2019大一轮高考总复习文数（北师大版）讲义：第9章 第05节 椭圆及其性质 .doc

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1、第五节第五节 椭圆及其性质椭圆及其性质 考点高考试题考查内容核心素养 2015全国卷T2012 分 求椭圆方程证明定值问 题 数学运算 逻辑推理 2017全国卷T2012 分 求椭圆方程证明定值问 题 数学运算 逻辑推理 椭圆方程 2017全国卷T125 分求椭圆方程数学运算 2015全国卷T55 分 已知椭圆的离心率求椭 圆与抛物线综合问题 数学运算 2016全国卷T125 分求椭圆的离心率数学运算 椭圆的性 质 2017全国卷T115 分求椭圆离心率数学运算 命题分析 椭圆的定义、标准方程、几何性质一直是高考的热点，其中离心率考查比 较频繁直线与椭圆的位置关系多以解答题的形式出现，解题时要

2、注意数 形结合、转化与化归思想. 1椭圆的定义 平面内到两定点 F1，F2的距离之和_等于常数_(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆两 定点 F1，F2叫作椭圆的_焦点_.集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数 (1)当_2a|F1F2|_时，P 点的轨迹是椭圆； (2)当_2a|F1F2|_时，P 点的轨迹是线段； (3)当_2a|F1F2|_时，P 点不存在 2椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 1(ab0) x2 a2 y2 b2 1(ab0) x2 b2 y2 a2 图形 范围 _a_x_a_，_b_y _b_ _b_x_b_，_a_

3、y _a_ 对称性对称轴：_坐标轴_，对称中心：_(0,0)_ 顶点 A1_(a,0)_，A2_(a,0)_， B1_(0，b)_，B2_(0，b)_ A1_(0，a)_，A2_(0，a)_， B1_(b,0)_，B2_(b,0)_ 轴长轴 A1A2的长为_2a_，短轴 B1B2的长为_2b_ 焦距|F1F2|_2c_ 离心率 e ，e_(0,1)_ c a 性 质 a，b，c 的关系 c2_a2b2_ 提醒： 1辨明两个易误点 (1)椭圆的定义中易忽视 2a|F1F2|这一条件，当 2a|F1F2|时，其轨迹为线段 F1F2， 当 2a|F1F2|时，不存在轨迹 (2)求椭圆的标准方程时易忽

4、视判断焦点的位置，而直接设方程为 1(ab0) x2 a2 y2 b2 2求椭圆标准方程的两种方法 (1)定义法：根据椭圆的定义，确定 a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程 (2)待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出 a、b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在 x 轴上和 y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的 方程为 Ax2By21(A0，B0，AB) 1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆( ) (2)动点 P 到两定点 A(0，2)，B(0,2)的距离之和为 4，则点 P

5、的轨迹是椭圆( ) (3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆( ) (4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形( ) (5)方程 mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) 2(教材习题改编)设 P 是椭圆1 上的点，若 F1，F2是椭圆的两个焦点，则 x2 25 y2 16 |PF1|PF2|等于( ) A4 B5 C8 D10 解析：选 D 依椭圆的定义知：|PF1|PF2|2510 3(教材习题改编)已知椭圆的一个焦点为 F(6,0)，离心率 e ，则椭圆的标准方程为( ) 3 5 A1 B1 x2 25 y2 16 x2 16

6、 y2 25 C1 D1 x2 100 y2 64 x2 64 y2 100 解析：选 C c6，e ，所以 a c 610，b2a2c264，又因为焦点在 c a 3 5 5 3 5 3 x 轴上，故椭圆的标准方程为1 x2 100 y2 64 4已知点 P 是椭圆1 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦点 F1，F2为顶点的 x2 5 y2 4 三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为_ 解析：a25，b24，c2a2b21，c1.|F1F2|2c2 设 P(x，y)，SPF1F2 |F1F2|y|， 1 2 2|y|1，|y|1，y1 1 2 1，x， x2 5 1 4 15 2 x0

7、，x， 15 2 P ( 15 2 ， 1) 答案：( 15 2 ， 1) 椭圆的定义及应用 明技法 (1)椭圆定义的应用范围 确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆 解决与焦点有关的距离问题 (2)焦点三角形的应用 椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形” ，利用定 义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等 提能力 【典例】 (2018徐州模拟)已知 F1，F2是椭圆 C：1(ab0)的两个焦点，P x2 a2 y2 b2 为椭圆 C 上的一点，且 PF1PF2，若PF1F2的面积为 9，则 b_ 解析：设|PF1|

