2022年高三数学参数方程与极坐标复习 .pdf

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1、参数方程与极坐标目标认知考试大纲要求：1. 理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化；3. 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程. 通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义；4. 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别；5. 了解参数方程，了解参数的意义，能选择适当的参数写出直线

2、、圆和圆锥曲线的参数方程；6. 了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程，了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。重点、难点：1理解参数方程的概念，了解常用参数方程中参数的意义，掌握参数方程与普通方程的互化。2理解极坐标的概念，掌握极坐标与直角坐标的互化；直线和圆的极坐标方程。知识要点梳理 :知识点一：极坐标1极坐标系平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。2极坐标系内一点的极坐标平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对精选学习资料 -

3、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页就叫做点的极坐标。（1）一般情况下，不特别加以说明时表示非负数；当时表示极点；当时，点的位置这样确定：作射线，使，在的反向延长线上取一点，使得，点即为所求的点。（2）点与点（）所表示的是同一个点，即角与的终边是相同的。综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应，即，, 均表示同一个点. 3. 极坐标与直角坐标的互化当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（极点与原点重合；极轴与轴正半轴重合；长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系：直角坐标化极坐标：；极坐标

4、化直角坐标：. 此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系. 4. 直线的极坐标方程：（1）过极点倾斜角为的直线：或写成及. （2）过垂直于极轴的直线：5. 圆的极坐标方程：（1）以极点为圆心，为半径的圆：. （2）若，以为直径的圆：知识点二：柱坐标系与球坐标系：1. 柱坐标系的定义：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页空间点与柱坐标之间的变换公式：2. 球坐标系的定义：空间点与球坐标之间的变换公式：知识点三：参数方程1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数：，并且对

5、于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）. 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。知识点四：常见曲线的参数方程1直线的参数方程（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：（为参数）；其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点的距离。（当在上方时，在下方时，) 。（2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页（为参数，为为常数，）；其中的几何意义为：

6、若是直线上一点，则。2圆的参数方程（1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：（是参数，）；特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。（2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。（3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。3. 椭圆的参数方程（1）椭圆（）的参数方程（为参数）。（2）参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。如图中，点对应的角为（过作轴，交大圆即以为直径的圆于），切不可认为是。（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。椭圆上任意一点可设成，为解决

7、有关椭圆问题提供了一条新的途径。4. 双曲线的参数方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页双曲线（,）的参数方程为（为参数）。5. 抛物线的参数方程抛物线() 的参数方程为（是参数）。参数的几何意义为：抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。6. 圆的渐开线与摆线的参数方程：（1）圆的渐开线的参数方程（是参数）；（2）摆线的参数方程（是参数）。规律方法指导：1、把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有：代入消法；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等

8、式消参法；混合消参法等. 2、把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性，注意方程中的参数的变化范围。经典例题精析类型一：极坐标方程与直角坐标方程1在极坐标系中，点关于极点的对称点的坐标是_ ，关于极轴的对称点的坐标是 _，关于直线的对称点的坐标是_，思路点拨 : 画出极坐标系，结合图形容易确定。解析： 它们依次是或；（）. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页示意图如下：总结升华： 应用数形结合， 抓住对称点与已知点之间的极径与极角的联系，同时应注意点的极坐标的多值性。举一反

9、三：【变式】已知点，则点（1）关于对称点的坐标是 _，（2）关于直线的对称点的坐标为 _ 。【答案】(1) 由图知 ：,，所以；(2) 直线即，所以或（）2. 化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。(1) ；(2) ；(3) ；(4) . 思路点拨 : 依据关系式，对已有方程进行变形、配凑。解析：（1）方程变形为, 或，即或，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页故原方程表示圆心在原点半径分别为1 和 4 的两个圆。(2) 变形得, 即，故原方程表示直线。(3) 变形为, 即，整理得，故原方程表示中心在，

10、焦点在x 轴上的双曲线。（4）变形为, ,即, 故原方程表示顶点在原点，开口向上的抛物线。总 结 升 华 ： 极 坐 标 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程 ， 关 键 是 依 据 关 系 式，把极坐标方程中的用、表示。举一反三：【变式 1】把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它们是什么曲线. (1)； (2), 其中；(3) (4) 【答案】：(1) ，即, 故原方程表示是圆. (2) , ，或，或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页故原方程表示圆和直线. (3) 由，得即，整理得故原方程表示抛物线. (4

11、) 由得, ，即故原方程表示圆. 【变式 2】圆的直角坐标方程化为极坐标方程为_. 【答案】将代入方程得. 3. 求适合下列条件的直线的极坐标方程：（1）过极点，倾斜角是；（ 2）过点，并且和极轴垂直。思路点拨 : 数形结合，利用图形可知过极点倾斜角为的直线为. 过点垂直于极轴的直线为；或者先写出直角坐标方程，然后再转化成极坐标方程。解析：（1）由图知，所求的极坐标方程为；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页（2）（方法一）由图知，所求直线的方程为，即. （方法二）由图知，所求直线的方程为，即. 总结升华： 抓住图形

