2021-2022学年山东省菏泽市高二下学期期中考试数学试题(A)(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 17 页 2021-2022 学年山东省菏泽市高二下学期期中考试数学试题（A）一、单选题 1已知函数2()f xaxb，若0()()lim4xf axf ax，则a（）A2 B2 C2 D2【答案】D【分析】分别利用导数定义和求导公式可得2()24faa，即可得解.【详解】根据导数定义可得0()()li(m)4xf axf afax，又根据求导公式可得 2fxax，所以2()24faa，所以2a .故选：D 2如图，从甲村到乙村有 3 条路可走，从乙村到丙村有 2 条路可走，从甲村不经过乙村到丙村有 2 条路可走，则从甲村到丙村的走法种数为（）A3 B6 C7 D8【答案】D【

2、分析】根据已知条件及分步乘法计数原理，再结合分类加法计数原理即可求解.【详解】由图可知，从甲村直接到到丙村的走法有2种，从甲村到乙村再到丙村的走法有3 26 种，所以从甲村到丙村的走法共有628种.故选:D.3若Ra，“1a”是“函数()()exf xxa在(1,)上有极值”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据已知条件及函数有极值，再利用充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】由题意可知，()(1)exfxxa 第 2 页 共 17 页 令()0fx，即(1)e0 xxa，解得1xa，当1xa时，()0fx；当1xa时，()0fx

3、；所以函数()f x在1xa处取得极小值，因为函数()()exf xxa在(1,)上有极值，所以1 1a，解得2a.所以“1a”是“函数()()exf xxa在(1,)上有极值”的必要不充分条件.故选：B.4函数()yf x导函数()fx的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A函数()yf x的单调递增区间为(1,0)B(3,)为函数()yf x的单调递减区间 C函数()yf x在5x 处取得极小值 D函数()yf x在1x 处切线的斜率小于零【答案】C【分析】利用导函数研究出()yf x的单调区间，极值，即可判断.【详解】由函数()yf x导函数()fx的图象可知：x(,1)-1(1,3)3

4、(3,5)5(5,)()fx-0+0-0+()f x 单减 极小值 单增 极大值 单减 极小值 单增 函数()yf x的单调递增区间为(1,3)，(5,).故 A 错误，B 错误，C 正确.因为()yf x在(1,3)上单调递增，在1x 处导函数的值大于 0，即切线的斜率大于零.所以 D 错误.故选：C 第 3 页 共 17 页 5 已知函数321()223 f xxxx，若存在满足003x的实数0 x，使得曲线()yf x在点 00,xf x处的切线与直线100 xmy平行，则实数 m的取值范围是（）A1 1,6 2 B2,6 C(,2 D11,62【答案】A【分析】求导，根据某点处的切线斜

5、率与导函数在该点处的函数值之间的关系，可得2000()42fxxx，根据两直线平行，斜率相等即可解 m 的取值范围.【详解】由321()223 f xxxx得2()42fxxx，则()yf x在点 00,xf x处的切线斜率为2000()42fxxx，且 0fx在002x上单调递增，在020 x，e1xfxx ,因为()f x是定义在 R 上的奇函数,所以 e1=e1xxf xfxxx ，故 A 对.0 x 时，令 e1=0 xf xx,解得1x，由()f x是定义在 R 上的奇函数，所以第 7 页 共 17 页-1x 时()=0f x，又(0)=0f；故函数()f x有 3 个零点，故 B

6、不对.0 x 时，令 e1 0 xf xx,解得1x；0 x 时，令()e(1)0 xf xx，解得-10 x，故()0f x 的解集为(1,0)(1,)，所以 C 对.当0 x 时，()e(1)xf xx，()e(2)xfxx，当-2fx，此时单调递增，当2x时，0()fx，此时单调递减，且当-x 时，()0f x，-0 x 时，()1f x 所以 2e,1f x 由()f x是定义在 R 上的奇函数，故当0 x 时，21,ef x，因此对12,x xR，都有 122f xf x，故 D 对.故选:ACD 11为提升学生劳动意识和社会实践能力，新华中学高二年级利用周末进行社区义务劳动该校决定

