2022年二次函数与特殊的三角形 .pdf

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1、精品资料欢迎下载二次函数与特殊的三角形第一组等腰三角形 (2016山东临沂， 26，13 分) （5）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+10 与 x 轴， y 轴相交于A，B两点点C的坐标是 (8 ，4) ，连接 AC ，BC (1)求过 O ， A，C三点的抛物线的解析式，并判断ABC的形状； (2)动点 P从点 O出发，沿OB以每秒 2 个单位长度的速度向点B 运动；同时，动点Q从点 B出发，沿 BC以每秒 1 个单位长度的速度向点C运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为t 秒，当 t 为何值时， PA=QA ？ (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M

2、，使以 A ，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页精品资料欢迎下载(2016 新疆建设兵团，23，13 分） 如图，抛物线23(0)yaxbxa的顶点为E，该抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于点C，且 BO=OC=3AO，直线113yx与 y 轴交于点 D （12）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 PBC 是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的 P 点坐标，若不存在，请说明理由精选学习资料 -

3、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页精品资料欢迎下载(2016 重庆 A，26，12 分 )如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线212 3333yxx与 x轴交于 AB 两点 (点 A 在点 B 的左侧 )，与 y 轴交于点C，抛物线的顶点为点E. (1)判断 ABC 的形状，并说明理由；(2)经过 BC 两点的直线交抛物线的对称轴于点D， 点 P 为直线 BC 上方抛物线上的一动点，当PCD 的面积最大时，点Q 从点 P 出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y 轴上的点N 处，最后沿适

4、当的路径运动到点A处停止 . 当点 Q 的运动路径最短时，求点N 的坐标及点Q 经过的最短路径的长；(3)如图 2， 平移抛物线， 使抛物线的顶点E 在射线 AE 上移动，点 E 平移后的对应点为点E ，点 A 的对应点为点A. 将AOC 绕点 O 顺时针旋转至 11AOC的位置，点AC 的对应点分别为点1A，1C，且点1A恰好落在AC 上，连接1C A，1C E. 1A C E是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E的坐标；若不能，请说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页精品资料欢迎下载第二组直角

5、三角形10. （ 2016 山东省枣庄市，25，10 分） 如图，已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线 x 1，且经过 A(1，0)，C(0，3)两点，与x 轴的另一个交点为B若直接ymxn 经过 B，C 两点，求抛物线和直线BC 的解析式；在抛物线的对称轴x 1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与点C 的距离之和最小，求点M 的坐标；设点 P为抛物线的对称轴x 1 上的一个动点，求使BPC 为直角三角形的点P 的坐标x y O C A B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页精品资料欢迎下载答案：

6、1、(1) 解：令 y=0，则 2x+10=0，x=5， A(5，0)把 x=0 代入 y= 2x+10，得 y=10， B(0， 10) 设过 O ， A ，C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，可得025506484cabcabc，=?+=?+=?解得16560abc，=?=?=?-抛物线的解析式为y=16x256x3 分ABC是直角三角形，理由如下：B(0，10) ，A(5，0)，OA=5 ，OB=10 ， AB2=125，AB=5 5C(8 ，4)， A(5， 0)， AC2=25，AC=5B(0，10) ，C(8，4)， BC2=100，BC=10 AC2+BC2=AB2，

7、ABC是直角三角形，且C=905 分(2) PA=QA ，又 PA2=(2t)2+52，QA2=(10 t)2+52，(2t)2+52=(10 t)2+52，解得 t=103故当运动时间为103秒时， PA=QA 8 分(3) 存在抛物线 y=16x256x 过 O，A两点，则对称轴是x=52，设 M的坐标为 (52， m)，当 AM=BM 时， M是 AB的垂直平分线与抛物线的交点，设抛物线的对称轴与x 轴交于点P，与 AB交于点 Q ，由题意可知PQ y 轴， P是 OA的中点，Q是 AB的中点，AB的垂直平分线与抛物线的对称轴的交点就是Q，此时不能形成三角形当 AB=BM 时， (52)

