大学物理课件0机械振动.ppt

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1、大学物理课件0机械振动 Four short words sum up what has lifted most successful Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more. individuals above the crowd: a little bit more. -author -author -date-date 物体在一定位置附近的位移变化满足物体在一定位置附近的位移变化满足简谐函数形式，称为简谐函数形式，称为简谐运

2、动简谐运动。弹簧振子弹簧振子 单摆单摆 复摆复摆xo弹Fx以弹簧振子为例以弹簧振子为例, 振子受力是振子受力是kxF由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得 xxmkmFdtxda222NoImage（动力学特征）（动力学特征）式中式中: mk2 上式可以改写为微分方程形式上式可以改写为微分方程形式0222xdtxd其解为其解为)cos(tAx式中式中A、是待定常数，此式称为简谐是待定常数，此式称为简谐运运动动的的运动运动方程方程。(称为称为角频率角频率）运动学特征）运动学特征）dtdx tA sin)cos(2tA+=dtda )cos(2 tA)cos(tA2 四、四、描述简谐振动的物理量描述简谐

3、振动的物理量1. 振幅振幅（Amplitude）离开平衡点的最大量值的绝对值。离开平衡点的最大量值的绝对值。给出振动量的变化幅度。给出振动量的变化幅度。注意注意：A、A、2A分别分别是位移、速度、是位移、速度、 加速度振幅。加速度振幅。 完成一次全振动所需的时间完成一次全振动所需的时间T，单位是单位是秒（秒（s）。）。)cos( tAx表示表示：由运动方程由运动方程)(cos)cos(TtAtA 2 T 2 Tkm 2 简谐运动的周期是决定于系统自身的简谐运动的周期是决定于系统自身的常量，又称为常量，又称为固有周期固有周期(natural neriod)。T12或或式中式中是角是角频率频率,

4、单位是单位是rads-1 频率频率只与振动系统自身性有关只与振动系统自身性有关,也称为也称为固有频率固有频率(natural frequency) 。 t + 称为称为相位相位, , 称为初相位，称为初相位，单位单位是是rad 。1o 相位的意义是：相位的意义是：由运动方程可知：由运动方程可知：t = 0时刻时刻Axcos0A0sinooooxxAtan,2225. 相位差相位差( (phase fifference) ) 两个简两个简表示表示: )()(1122tt)()(1212t对对同同频频情情况况：121o )cos(1111 tAx)cos(2222 tAx)()(1122tt 12

5、12 ttt2o 两振动到达同一状态的时间差是两振动到达同一状态的时间差是x参考圆参考圆 AA t+ ox tt = 0 xxpOKPEEE2k2P2121mEkxE)cos(tAx由由)sin(tA)(cos2221 tkAEp)(sintAmE222k21以弹簧振子为例以弹簧振子为例:2kA21E xo x1o tpEkExE能量随时间变化能量随时间变化能量随空间变化能量随空间变化xpEAAxkEEE2o TppdtETE01 22204121cos1kAdttkATT TkkdtETE01 dttmATT 2220sin121241kA EEEpk21 )cos(111 tAx)cos(

6、222 tAx合振动位移合振动位移 x 就是就是 x1 与与 x2 的代数和的代数和21xxx 2211coscos tAtA特点特点: 1=2= , x1 / x2表示表示: 对如下两个振动对如下两个振动合成结果为频率合成结果为频率 为为 的简谐振动的简谐振动)cos( tAx)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsin AAAAtg k2)1(12 ,1,0k21AAA 12)2(12 k ,1,0k21AAA )cos(212212221 AAAAAox1 x2 xtox1 x2 xt当当A1=A2时：时：合振幅最小值是合振幅最小值是0 0。合振幅最大

7、值是合振幅最大值是2A1 ；为为其其它它值值时时123)(则则A在上述两者之间。在上述两者之间。二、相互垂直同频率二、相互垂直同频率特点特点: 1=2= , 21xx )cos(11tAx)cos(22tAy对如下两个振动对如下两个振动合成得到质点的轨迹方程是合成得到质点的轨迹方程是)(sin)cos(1221221222212AAxy2AyAx,)(210kk112xAA1y12k)(质点沿质点沿1、3(2、4）象限直线作）象限直线作 = 0yx = yxNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImag

8、eNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage = 3 /2 = 5 /4 = /2 = /4PQ质点轨迹正椭圆质点轨迹正椭圆质点轨迹是任意形质点轨迹是任意形状椭圆。状椭圆。321k21k2212,)()(1AyAx222212NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoIma

9、geNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage其其它它值值 12)3( F 称为称为阻尼系数阻尼系数条件：条件：适用于适用于物体低速运动物体低速运动情况情况以弹簧以弹簧振子振子为例为例xofF ,弹x 022 xmkdtdxmdtxd 阻尼振动阻尼振动微分方程微分方程m 2 kxdtxdm22或写为或写为定义固有角频率定义固有角频率0和阻尼因子和阻尼因子，有有mk 20 022022 xdtdxdtxd 通解：通解：ttececx)(2)(1202202 0 令令220