7、从高二年级共 6 个班中抽取 20 人组成社区服务队参加活动，其中 6 班有2 个“劳动之星”，“劳动之星”必须参加且不占名额，每个班都必须有人参加，则（）A若 6 班不再抽取学生，则共有419C种分配方法 B若 6 班有除“劳动之星”外的学生参加，则共有519C种分配方法 C若每个班至少有 3 人参加，则共有 90 种分配方法 D若根据需要 6 班有 4 人参加，其余至少三人参加，则共有 75 种分配方案【答案】AB【分析】AB 利用插空法求解判断；CD 利用分类计数原理求解判断.【详解】A.若 6 班不再抽取学生，则 20 个名额分配到 5 个班，且每个班至少 1 个，由插空法，将其分成

8、5 组，共有419C种分配方法，故正确；B.若 6 班有除“劳动之星”外的学生参加，则 20 个名额分配到 6 个班，且每个班至少 1个，由插空法，将其分成 6 组，则共有519C种分配方法，故正确；C.若每个班至少有 3 人参加，相当于 16 个名额被占用，还有 4 个名额需要分配到 6 个班，分 5 类，第一类 4 个名额分到一个班，有 6 种，第二类一个班 3 个，一个班 1 个有26A30 种，第三类 2 个班都是 2 个名额则有2615C 种,第四类 2 个班各 1 个名额，另一个班 2 个名额，则有1265C C60 种,第五类 4 个班都是 1 个名额则有46C15 种,共有12

9、6 种分配方法，故错误；D.若根据需要 6 班有 4 人参加，其余至少三人参加，相当于 17 个名额被占用，还有 3第 8 页 共 17 页 个名额需要分配到 5 个班，第一类 3 个名额分到一个班，有 5 种，第二类一个班 2 个，一个班 1 个有25A20 种，第三类 3 个班都是 1 个名额则有35C10 种,则共有 35 种分配方案，故错误；故选：AB 12对于函数 lnf xxx，下列判断正确的是（）A 1f xx B 224ff C当120 xx时，2212122m xxf xf x恒成立，则1m D若函数 2F xf xax有两个极值点，则实数10,2a【答案】BD【分析】利用导

10、数求出函数 1g xf xx的最小值，可判断 A 选项；计算出 2f、4f 的值，可判断 B 选项；分析可知函数 22h xf xmx在0,上为减函数，可知ln1xmx对任意的0 x 恒成立，利用导数法可判断 C 选项的正误；分析可知直线2ya与函数 ln1xp xx在0,上的图象有两个交点（非切点），数形结合求出实数a的取值范围，可判断 D 选项的正误.【详解】对于 A 选项，令 1ln1g xf xxxxx，其中0 x，lng xx，当01x时，0gx，此时函数 g x单调递减，当1x 时，0g x，此时函数 g x单调递增，所以，10g xg，即 1f xx，A 错；对于 B 选项，ln

11、1fxx，则 222ln 22ln42ln4 14ff，B 对；对于 C 选项，由已知可得 22112222f xmxf xmx，构造函数 2222 lnh xf xmxxxmx，则 12h xh x，所以，函数 h x在0,上为减函数，则 22ln20h xxmx对任意的0 x 恒成立，即ln1xmx对任意的0 x 恒成立，令 ln1xp xx，其中0 x，则 2ln xp xx，令 0p x，可得1x，列表如下：第 9 页 共 17 页 x 0,1 1 1,p x 0 p x 增 极大值 减 所以，函数 p x在1x 处取得极大值，亦即最大值，即 max11p xp，则m1，C 错；对于

12、D 选项，22lnF xf xaxxaxx，则 ln1 2Fxxax，令 0Fx，可得ln12xax，则直线2ya与函数 ln1xp xx在0,上的图象有两个交点（非切点），如下图所示：当021a时，即当102a时，直线2ya与函数 ln1xp xx在0,上的图象有两个交点（非切点），D 对.故选：BD.三、填空题 13 已知车轮旋转的角度（单位：rad）与时间 t（单位：s）之间的关系为225()8tt，则车轮转动开始后第3.2s时的瞬时角速度为_rad/s【答案】20【分析】求导，然后将3.2代入导函数计算即可求出结果.【详解】因为225()8tt，则25()4tt，则25(3,2)3.2

