2021-2022学年山东省淄博实验中学高二下学期开学考试数学试题(解析版).pdf

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1、2021-20222021-2022 学年山东省淄博实验中学高二下学期开学考试数学年山东省淄博实验中学高二下学期开学考试数学试题学试题一、单选题一、单选题1若向量a (1,1,2),b (2,1,3)则| 2a b |（）A7【答案】D【分析】先求得2a b，然后根据空间向量模的坐标运算求得2ab【详解】由于向量a 1,1,2，b 2,1,3，所以2ab 4,1,1.222故2ab 4 (1) 1 18 3 2.B3C10D3 2故选：D2已知直线xay a 0和直线ax y1 0互相平行，则a （）A1【答案】C【分析】根据两直线互相平行斜率相等可得答案.【详解】由11aa，解得a 1，经检

2、验均满足题意.故选：C.3小方每次投篮的命中率为次命中的概率为（）A20495，假设每次投篮相互独立，则他连续投篮2 次，恰有 17B1CD0B1049C2549D1549【答案】A【分析】先弄清连续投篮2 次，恰有1 次命中的情况有两种，它们是互斥关系，因此根据相互独立事件以及互斥事件的概率计算公式进行求解.【详解】由题意知，他连续投篮2 次，有两种互斥的情况，即第一次投中第二次不中和第一次不中第二次投中，555520因此恰有 1 次命中的概率为11，777749故选：A.4在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AB AD 4，AA1 3，BAD BAA1 A1AD 2，3，CM 2MC

3、1，则AM的长为（）第 1 页 共 16 页A2 6【答案】CB42C2 13D2 11【分析】利用空间向量基本定理用AB,AD,AA1表示出AM，然后对等式两边平方化简结合已知条件可求得结果【详解】因为AM AC CM AB AD BAA1 A1AD 222AA1，AB AD 4，AA1 3，BAD ，323，22444AA12ABADABAA1ADAA1933所以AM AB AD 1616408852，所以AM 2 13.故选：C.x2y25若直线l：x2y 15 0经过双曲线M：221的一个焦点， 且与双曲线M有ab且仅有一个公共点，则双曲线M的方程为（）x2y2A1520 x2y2B1

4、205x2y2C13122y2Dx1123【答案】D【分析】根据直线l过双曲线的一个焦点，令y 0求出 c，再根据直线与一条渐近线平行，得到b1求解可得答案.a2【详解】令y 0得x 15，所以直线l与x轴的交点为所以双曲线M的右焦点为即c2 a2b215，15,0，15,0，则c 15，直线l与双曲线M有且仅有一个公共点，直线l又过双曲线的焦点，所以直线l与双曲线的一条渐近线y 即bx平行，ab1，a2由得第 2 页 共 16 页解得a212,b2 3，2y2x所以双曲线的方程为1123故选：D.6在数列an中，a1 2,an11A1【答案】A【分析】利用条件可得数列an为周期数列，再借助周

5、期性计算得解.【详解】a1 2,an111(nN*)an1(nN*)，则a2022（）anB12C2D1a211111,a31 11，a41 2，2212所以数列an是以 3 为周期的周期数列，a2022 a6734 a3 1，故选：A.7已知在四棱锥P ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是边长为 4 的正方形，PA 6，E为棱PD的中点，则直线EC与平面PAB所成角的正弦值为（）A5 618B2 2929C3 2626D2 3015【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，以向量法去求直线EC与平面PAB所成角的正弦值即可.【详解】PA平面ABCD，底面ABCD是边长为 4 的正方形，则

6、有PA AB,PA AD,AB AD，而PAAB A，故AD 平面PAB，以 A 为原点，分别以 AB、AD、AP所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图：第 3 页 共 16 页则A(0,0,0), D(0,4,0), C(4,4,0), P(0,0,6)，E(0,2,3)，CE (4,2,3)，AD (0,4,0)设直线EC与平面PAB所成角为，又由题可知AD为平面PAB的一个法向量，则sin cos CE, AD故选：B8数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美平面直角22坐

7、标系中，曲线C：x y x y就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下CE ADCE AD242 29294 1649结论：曲线C围成的图形的面积是2；曲线C上的任意两点间的距离不超过2；若Pm,n是曲线C上任意一点，则3m4n12的最小值是其中正确结论的个数为（）A0【答案】C【分析】结合已知条件写出曲线C的解析式，进而作出图像，对于，通过图像可知，所求面积为四个半圆和一个正方形面积之和，结合数据求解即可；对于 ，根据图像求出曲线C上的任意两点间的距离的最大值即可判断； 对于，将问题转化为点到直线的距离，然后利用圆上一点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可求解.12121【

