2022年高考文科数学复习专题-极坐标与参数方程 .pdf

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1、第 1 页 共 9 页1曲线的极坐标方程(1) 极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O ，自点 O引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向( 通常取逆时针方向为正方向) ，这样就建立了一个极坐标系其中，点O称为 极点 ，射线 Ox称为 极轴 (2) 极坐标 ( ， ) 的含义：设M是平面上任一点，表示OM的长度，表示以射线Ox为始边，射线OM 为终边所成的角那么，有序数对( ，) 称为点 M的极坐标显然，每一个有序实数对 ( ，) ，决定一个点的位置其中 称为点 M的极径 ，称为点M的极角 极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是

2、一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对 ( ， ) ，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的(3) 曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上的任意一点的极坐标满足方程f( ， ) 0，并且坐标适合方程f( ， ) 0 的点都在曲线C上，那么方程f ( ， ) 0 叫做曲线C的极坐标方程2直线的极坐标方程(1) 过极点且与极轴成0角的直线方程是0和 0，如以下图所示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页第 2 页 共 9 页(2) 与极轴垂直且与极轴交于点(a ，0) 的直线的极

3、坐标方程是cos a，如以下图所示(3) 与极轴平行且在x 轴的上方， 与 x 轴的距离为a 的直线的极坐标方程为sin a，如以下图所示3圆的极坐标方程(1) 以极点为圆心，半径为r 的圆的方程为 r ，如图 1 所示(2) 圆心在极轴上且过极点，半径为r 的圆的方程为2rcos_ ，如图 2 所示(3) 圆心在过极点且与极轴成2的射线上，过极点且半径为r 的圆的方程为 2rsin_ ，如图 3 所示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页第 3 页 共 9 页4极坐标与直角坐标的互化假设极点在原点且极轴为x 轴的正半轴

4、，则平面内任意一点M的极坐标M(， ) 化为平面直角坐标M(x，y) 的公式如下：x cos ，y sin 或者 x2y2，tan yx，其中要结合点所在的象限确定角 的值1曲线的参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y 都是某个变数t的函数，即x f t ，y gt ，并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y) 都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数2常见曲线的参数方程(1) 过定点 P(x0，y0) ，倾斜角为 的直线：xx0tcos ，yy0tsin (t 为参数 ) ，精选学习资料

5、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页第 4 页 共 9 页其中参数 t 是以定点P(x0，y0) 为起点，点M(x，y) 为终点的有向线段PM的数量，又称为点 P与点 M间的有向距离根据 t 的几何意义，有以下结论：设A，B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和 tB，则 |AB| |tBtA| tBtA24tAtB；线段 AB的中点所对应的参数值等于tA tB2. (2) 中心在 P(x0，y0) ，半径等于r 的圆：xx0rcos ，yy0rsin ( 为参数 ) (3) 中心在原点，焦点在x 轴( 或 y 轴) 上的椭

6、圆：xacos ，ybsin ( 为参数 ) 或xbcos ，yasin . 中心在点 P(x0， y0) ， 焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为xx0 acos ，yy0 bsin ( 为参数 ) (4) 中心在原点，焦点在x 轴( 或 y 轴) 上的双曲线：xasec ，ybtan ( 为参数 ) 或xbtan ，yasec . (5) 顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上的抛物线：x2p，y2p(t为参数， p0)注： sec 1cos . 3参数方程化为普通方程由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要注意参

7、数的取值范围对x，y 的限制精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页第 5 页 共 9 页1已知点A的极坐标为4，53，则点 A的直角坐标是 (2 ， 23) 2把点 P的直角坐标 (6，2) 化为极坐标，结果为22，63曲线的极坐标方程4sin 化为直角坐标方程为x2(y 2)2 44 以极坐标系中的点1，6为圆心、1 为半径的圆的极坐标方程是 2cos 65 在平面直角坐标系xOy中，假设直线 l ：x t ，y t a(t 为参数 ) 过椭圆 C：x 3cos ，y 2sin ( 为参数 ) 的右顶点，则常数a 的值