8、r1，|PF2|r2，则Error!Error! 所以 2r1r2(r1r2)2(r r )4a24c24b2， 2 12 2 所以 SPF1F2 r1r2b29，所以 b3 1 2 答案：3 刷好题 1设 F1，F2是椭圆1 的两个焦点，P 是椭圆上的一点，且 x2 9 y2 4 |PF1|PF2|21，则PF1F2的面积为( ) A4 B6 C2 D4 22 解析：选 A 因为点 P 在椭圆上，所以|PF1|PF2|6， 又因为|PF1|PF2|21，所以|PF1|4，|PF2|2， 又易知|F1F2|2， 5 显然|PF1|2|PF2|2|F1F2|2， 故PF1F2为直角三角形， 所以

9、PF1F2的面积为 244.故选 A 1 2 2已知两圆 C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆 C1内部且和圆 C1 相内切，和圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为_ 解析：设动圆 M 的半径为 r， 则|MC1|MC2|(13r)(3r)16， 又|C1C2|816，所以动圆圆心 M 的轨迹是以 C1、C2为焦点的椭圆，且 2a16,2c8，则 a8，c4， 所以 b248，又焦点 C1、C2在 x 轴上， 故所求的轨迹方程为1 x2 64 y2 48 答案：1 x2 64 y2 48 椭圆的标准方程 明技法 用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤 定位置 根据

10、条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上， 还是两个坐标轴都有可能 设方程根据上述判断设出方程 找关系根据已知条件，建立关于a，b，c的方程组 得方程解方程组，将解代入所设方程，即为所求 提能力 【典例】 (1)(2018湖南联考)已知椭圆的中心在原点，离心率 e ，且它的一个焦点 1 2 与抛物线 y24x 的焦点重合，则此椭圆方程为( ) A1 B1 x2 4 y2 3 x2 8 y2 6 Cy21 Dy21 x2 2 x2 4 (2)设 F1，F2分别是椭圆 E：x21(0b1)的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 y2 b2 E 于 A，B 两点，若|AF1|3|F1B|，AF2x 轴

11、，则椭圆 E 的标准方程为 _ 解析：(1)依题意，可设椭圆的标准方程为1(ab0)，由已知可得抛物线的 x2 a2 y2 b2 焦点为(1,0)，所以 c1， 又离心率 e ，解得 a2，b2a2c23， c a 1 2 所以椭圆方程为1 x2 4 y2 3 (2)不妨设点 A 在第一象限，如图所示因为 AF2x 轴，所以|AF2|b2 因为|AF1|3|BF1|，所以 B ( 5 3c， 1 3b2) 将 B 点代入椭圆方程， 得 2 1， ( 5 3c) ( 1 3b2)2 b2 所以c21 25 9 b2 9 又因为 b2c21，所以Error!Error! 故所求的方程为 x21 y

12、2 2 3 答案：(1)A (2)x21 y2 2 3 刷好题 求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的 3 倍且经过点 A(3,0)； (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为； 3 (3)经过点 P(2，1)，Q(，2)两点； 33 (4)与椭圆1 有相同离心率且经过点(2，) x2 4 y2 33 解：(1)若焦点在 x 轴上，设方程为1(ab0) x2 a2 y2 b2 椭圆过点 A(3,0) 1，a3，2a32b， 9 a2 b1，方程为y21 x2 9 若焦点在 y 轴上，设方程为1(ab0) y2 a2 x2 b2 椭圆过点 A(3,0)

13、，1，b3 9 b2 又 2a32b，a9，方程为1 y2 81 x2 9 综上所述，椭圆方程为y21 或1 x2 9 y2 81 x2 9 (2)由已知，有Error!Error!解得Error!Error! 从而 b2a2c29 所求椭圆方程为1 或1 x2 12 y2 9 x2 9 y2 12 (3)设椭圆方程为 mx2ny21(m0，n0，mn) 点 P(2，1)，Q(，2)在椭圆上， 33 Error!Error!解得 m，n 1 15 1 5 故1 为所求椭圆的方程 x2 15 y2 5 (4)方法一 e ，若焦点在 x 轴上，设所求椭圆方 c a a2b2 a 1b2 a2 13