8、详解】当x 0且y0时，曲线C的方程可化为：(x) (y) ；22212121当x 0且y0时，曲线C的方程可化为：(x) (y ) ；222175 22B1C2D3第 4 页 共 16 页12121当x 0且y 0时，曲线C的方程可化为：(x) (y) ；22212121当x 0且y 0时，曲线C的方程可化为：(x) (y ) ，222曲线C的图像如下图所示：由上图可知， 曲线C所围成的面积为四个半圆的面积与边长为2的正方形的面积之和，112从而曲线C所围成的面积4( 2) 2，故正确；22由曲线C的图像可知， 曲线C上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边222 2 2 2，故错

9、误；2|3m4n12|3m4n12|因为P(m,n)到直线3x 4y 12 0的距离为d ，2253 4长之和，即所以3m4n12 5d，当d最小时，易知P(m,n)在曲线C的第一象限内的图像上，1 12因为曲线C的第一象限内的图像是圆心为( , )，半径为的半圆，2 2211|3+412|1 117，22所以圆心( , )到3x 4y 12 0的距离d2 2103242从而dmin d故选：C.二、多选题二、多选题x2y29已知曲线 C 方程为：21m 0，则下列结论正确的是（）m 1m2175 2175 2，即3m4n12min 5dmin，故正确，2102A若m 0，则曲线 C 为双曲线

10、B若曲线 C 为椭圆，则其长轴长为m21C曲线 C不可能为一个圆【答案】AC第 5 页 共 16 页xD当m 1时，其渐近线方程为y 2【分析】根据椭圆、双曲线标准方程的结构特征及其几何性质可得.【详解】当m 0时，显然 A 正确；当m0，m21 m 0，故a m21，所以长轴长2a 2 m21，B 不正确；因为m21 m恒成立，所以 C 正确；当m 1时，方x22程为 y21，其渐近线方程为 y x ，故 D 不正确.22故选：AC10若n1是平面的一个法向量，n2是平面的一个法向量，A,B是直线 b上不同的两点的，则以下命题正确（）Ab/ / n1AB 0C/ / R，使得n1n2cos

11、cos n1,n2.B n1n20D设与的夹角为，则【答案】BCD【分析】根据空间向量与空间位置关系一一判断即可；【详解】解：对于 A，当n1AB 0且AB 平面时，满足b/，故 A 错误；对于 B：若则n1n2 0，若n1n2 0则，即可得到 n1n20，故B 正确；对于 C： 若/， 则n1/n2， 则R， 使得n1n2， 若R， 使得n1n2则n1/n2，所以/，故 C 正确；对于 D：设与的夹角为，则0,，所以cos cos n1,n2，故 D 正确；2故选：BCD11先后抛掷两颗质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为a,b，则下列结论正确的是（）Aab 7时的概率为B536

12、a1 2时的概率为6b1Cab 6时的概率为91Dab是 6 的倍数的概率是6【答案】CD【分析】先求出所有的基本事件的个数为6636个，再求出四个选项中每一个事件发第 6 页 共 16 页生包含的基本事件的个数， 利用古典概率公式计算概率即可判断是否正确， 进而得出正确答案.【详解】先后抛掷两颗质地均匀的骰子，共有36 种不同的情形.A.ab 7时满足的情形有1,6，2,5，3,4，4,3，5,2，6,1，故P 故 A 错误；B.61，366a 2时满足的情形有2,1，3,1，4,1，4,2，5,1，5,2，6,1，6,2，6,3，b故P 91，故 B 错；36441，故 C 正确；369C

13、.ab 6时满足的情形有1,6，2,3，3,2，6,1，故P D.ab是 6 的倍数的情形有1,5,2,4,3,3,4,2,5,1,6,6， 故ab是 6 的倍数的1概率是，故 D 正确.6故选：CD.12在平面直角坐标系 xOy中，点F1,0，动点 M到点 F的距离与到直线x 1的距离相等，记 M的轨迹为曲线 C若过点 F的直线与曲线 C交于Ax1, y1，Bx2, y2两点，则（）Ay1y2 1BOAB的面积的最小值是 2C当AF 2 BF时，AB922D以线段 OF 为直径的圆与圆N :x3 y21相离【答案】BCD【分析】由题意可知点 M的轨迹是以 F 为焦点 , 直线x 1为准线的抛