8、2+(10 m)2=AB2=125，解得 m1=205 192+， m2=205 192-，M1(52，205 192+) ，M2(52，205 192-) 10 分当 AB=AM 时， (5 52)2+m2=AB2=125，解得 m3=5 192，m4=5 192，M3(52，5 192) ，M4(52，5 192) 综上所述，存在点M ，共有4 个点，分别是M1(52，205 192+) ，M2(52，205 192-) ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页精品资料欢迎下载M3(52，5 192) ，M4(52，

9、5 192) 12 分解： （1）由抛物线23(0)yaxbxa，令 x=0，得 y=3 C（0， 3） ，OC=3 BO=OC=3AO，OB=3，AO=1A（ 1，0） ，B（3，0）代入23(0)yaxbxa，得：30,9330abab解得：1,2ab抛物线的解析式为223yxx（2）P1（1，1） ，P2（1，317 ） ，P3（1，317 ） ，P4（1，14 ） ，P5（1，14 ）设点 P 的坐标为（ 1，m）分三种情况讨论：若 PC=PB，则 PC2=PB2即2222(31)1(3)mm解得： m=1，P1（1， 1） 若 PC=BC，则 PC2=BC2即2221(3)(3 2)

10、m解得：1317m，2317mP2（1，317 ） ，P3（1，317 ）若 PB=BC，则 PB2=BC2即222(31)(3 2)m解得：114m，214mP4（1，14 ） ，P5（1，14 ）综上所述， 可知满足条件的点P 的坐标共有5 个，分别是 P1（1，1） ，P2（1， 317 ） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页精品资料欢迎下载P3（ 1，317 ） ，P4（1，14 ） ， P5（1，14 ）3、(1)ABC 为直角三角形，理由如下：当 y=0 时，即212 33033xx，解这个方程，得12

11、3,3 3xx. 点 A(3，0)，B(3 3，0). OA=3，OB=33. 当 x=0 时， y=3，点 C(0，3)， OC=3. 在 RtAOC 中，222223312ACOAOC. 在 RtBOC 中，222223 3336BCOBOC. 又223 3348AB，12+36=48，222ACBCAB. ABC 为直角三角形 . (2)如图 1，点 B(3 3，0)，C(0，3)，直线BC 的解析式为333yx. 过点 P 作 PG/y 轴交直线BC 于点 G. 设点 P(a，212 3333aa)，则点 G(a，333a)，PG=(212 3333aa)(333a)=2133aa.

12、设点 D 的横坐标为Dx，点 C 的横坐标为Cx. 211133223PCDDCSxxPGaa233 39 3628a. 03 3a，当3 32a时， PCD 的面积最大，此时点P(3 32，154). 如图 1，将点 P 向左平移3个单位至点P ，连接 AP交 y 轴于点 N，过点 N 作 NM抛物线对称轴于点M，连接 PM. 点 Q 沿 PMNA 运动，所走的路程最短，即最短路径的长为 PM+MN+NA 的长 . 点 P(3 32，154)，点 P(32，154). 又点 A(3，0)，直线AP的解析式为5 3562yx. 当 x=0 时， y=52，点 N(0，52). 精选学习资料 -

13、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页精品资料欢迎下载过点 P作 P Hx 轴于点 H，则有 HA=3 32，PH=154， AP=3 374. 点 Q 运动的最短路径的长为PM+MN+AN=3 374+3=3 374 34. (3)如图 2，在 RtAOC 中， tanOAC=333OCOA， OAC=60 . OA=1OA，1OAA为等边三角形，1AOA=60 ，1BOC=30 . 又由13OCOC，得点13 3 3,22C. 点 A(3，0)，E(3， 4)， AE=2 7. 2 7A EAE. 直线 AE 的解析式为2 323y

14、x，设点 E(a，2 323a)，则点 A(2 3a，2 323a). 222213 32 33735 324923233C Eaaaa. 若11C AC E，则有2211C AC E，即22773735 37493333aaaa. 解这个方程，得3 32a，点 E(3 32，5). 若1C AA E，则有221C AA E，即27353492833aa，解这个方程，得15 3392a，25 3392a. 点 E(5 3392，713)或(5 3392，713). 若1E AE C，则有221E AE C，即277 372833aa，解这个方程，得13392a，23392a. 点 E(3392，313). 综上所述， 符合条件的点E的坐标为 (3 32， 5)或 (5 3392，713)或(5 3392，713)或(3392，313). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页