8、为 3解析： 由直线 l ：x t ，y t a，得 yxa. 由椭圆 C：x3cos ，y2sin ，得x29y241. 所以椭圆 C的右顶点为 (3 ，0) 因为直线l 过椭圆的右顶点，所以03a，即 a3. 一、选择题1在平面直角坐标系xOy中，点 P的直角坐标为 (1 ，3) 假设以原点O为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是( C) A. 1，3 B.2，43精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页第 6 页 共 9 页C. 2，3 D.2，432假设圆的方程为x2cos ，y2sin (

9、为参数 ) ，直线的方程为xt 1，yt 1(t 为参数 ) ，则直线与圆的位置关系是( B) A相离 B相交C相切 D不能确定3以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是xt 1，yt 3(t 为参数 ) ，圆 C的极坐标方程是 4cos ，则直线l 被圆 C截得的弦长为 ( D) A.14 B214 C.2 D22 解析： 由题意可得直线和圆的方程分别为xy4 0，x2y24x，所以圆心C(2，0) ，半径 r 2，圆心 (2 ，0) 到直线 l 的距离 d2，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为22

10、. 4已知动直线l 平分圆 C：(x 2)2(y 1)21，则直线 l 与圆 O：x3cos ，y3sin ( 为参数 ) 的位置关系是 ( A) A相交 B相切C相离 D过圆心解析： 动直线 l 平分圆 C：(x 2)2(y 1)21，即圆心 (2 ，1) 在直线 l 上，又圆O：x 3cos ，y 3sin 的普通方程为x2y29 且 22129，故点 (2，1) 在圆 O内，则直线l 与圆 O的位置关系是相交二、填空题5在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是ysin 2，xcos ( 是参数 ) ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

11、- - -第 6 页，共 9 页第 7 页 共 9 页假设以 O为极点， x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为24 sin_ 30解析：在平面直角坐标系xOy 中，y sin 2，x cos ( 是参数 ) ，y2sin ，xcos .根据 sin2 cos2 1，可得 x2(y 2)21，即 x2y24y30. 曲线C的极坐标方程为 24 sin 30. 6在平面直角坐标系中圆C的参数方程为x2cos ，y22sin ( 为参数 ) ，以原点 O为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的圆心的极坐标为2，2三、解答题7求极点到直线21sin4( R)的距离解析： 由

12、21sin4? sin cos 1? xy1，故 d|0 01|121222. 8极坐标系中， A为曲线 22 cos 30 上的动点， B为直线 cos sin 70 上的动点，求|AB| 的最小值9(2015大连模拟) 曲线 C1的参数方程为xcos ，ysin ( 为参数 ) ，将曲线 C1上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2. 以平面直角坐标系xOy的原点 O为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：(cos 2sin ) 6. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

13、-第 7 页，共 9 页第 8 页 共 9 页(1) 求曲线 C2和直线 l 的普通方程；(2)P 为曲线 C2上任意一点，求点P到直线 l 的距离的最值解析： (1) 由题意可得C2的参数方程为x2cos ，y3sin ( 为参数 )，即 C2：x24y231，直线 l ：(cos 2sin ) 6 化为直角坐标方程为x2y60. (2) 设点 P(2cos ，3sin ) ，由点到直线的距离公式得点P到直线 l 的距离为d|2cos 23sin 6|56432sin 12cos 564sin655564sin6. 所以255d25，故点 P到直线 l 的距离的最大值为25，最小值为255.

14、 10已知在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x 14cos ，y 24sin ( 为参数 ) ，直线 l 经过定点P(3，5) ，倾斜角为3. (1) 写出直线l 的参数方程和曲线C的标准方程(2) 设直线 l 与曲线 C相交于 A，B两点，求 |PA| |PB| 的值解析： (1) 由曲线C 的参数方程x14cos ，y24sin ( 为参数 ) ，得普通方程为(x 1)2(y 2)216，即 x2y22x4y110. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页第 9 页 共 9 页直线 l 经过定点P(3，5)，倾斜角为3，直线的参数方程为x312t ，y532t(t 是参数 ) (2) 将直线的参数方程代入x2y22x4y110，整理，得t2 (2 33)t 30，设方程的两根分别为t1，t2，则 t1t2 3，因为直线 l 与曲线 C相交于 A，B两点，所以 |PA| |PB| |t1t2| 3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页