14、物线，结合抛物线的相关知识可以判断ABC，结合圆与圆的位置关系的相关知识，可判断D【详解】依据题意动点 M 到点 F ( 1 , 0 ) 的距离与它到直线x 1的距离相等，由抛物线定义知点 M 的轨迹是以 F 为焦点 , 直线x 1为准线的抛物线，所以点 P 的轨迹 C 的方程为y2 4x,y1y2 4,故 A 错误；对于 A， 取 AB x 轴，则x my 1,对于 B，显然直线 AB 的斜率不为 0 , 设直线 AB 的方程为x my1联立2整理可得y24my 4 0,?y 4x第 7 页 共 16 页y1y2 4,所以y1 y2 4m,所以S OAB111OF y1 y2 (y1 y2)

15、24y1y216m216 2，222当m 0时取等号，所以OAB的面积的最小值是 2， 所以 B 正确；C 中，AF 2 BF时 , 则AF 2FB,所以(1x1,y1) 2x21,y2,y1 2y2 ,y1y2 4,，而y1 y2 4m,，15联立可得m2x1 x2 m(y1 y2)2 4m22 82由抛物线的性质可得AB x1 x2 p 592 ,所以 C 正确；221111D 中 , 以 OF 为直径的圆的方程为(x)2 y2, 圆心C( ,0),半径r12422圆N :(x3)2 y21的圆心N3,0,半径r21,所以圆心距CN 31513 r1 r212222可得两个圆相离，所以 D

16、 正确；故选： BCD .三、填空题三、填空题13 如图， 在直棱柱ABC A1B1C1中，AC BC, AC 2,BC 3,AA1 4， 则异面直线AC1与CB1所成角的余弦值为_.【答案】8 525【分析】建立空间直角坐标系后求相关的向量后再用夹角公式运算即可.第 8 页 共 16 页【详解】如图，以C为坐标原点，CA,CB,CC1所在直线为 x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C0,0,0,A2,0,0,B10,3,4,C10,0,4，所以AC1 (2,0,4), CB1 (0,3,4)，所以cos AC1,CB1168 5，252 558 5，25故异面直线AC1与CB1所成角的余弦值

17、为故答案为:8 5.2514等差数列an,bn的前 n 项和分别为Sn,Tn，若对任意正整数n 都有n，则Tn3n2a5的值为_.b5S2n1【答案】170.6825【分析】利用等差数列求和公式与等差中项进行求解.【详解】由题意得：S9a5S929117b5T9392259a1a99b1b9 9a5，同理可得：T9 9b5，所以22故答案为：172515某学校组织建党 100 周年党史知识竞赛，仅有三位同学进入最后决赛.若这三位同学从 A，B，C三类试题中随机选择一类试题作答，且各自选择相互独立，则这三类试题都有同学选择的概率为_.【答案】【分析】列出这三位同学从 A，B，C 三类试题中随机选

18、择一类试题作答的情况和其中这三类试题都有同学选择的情况，根据古典概型的概率计算公式可得答案.【详解】这三位同学从 A，B，C 三类试题中随机选择一类试题作答的情况有AAA，BBB，CCC，AAC， ACA，CAA，BAA，ABA，AAB，BBA，BAB，ABB，第 9 页 共 16 页29BBC，CBB， BCB，ACC，CAC，CCA，CBC，BCC，CCB，ABC， BAC，ACB，BCA， CAB，CBA共 27 种，其中这三类试题都有同学选择的情况有ABC， BAC，ACB， BCA， CAB，CBA共 6 种，根据古典概型的概率计算公式可得这三类试题都有同学选择的概率为故答案为：.1

19、6已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1和F2，设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，P为两曲线的一个公共点，且PF1 PF2 2 PO（O为坐标原点） 若e12962.27923,，22则e2的取值范围是_【答案】6,)2【分析】设出半焦距 c，用c,e1,e2表示出椭圆的长半轴长、双曲线的实半轴长，由PF1 PF2 2 PO可得PF1F2为直角三角形，由此建立关系即可计算作答,【详解】设椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为a，它们的半焦距为 c，于是得a cc，a ，e2e1由椭圆及双曲线的对称性知，不妨令焦点F1和F2在 x轴上，点 P 在 y 轴右侧，PF1 PF2 2a由椭圆及双曲线定