12、的几何性质，寻找动点的极径与极角所满足的条件，从而可以得到极坐标方程 . 也可以先求出直角坐标方程运用所得的方程形式，可以更简捷地求解. 举一反三：【变式1】已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是_。【答案】：。（方法一）把直线的极坐标方程化为直角坐标方程：，则原点（极点）到该直线的距离是；（方法二） 直线是将直线绕极点顺时针旋转而得到，易知，极点到直线的距离为。【变式 2】解下列各题（1）在极坐标系中，以为圆心，半径为1 的圆的方程为_，平行于极轴的切线方程为 _；（2）极坐标系中，两圆和的圆心距为 _ ；（3）极坐标系中圆的圆心为 _。【答案】（1）（方法一）设在圆上，则，精选学习

13、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页由余弦定理得即，为圆的极坐标方程。其平行于极轴的切线方程为和。（方法二）圆心的直角坐标为，则符合条件的圆方程为，圆的极坐标方程：整理得，即. 又圆的平行于（轴）极轴的切线方程为：或，即和（2）（方法一）的圆心为，的圆心为，两圆圆心距为. （方法二）圆即的圆心为，圆即的圆心为，两圆圆心距为. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页（3）（方法一）令得，圆心为。（方法二）圆即的圆心为，即. 类型二：参数方程与普通方程

14、互化4把参数方程化为普通方程(1) (，为参数 ) ；（2） (，为参数）；（3）(,为参数 ) ；（ 4） (为参数 ). 思路点拨 :（1）将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参；（2）利用三角恒等式进行消参；（3）观察式子的结构，注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法；或把用表示，反解出后再代入另一表达式即可消参；（4）此题是（ 3）题的变式，仅仅是把换成而已，因而消参方法依旧，但需要注意、的范围。解析：（ 1 ） ， 把代 入 得；又, , 所求方程为：(,) （2）, 把代入得. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

15、 - -第 11 页，共 18 页又，,. 所求方程为(,). （3）（法一）：, 又，, 所求方程为(,). （法二）： 由得, 代入, （余略） . （4）由得, , 由得, 当时，；当时，从而. 法一 :，即（），故所求方程为（）法二 : 由得，代入得，即再将代入得，化简得. 总结升华：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页1. 消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。2. 消参过程中应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出、的范围 . 在这过程中实际上是求函数

16、值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法. 举一反三：【变式 1】化参数方程为普通方程。（1）(t 为参数 ) ；（2）（t 为参数） . 【答案】：（1）由得，代入化简得. , ,. 故所求方程为（，）（2）两个式子相除得，代入得，即. ，故所求方程为(). 【变式 2】（ 1）圆的半径为 _ ；（ 2）参数方程(表示的曲线为（）。 A 、双曲线一支，且过点B、抛物线的一部分，且过点 C 、 双曲线一支， 且过点D、抛物线的一部分，且过点【答案】：（1）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页其中， 半径为 5。

17、（2），且，因而选 B。【变式 3】（ 1）直线: (t 为参数 ) 的倾斜角为（）。A、 B 、 C、 D、（2）为锐角，直线的倾斜角（）。 A、 B、 C、 D、【答案】：（ 1）， 相除得，倾斜角为，选 C。（2），相除得，倾角为，选 C。5已知曲线的参数方程（、为常数）。（1）当为常数 () ，为参数 () 时，说明曲线的类型；（2）当为常数且，为参数时，说明曲线的类型。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页思路点拨 : 通过消参，化为普通方程，再做判断。解析： （1）方程可变形为（为参数，为常数）取两式的平

18、方和，得曲线是以为圆心，为半径的圆。（2）方程变形为（为参数，为常数） , 两式相除，可得，即, 曲线是过点且斜率的直线。总结升华： 从本例可以看出：某曲线的参数方程形式完全相同，但选定不同的字母为参数，则表示的意义也不相同，表示不同曲线。因此在表示曲线的参数方程时，一般应标明选定的字母参数。举一反三：【变式】已知圆锥曲线方程为。（1）若为参数，为常数，求此曲线的焦点到准线距离。（2）若为参数，为常数，求此曲线的离心率。【答案】：（1）方程可化为消去, 得：曲线是抛物线，焦点到准线距离即为。（ 2）方程化为，消去，得，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

19、- - - -第 15 页，共 18 页曲线为椭圆，其中，从而。类型三：其他应用6椭圆内接矩形面积的最大值为_. 思路点拨 :由椭圆的对称性知内接矩形的各边平行于两轴，只需求出其中一个点的坐标就可以用来表示面积，再求出最大值。解析： 设椭圆上第一象限的点，则当且仅当时，取最大值，此时点. 总结升华： 利用参数方程结合三角函数知识可以较简洁地解决问题。举一反三：【变式 1】 求椭圆上的点到直线:的最小距离及相应的点的坐标。【答案】：设到的距离为，则，（当且仅当即时取等号）。点到直线的最小距离为， 此时点， 即。【变式2】圆上到直线的距离为的点共有_个. 【答案】：已知圆方程为，设其参数方程为（）则圆上的点到直线的距离精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页为，即或又，从而满足要求的点一共有三个. 【变式3】实数、满足，求（ 1），（ 2）的取值范围 . 【答案】：（1）由已知，设圆的参数方程为（为参数），（2），.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页