13、204，故答案为：20.14已知函数()f x的导函数为()fx，且满足()2()sinf xxfx，则()f_ 【答案】1 第 10 页 共 17 页【分析】求导以后令x，即可求出结果.【详解】因为()2()sinf xxfx，则()2()cosfxfx，令x，则()2()cosff，即()1f，故答案为：1.15 已知函数()e(1)ln(1)(1)xf xaxaxax，（e为自然常数），若()f x在区间1,1e上单调递增，则实数 a的取值范围为_【答案】(e,e1【分析】由 f x在区间1,1e上有意义，求得ea，根据题意转化为()0fx在区间1,1e上恒成立，即eln(1)10 xa

14、ax 在1,1e上恒成立，设 eln(1)1xg xaax，利用导数求得函数的单调性与最小值 1eln(1)1gaa，转化为eln(1)10aa 成立，设 eln(1)1h aaa，利用导数得到 h a在(e,)上单调递减，根据e 10h，得到1ae，即可求解.【详解】由题意，函数 f x在区间1,1e上有意义，则10ax 在1,1e上恒成立，可得ea，又由函数()e(1)ln(1)(1)xf xaxaxax，可得()eln(1)1xfxaax，因为函数 f x在区间1,1e上单调递增，即()0fx在区间1,1e上恒成立，即eln(1)10 xaax 在1,1e上恒成立，设 eln(1)1xg

15、 xaax，可得 2e1xagxax，根据初等函数的性质，可得 g x在1,1e上单调递增，所以 21e01agxga，所以 eln(1)1xg xaax在1,1e上单调递减，且最小值为 1eln(1)1gaa，只需 10g成立，即eln(1)10aa 成立，第 11 页 共 17 页 设 eln(1)1h aaa，其中ea，可得 01ah aa，所以 eln(1)1h aaa 在(e,)上单调递减，又由e 10h，所以1ae，综上可得，实数a的取值范围是(e,e1.故答案为：(e,e1.四、双空题 16甲、乙、丙三位教师指导五名学生 a、b、c、d、e 参加全国高中数学联赛，每位教师至少指导

16、一名学生若每位教师至多指导两名学生，则共有_种分配方案；若教师甲只指导一名学生，则共有_种分配方案【答案】90 70【分析】（1）根据题意，分 2 步进行分析：将 5 名学生分成 3 组，人数分别为(2，2，1)，将分好的三组，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，分 2 步进行分析：从 5 名学生任选 1 名学生分配给甲教师指导，剩下 4 名学生分成 2 组，安排其余两位教师辅导，由分步计数原理计算可得答案【详解】解：（1）根据题意，分 2 步进行分析：将 5 名学生分成 3 组，人数分别为(2，2，1)，有225322C C15A种分组方法，将分好的三组全排列，安排给三位教师，有33

17、A6种情况，则有15690种分配方案；（2）根据题意，分 2 步进行分析：从 5 名学生任选 1 名学生分配给甲教师指导，有 5 种情况，剩下 4 名学生分成 2 组，安排其余两位教师辅导，有2232424222(C4C C)A1A种情况，则有5 14 70种分配方案 故答案为：90；70 五、解答题 17已知2x 是函数32()81f xxaxx的一个极值点(1)求实数 a的值；(2)求函数()f x在区间 4,3上的最大值和最小值【答案】(1)1a 第 12 页 共 17 页(2)maxmin203(),()4727f xf x 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意(2)0f，即可得到方

18、程，解得即可，再检验即可；（2）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得到函数的极值，再计算出区间端点值，即可得到函数在闭区间上的最值；【详解】(1)解：因为32()81f xxaxx，所以2()328fxxax 因为2x 是()f x的一个极值点 所以(2)0f，所以(2)12480fa，1a，经检验，1a 符合题意(2)解：由（1）可知32()81f xxxx，()(2)(34)fxxx 令()0fx，解得43x 或2x，令()0fx，解得423x，因为 4,3x，所以()f x在44,3上单调递增，423,上单调递减，(2,3)上单调递增，所以 f x在43x 处取得极大值，在2x