20、义得：，解得| PF1| aa，| PF2| aa，PF PF 2a21因PF1 PF2 2 PO，即F1F2 2 PO，而O是线段F1F2的中点，因此有F1PF2 90，则有| PF1|2| PF2|2| F1F2|2，即(a a)2(a a)2 4c2，整理得：a2a2 2c2，c2c21112223从而有() () 2c，即有2 22，又，则有0 22，即 e1e1e2e2e1e2322362e2，解得e2，22所以e2的取值范围是故答案为：6,)26,).2【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：定义法：通过已知条件列出方程组，求得a,c值，根据离心率的定义求解离心率e；

21、齐次式法：由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次第 10 页 共 16 页方程求解；特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.四、解答题四、解答题17bn是公比为 2 的等比数列，已知数列an为等差数列，且满足a1 b11,b2 a2 5(1)求数列an和bn的通项公式；(2)令cn anbn求数列cn的前 n 项和Sn；n1【答案】(1)an 2n1，bn 2(2)Sn n2 2n1【分析】 （1）根据等差数列和等比数列的通项公式得到d 2，根据通项公式的求法得到结果；n1（2）cn anbn 2 2n1分组求和即可.【详解】(1)设an的公差为d,由已知,有

22、21d 5解得d 2，n1所以an的通项公式为an 2n1,nN N,bn的通项公式为bn 2,nN N.n1(2)cn anbn 2 2n1，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公12nn(12n1) n22n1.式得到：Sn12218如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD,PA AD 2,AB 1,AM PD于点 M 连接BM.(1)求证：PB平面ACM；(2)求平面ACM与平面ACD所成角的余弦值.【答案】(1)证明见详解(2)66【分析】 （1）连接BD，交AC于点O，则O为BD中点，再由等腰三角形三线合一可知M为PD中点，连接OM，利用中位线可

23、知PB/OM，根据直线与平面平行的判定定理第 11 页 共 16 页即可证明；（2）根据题意建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量法即可求出两平面所成角的余弦值.【详解】(1)连接BD，交AC于点O，则O为BD中点，因为PA AD，AM PD于M，则M为PD中点，连接OM，则PB/OM，又因为OM 平面ACM，PB 平面ACM,所以PB平面ACM；(2)如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz，则A(0,0,0), P(0,0,2), B(1,0,0),C(1,2,0), D(0,2,0), M(0,1,1)，AC (1,2,0), AM (0,1,1)，设平面AC

24、M的一个法向量为m (x, y,z)，x2y 0由m AC,m AM可得，y z 0令z 1，得x 2, y 1，即m (2,1,1)，易知平面ACD的一个法向量为n (0,0,1)，设平面ACM与平面ACD所成角为，cos cos m,nmnm n16，666.6则平面ACM与平面ACD所成角的余弦值为19已知圆C :(x 1)2 y2 9内有一点P2,2，过点 P 作直线 l交圆 C于 A，B两点.第 12 页 共 16 页(1)当 P 为弦AB的中点时，求直线 l的方程；(2)若直线 l与直线3x4y1 0平行，求弦AB的长.【答案】(1)x2y6 0(2)4 2【分析】 （1）由题意，

25、kl 1，求出直线 l的斜率，利用点斜式即可求解；kPC（2）由题意，利用点斜式求出直线l的方程，然后由点到直线的距离公式求出弦心距，最后根据弦长公式即可求解.【详解】(1)解：由题意，圆心C1,0，P 为弦AB的中点时，由圆的性质有l PC，又20 2，2111 ，所以kl kPC2kPC所以直线 l的方程为y2 1x2，即x2y6 0；23，4(2)解：因为直线 l与直线3x4y1 0平行，所以kl所以直线l的方程为y2 3x2，即3x4y+ 2= 0，43021，又半径r 3，5因为圆心C1,0到直线l的距离d 所以由弦长公式得AB 2 r2d2 2 91 4 2.20ABCD为圆柱的轴

26、截面， P 为底面半圆周上一点， E为 PC中点，BE AC如图，(1)求证：PB BC；(2)若PA 2PB，求平面 PAD与平面 ABE所成锐二面角的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】 （1）BC 平面 ABP，则有BC AP，再结合已知条件可得PA平面 PBC，则PA BE，再利用线面垂直的判定定理可得BE平面 PAC，则BE PC，从而可得结论，第 13 页 共 16 页23（2）如图，以 P为坐标原点，以 PA，PB为 x，y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【详解】(1)证明：因为 ABCD为圆柱的轴截面，所以BC 平面 ABP，所以BC AP，又因为AP PB，所

