E，连接DE，那么E为BC1的中点D是AB的中点，E是BC1的中点，DEAC1.DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1.24如下列图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBB1BC，AC1平面A1BD，D为AC的中点(1)求证：B1C平面A1BD；(2)求证：B1C1平面ABB1A1；(3)在CC1上是否存在一点E，使得B

11、A1E45，假设存在，试确定E的位置，并判断平面A1BD与平面BDE是否垂直？假设不存在，请说明理由【答案】(1)连结AB1与A1B相交于M，那么M为A1B的中点连结MD，又D为AC的中点，B1CMD，又B1C平面A1BD，MD平面A1BD，B1C平面A1BD.(2)ABB1B，平行四边形ABB1A1为正方形，A1BAB1.又AC1平面A1BD，AC1A1B，A1B平面AB1C1，A1BB1C1.又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1B1C1，B1C1平面ABB1A1.(3)设ABa，CEx，B1C1A1B1，在RtA1B1C1中有A1C1a，同理A1B1a，C1Eax，A1E，BE，在A1

12、BE中，由余弦定理得BE2A1B2A1E22A1BA1Ecos45，即a2x22a2x23a22ax2a，2ax，xa，即E是C1C的中点，D、E分别为AC、C1C的中点，DEAC1.AC1平面A1BD，DE平面A1BD.又DE平面BDE，平面A1BD平面BDE.25四棱锥PABCD的直观图和三视图如下列图，E是PB的中点(1)求三棱锥CPBD的体积；(2)假设F是BC上任一点，求证：AEPF；(3)边PC上是否存在一点M，使DM平面EAC，并说明理由【答案】(1)由该四棱锥的三视图可知，四棱锥PABCD的底面是边长为2和1的矩形，侧棱PA平面ABCD，且PA2，VCPBDVPBCD122(2

13、)证明：BCAB，BCPA，ABPAA.BC平面PAB，BCAE，又在PAB中，PAAB，E是PB的中点，AEPB.又BCPBB，AE平面PBC，且PF平面PBC，AEPF.(3)存在点M，可以使DM平面EAC.连结BD，设ACBDO，连结EO.在PBD中，EO是中位线PDEO，又EO平面EAC，PD平面EAC，PD平面EAC，当点M与点P重合时，可以使DM平面EAC.26如图(1)所示，在直角梯形ABCP中，BCAP，ABBC，CDAP，ADDCPD2.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将PDC折起，使平面PDC平面ABCD(图(2) (1)求证：AP平面EFG；(2)在线段PB上确定一点Q，使PC平面ADQ，试给出证明【答案】(1)证明E、F分别是PC，PD的中点，EFCDAB.又EF平面PAB，AB平面PAB，EF平面PAB.同理：EG平面PAB.平面EFG平面PAB.又AP平面PAB，AP平面EFG.(2)解取PB的中点Q，连结AQ，QD，那么PC平面ADQ.证明如下：连结DE，EQ，E、Q分别是PC、PB的中点，EQBCAD.平面PDC平面ABCD，PDDC，PD平面ABCD.PDAD，又ADDC，AD平面PDC.ADPC.在PDC中，PDCD，E是PC的中点DEPC，PC平面ADEQ，即PC平面ADQ.