19、 处取得极小值，又因为(4)47f ，4203327f，(2)11f，(3)5f，所以max203()27f x，min()47f x 18已知函数()2lnf xxx(1)求函数()f x的单调区间和极值；(2)设()()(2),0g xf xax a，若(0,xe时，()g x的最小值是 2，求实数 a 的值（e是自然对数的底数）【答案】(1)单调增区间是1,2，单调减区间是10,2.当12x 时，()f x取得极小值且为1()1 ln22f，无极大值(2)实数 a 的值是e.【分析】（1）求出()f x的定义域，令导函数大于 0，小于 0，即可得函数()f x的单调区间，再由极值的定义即

20、可求得极值.（2）求出 g x的导函数，分类讨论，确定函数的单调性，利用()g x的最小值是 2，即可求出 a的值.【详解】(1)()f x定义域是121(0,),()2xfxxx，第 13 页 共 17 页 当()0fx时，12x，当()0fx时，102x，所以()f x的单调增区间是1,2，单调减区间是10,2.当12x 时，()f x取得极小值且为1()1 ln22f，无极大值(2)因为()()(2)lng xf xaxaxx，所以11()axg xaxx，当1ea，即10ea时，()0g x，所以()g x在(0,e上递减，所以()min()1e2eg xga，解得3ea（舍去），当1

21、0ea，即1ea时，当10 xa时，()0g x，当1exa时，()0g x，所以 min11ln2g xgaa，解得ea 满足条件，综上，实数 a的值是e 19（1）计算：3477747842AAAA（2）已知56711710mmmCCC，求1236678mmmmCCCC的值【答案】（1）34；（2）126.【分析】（1）根据排列数的计算公式即可得解；（2）根据组合数的计算公式即可得解.【详解】（1）3477747842476 5276 5 476 5 43 2 1 8 76 5 AAAA 76543123765(432 18)164 （2）由56711710mmmCCC可得!(5)!(6)

22、!7(7)!5!6!107!mmmmmm 即!(5)!(6)(5)!7(7)(6)(5)!5!6 5!1076 5!mmmmmmmmm，可得(6)(7)(6)1610 6mmm，整理可得：223420mm，解得2m 或21m，因为05m，可得2m，所以23453454556678778889126CCCCCCCCCC 20已知函数()cossinf xxxx(1)当(0,2 x时，讨论函数()f x的单调性；(2)若01b，证明：当(0,x时，()cossinf bxbxbxbx 第 14 页 共 17 页【答案】(1)函数()f x在(0,上单调递减，函数()f x在(,2 上单调递增(2)

23、证明见解析【分析】（1）对函数 f x求导后，；易得0 x；又0,x时，sin0 x，,2x 时，sin0 x；结合判断 fx在0,2的符号情况，得到单调性；（2）欲证()cossinf bxbxbxbx即证sinsin0bxbx；先讨论当0b，1b，显然式子成立；再讨论01b，则0bxx，所以sinsin0bxbx等价于sinsin0bxbxbxbx，即证明sinsinbxxbxx，构造函数sin(),(0,xg xxx，利用导数讨论 g x的单调性，得出sinsinxbxxbx即可.【详解】(1)()cossincossinfxxxxxxx，当(0,x时，()0fx，所以函数()f x在(

24、0,上单调递减；当(,2 x时，()0fx，所以函数()f x在(,2 上单调递增(2)()cossinf bxbxbxbx，所以不等式化为cossincossinbxbxbxbxbxbx，即证sinsin0bxbx，当0b，1b 时上述不等式显然成立 当01b时，令sin(),(0,xg xxx，则2cossin()xxxg xx，由（1）知函数()cossinf xxxx在(0,上单调递减，而(0)0f，所以()cossin(0)0f xxxxf，所以()0g x，所以函数()g x在(0,上单调递减，又0bxx，所以sinsinxbxxbx，所以sinsinbxbx，即sinsin0bx

25、bx 综上，当(0,x时，()cossinf bxbxbxbx【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不不等式，等价转化的数学思想、同构的数学思想等知识，属于中等题，常用方法有如下几种：方法一:等价转化是证明不等式成立的常见方法，其中利用函数的对称性定义，构造对称差函数是解决极值点偏移问题的基本处理策略；方法二:比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，构造函数利用函数的单调性证明的不等式即可，例如对数平均不等式的证明；方法三:利用不等式的性质对原不等式作等价转换后，利用导数证明相关的式子成立，本题欲证sinsin0bxbx的关键在于对不等式作等价转换；因为0bx，