14、 4 1 2 程为1(mn0)，则 1 2 x2 m2 y2 n2 ( n m) 1 4 从而 2 ， . 又1，m28，n26 ( n m) 3 4 n m 3 2 4 m2 3 n2 方程为1 x2 8 y2 6 若焦点在 y 轴上，设方程为1(mn0)， y2 m2 x2 n2 则1，且 ，解得 m2，n2 3 m2 4 n2 n m 3 2 25 3 25 4 故所求方程为1 y2 25 3 x2 25 4 方法二 若焦点在 x 轴上，设所求椭圆方程为 t(t0)，将点(2，)代入， x2 4 y2 33 得 t2 22 4 32 3 故所求方程为1 x2 8 y2 6 若焦点在 y

15、轴上，设方程为(0)代入点(2，)，得 y2 4 x2 33 ，1 25 12 y2 25 3 x2 25 4 椭圆的几何性质 析考情 椭圆几何性质的内容很丰富，因此在高考中对椭圆几何性质的考查也非常广泛，但离 心率及其范围却是每年高考的热点. 应用平面几何知识往往是解决这类问题的关键 提能力 命题点 1：由椭圆的方程研究其性质 【典例 1】 已知椭圆1(ab0)的一个焦点是圆 x2y26x80 的圆心， x2 a2 y2 b2 且短轴长为 8，则椭圆的左顶点为( ) A(3,0) B(4,0) C(10,0) D(5,0) 解析：选 D 因为圆的标准方程为(x3)2y21， 所以圆心坐标为(

16、3,0)，所以 c3，又 b4， 所以 a5 b2c2 因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以椭圆的左顶点为(5,0) 命题点 2：由椭圆的性质求参数的值或范围 【典例 2】 已知椭圆 mx24y21 的离心率为，则实数 m 等于( ) 2 2 A2 B2 或 8 3 C2 或 6 D2 或 8 解析：选 D 显然 m0 且 m4， 当 0m4 时，椭圆长轴在 x 轴上， 则，解得 m2； 1 m 1 4 1 m 2 2 当 m4 时，椭圆长轴在 y 轴上， 则，解得 m8 1 4 1 m 1 4 2 2 命题点 3：求离心率的值或范围 【典例 3】 (2017全国卷)已知椭圆 C：1(ab0)的左

17、、右顶点分别为 x2 a2 y2 b2 A1，A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bxay2ab0 相切，则 C 的离心率为( ) A B 6 3 3 3 C D 2 3 1 3 解析：选 A 由题意知以 A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为 a 又直线 bxay2ab0 与圆相切， 圆心到直线的距离 da，解得 ab， 2ab a2b23 ， b a 1 3 e .故选 A c a a2b2 a 1(b a)2 1( 1 3)2 6 3 悟技法 应用椭圆几何性质的 2 个技巧与 1 种方法 2 个技巧 (1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要

18、联 想到一个图形 (2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如 axa，byb,0e1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关 系 1 种方法 求椭圆离心率的方法： (1)直接求出 a，c 的值，利用离心率公式直接求解 (2)列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2a2c2消去 b，转化为含有 e 的方程(或不等式)求解 刷好题 1(2016全国卷)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为 其短轴长的 ，则该椭圆的离心率为( ) 1 4 A B 1 3 1 2 C D 2 3 3 4 解析：选 B 如图，由题意得，BFa，OFc，OBb，

19、OD 2b b 1 4 1 2 在 RtOFB 中，|OF|OB|BF|OD|，即 cba b，代入解得 a24c2，故椭圆离 1 2 心率 e ，故选 B c a 1 2 2(2018东北三省三校联考)若椭圆y21 的两个焦点分别是 F1，F2，点 P 是椭圆 x2 4 上任意一点，则的取值范围是( ) PF1 PF2 A1,4 B1,3 C2,1 D1,1 解析：选 C 椭圆y21 两个焦点分别是 F1(，0)，F2(，0)，设 P(x，y)，则 x2 433 (x，y)，(x，y)，(x)(x)y2x2y23. PF1 3 PF2 3 PF1 PF2 33 因为 y21，代入可得 x22，而2x2，所以的取值范围是 x2 4 PF1 PF2 3 4 PF1 PF2 2,1，故选 C 3设 F1，F2分别是椭圆 C：x22y22 的左、右焦点，P 是该椭圆上的一个动点则 | 的最小值是_ PF1 PF2 解析：将方程变形为y21，则 F1(1,0)，F2(1,0) x2 2 设 P(x0，y0)，则(1x0，y0)，(1x0，y0) PF1 PF2 (2x0，2y0)， PF1 PF2 |22 PF1 PF2 4x2 04y2 022y2 0y2 0y2 02 点 P 在椭圆上，0y 1 2 0 当 y 1 时，|的最小值为 2 2 0 PF1 PF2 答案：2