27、以PA平面 PBC，所以PA BE，又因为BE AC，ACPA A,所以BE平面 PAC，所以BE PC，因为 E为 PC中点，所以三角形 PBC为等腰三角形，即PB BC；(2)如图，以 P为坐标原点，以 PA，PB为 x，y轴建立空间直角坐标系，设PB 2，则P0,0,0，A4,0,0，B0,2,0，C0,2,2，D4,0,2，可得E0,1,1，设平面 PAD的法向量为m 0,1,0，可得AB4,2,0，BE 0,1,1，设平面 ABE的法向量为n x, y,z，ABn 04x2y 0则，即，不妨令x 1，y z 0BEn 0可得n 1,2,2为平面 ABE的一个法向量，所以cos m,n

28、 mnm n22，1 9323平面 PAD与平面 ABE所成锐二面角的余弦值为21为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛比赛规则如下： 每场比赛有两人参加，并决出胜负； 每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛32的冠军已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为 ，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为35第 14 页 共 16 页12(1)求甲、乙、丙三人共进行了3 场比赛且丙获得冠军的概率；(2)求甲和乙先赛且甲获得冠军的概率1【答案】(1)；55(2).9【分析】 （1）分别求出甲胜乙，再丙胜甲，再丙胜乙和乙胜甲，

29、再丙胜乙，再丙胜甲，两种情况的概率之和即可求解；（2）分别求出甲胜乙，再甲胜丙；甲胜乙，再丙胜甲，再乙胜丙，再甲胜乙；乙胜甲，再丙胜乙，再甲胜丙，再甲胜乙三种情况的概率之和即可求解.【详解】(1)设事件M=“甲、乙、丙三人进行了3 场比赛且丙获得冠军”，则只能是甲乙先赛，丙上场后连胜两场，具体分为两类：甲胜乙，再丙胜甲，再丙胜乙，冠军为丙；乙胜甲，再丙胜乙，再丙胜甲，冠军为丙；所以PM11111；35232552312131(2)设事件N=“甲与乙先赛且甲获得冠军”，则分为三类：N1“甲胜乙，再甲胜丙 ”；N2“甲胜乙，再丙胜甲，再乙胜丙，再甲胜乙”；N3“乙胜甲，再丙胜乙，再甲胜丙，再甲胜乙

30、”；232P(N1) ；35523124P(N2) 1；35234521321P(N3) 11；325315所以PNPN1N2241255N3PN1PN2PN3，545 154595所以甲和乙先赛且甲获得冠军的概率9x2y222 已知椭圆C :221(a b 0)上的动点P到左焦点F1的最远距离是 3， 最近距离ab是 1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l过椭圆C的右焦点F2，且与椭圆C相交于M，N两点，求MF1N的面积的第 15 页 共 16 页最大值.x2y2【答案】(1)143(2)3【分析】 （1）根据距离焦点的最远和最近距离列出a,c的方程，解出a,c的值，求出b2，即可求出

31、椭圆的标准方程；（2）因直线l斜率可以不存在但不能为零，故可设直线方程为l : x my 1，代入椭圆方程，并化简，将MF1N看成两个同底的小三角形MF1F2和NF1F2，在面积和的计算中代入韦达定理的表达式，并化简，最终借助“对勾函数”的单调性求最值.【详解】(1)由题知：ac 3,ac 1，则a 2,c 1，所以b2 a2c2 3，x2y21；故所求椭圆C的标准方程为：43(2)由题知F2(1,0)，直线l斜率不为零，设l : x my 1，mR代入椭圆方程，并化简得：(3m24)y26my 9 0，设M(x1, y1),N(x2, y2)，6my y 123m24，则9y y 123m24SMF1N SMF1F2 SNF1F21F1F2 y1 y2 y1 y222y1 y226m94y1y22423m 43m 4144(m21)12 m21，(3m24)23(m21)1令t m21,t1,，SMF1N12t123t213t 1，t1因为函数y 3t 在1,单调递增，t所以当t 1，即m 0时SMF1Nmax3，故MF1N的面积的最大值为3.第 16 页 共 16 页