26、同时除以bx，第 15 页 共 17 页 转换为：sinsinxbxxbx不等式的证明.21自动着陆系统是引导航空器着陆的自动控制系统，是自动化飞行的重要标志，对飞行器的安全性起着重要的作用在研制自动着陆系统时，技术人员需要分析研究飞行器的降落曲线如图一飞行器水平飞行的着陆点为原点 O，已知航空器开始降落时的飞行高度为4.5km，水平飞行速度为360km/h，且在整个降落过程中水平速度保持不变出于安全考虑，飞行器垂直加速度的绝对值不得超过110g（此处210m/sg 是重力加速度）若飞行器在与着陆点的水平距离是0 x时开始下降，飞行器的降落曲线是某三次多项式函数的一部分，飞行器整个降落过程始终

27、在同一个平面内飞行，且飞行器开始降落和落地时降落曲线均与水平方向的直线相切 (1)求飞行器降落曲线的函数关系式；(2)求开始下降点0 x所能允许的最小值（结果保留整数，305.4761）【答案】(1)3203200900013500(),0,f xxxxxxx(2)开始下降点0 x所能允许的最小值为16428m【分析】(1)根据题意列方程，求出函数 f x 的解析式；(2)根据相应的物理知识以及题目所给的限定条件即可求出0 x 的最小值.【详解】(1)由于飞行器的若陆点为原点 O，故可设飞行器的降落曲线为32()f xaxbxcx，根据题意得 004500000fxffx 所以32000200

28、45000320axbxcxcaxbxc，解得30209000013500axcbx ，第 16 页 共 17 页 飞行器降落曲线的函数关系式为3203200900013500(),0,f xxxxxxx；(2)设飞行器经过降落时间 t后与若陆点的水平距离为00 xxv t（0v为水平速度，且0360km/h100m/sv），则320000032000900013500,0,xyxv txv ttxxv，所以垂直下降速度220003027000()vv tyv tx tx，所以垂直下路加速度2220000000320002700027000()2,0,vvxv tv tx tv txtxxv，

29、所以飞行器的垂直加速度绝对值的最大值为2002max0027000()xvv tvvx，所以22002027000100m/s,10m/s10vgvgx，解得03000 3016428mx，所以飞行器开始下降点0 x所能允许的最小值为16428m；综上，3203200900013500(),0,f xxxxxxx，0 x所能允许的最小值为16428m.22已知函数 2e2 exxf xkkx(1)若函数()f x的图象在点(0,(0)f处的切线与 y轴垂直，求实数 k 的值和()f x的极值；(2)当0k 时，若函数()f x有两个零点，求实数 k取值得范围【答案】(1)1k，()0f x极小

30、，无极大值；(2)(0,1)【分析】（1）首先利用切线与y垂直得出斜率为0，利用导数的几何意义得出方程式，求出k，再根据导函数的正负得出原函数的增减以及极值情况.（2）根据函数的单调性求出最小值，再判断最小值与0的大小关系，可确定函数与x轴的交点情况，即是函数的零点，找出有两个零点的k的取值范围.【详解】(1)函数()f x的定义域为 R，22 e2 e1e12e1xxxxfxkkk，由题意知(0)0f，得10k ，所以1k 所以 e12e1xxfx，当0 x 时，()0fx，函数()f x单调递增，当0 x 时，()0fx，函数()f x单调递减，第 17 页 共 17 页 所以当0 x 时

31、，函数()f x取得极小值，()0f x极小，无极大值(2)由（1）知 e12e1xxfxk，由题设知0k，当lnxk 时，()0fx，函数()f x单调递增，当lnxk 时，()0fx，函数()f x单调递减，所以当lnxk 时，()f x取得最小值，最小值为1(ln)1ln fkkk 当1k 时，由于(ln)0fk，故()f x只有一个零点；当1k 时，由于11ln0kk，即(ln)0fk，故()f x没有零点；当01k时，11ln0kk，即(ln)0fk，又 4222e2 e22e20fkk，故()f x在(,ln)k有一个零点 设正整数0n满足03ln1nk，则 00000000ee2e20nnnnf nkknnn，由于3ln1ln kk，所以()f x在(ln,)k有一个零点 综上，k的取值范围为(0,1)