10、 )cos( tAextA 与与 由初始条件确定由初始条件确定方程的解可写成方程的解可写成txotAe T这时是准周期性振动这时是准周期性振动:22022 T0 由通解由通解ttececx)(2)(1202202 两项都衰减，不两项都衰减，不是周期振动，是周期振动，不能往不能往复运动。复运动。如单摆放在粘滞的油筒中摆如单摆放在粘滞的油筒中摆到平衡位置须很长时间。到平衡位置须很长时间。otx0 方程方程解解teccx )(21 衰减函数衰减函数 临界阻尼达到平衡位临界阻尼达到平衡位置的时间最短，但仍不置的时间最短，但仍不能超过平衡位置。能超过平衡位置。otx过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻

11、尼otx欠阻尼欠阻尼0 过阻尼过阻尼 0 临界阻尼临界阻尼0 弹性力弹性力kxF 弹弹阻尼力阻尼力 阻阻F驱驱动力动力tFF cos策策 物体在周期性外力持续作用下发生振物体在周期性外力持续作用下发生振动，称为动，称为受迫振动受迫振动，这个外力称为，这个外力称为驱动力驱动力以以弹簧弹簧振子为例，振子受力有振子为例，振子受力有则运动方程是则运动方程是thxdtdxdtxd cos22022式中式中,2m ,20mk mFh 受迫振动方程受迫振动方程的解为的解为)cos()cos(0 tAteAxt此式表明：此式表明： 第一项为阻尼振动项，当时间较长时衰第一项为阻尼振动项，当时间较长时衰减为减为0

12、。第二项为第二项为驱驱动力产生的动力产生的简谐运动简谐运动。当系统达到稳定状态后，方程的解是当系统达到稳定状态后，方程的解是)cos( tAx2222204)( hA2202 tg稳定的受迫振动是一个与驱动力同频率的稳定的受迫振动是一个与驱动力同频率的余弦振动，其振幅和初相是余弦振动，其振幅和初相是0 A小阻尼小阻尼大阻尼大阻尼阻尼阻尼00 A0 A F A0 ddA022 dAd2222204)( hA 当驱动力频率接近或等于系统固有频当驱动力频率接近或等于系统固有频率时，受迫振动振幅急剧达到最大值的现率时，受迫振动振幅急剧达到最大值的现象称为象称为共振共振，其频率称为，其频率称为共振频率共

13、振频率。由表达式由表达式利用关系利用关系0 A小阻尼小阻尼大阻尼大阻尼阻尼阻尼0 共振频率与系统自共振频率与系统自身性质和阻尼常数有关身性质和阻尼常数有关。2202 hAr2202 r相应的相应的最大振幅最大振幅和和共振频率共振频率是是0 A小阻尼小阻尼大阻尼大阻尼阻尼阻尼0共振危害；共振危害； 共振利用。共振利用。振子共振振子共振 鱼洗鱼洗共振现象共振现象3 证明：在小角度下单摆作简谐运动。证明：在小角度下单摆作简谐运动。 lmmgFT0证明证明:1、细线质量不计、细线质量不计3、阻力不计、阻力不计 sin052、约约定定质点重力矩：质点重力矩： sinmglM mgl 质点动量矩：质点动量

14、矩： lmL dtdlml 由动量矩定理由动量矩定理MdtdL lgdtd 22 lmmgFT0则则令令,2lg 0222 dtd方程的解是：方程的解是： tcos0其中，单摆的周期是其中，单摆的周期是glT 22 1. 、 的确定：的确定：A00cossinxAvA 2200200arctanvAxvx2. (结合周期T,结合旋转矢量法) ：2km3.振动方程：振动方程：4.振动合成：振动合成：5.振动能量：振动能量：1 一水平弹簧振子做简谐振动，振幅一水平弹簧振子做简谐振动，振幅A=4A=4 1010-2-2m m，周期周期T=2sT=2s，t=0t=0时，时，试分别写出这两种情况下的振动

15、方程。试分别写出这两种情况下的振动方程。解：解：1 由初始条件由初始条件3 m3t104x2)cos(1 1 ，且向负方向运动；，且向负方向运动；mx20102 2 2 ，且向正方向运动；，且向正方向运动；mx20102 cos2AA 0sin0 A2同理：同理： 32m32t104x2)cos(说明说明：利用旋转矢量法可以更方便求解初利用旋转矢量法可以更方便求解初始相位。始相位。 cos2AA 0sin0 Av0 0 x0A/2-A/2如图：如图：31322 已知一简谐振动曲线已知一简谐振动曲线,求振动方程求振动方程.2解解: 由图可知由图可知02Ax0too,:3xv0 00A/2t=5,

16、 x=0: 23t6 m3t6106x2)cos(635)10(2mx )(st 一质点作简谐振动，其振动方程一质点作简谐振动，其振动方程 （SI），试用旋转矢量法求出），试用旋转矢量法求出质点由初始状态（质点由初始状态（t=0的状态）运动到的状态）运动到x=-0.12， 0的状态所需最短时间的状态所需最短时间t。 31232330.6672t)3121cos(24.0txt = 0tAr32300 . 1 20 . 2 4- 0 . 1 2- 0 . 2 4x 一质点沿一质点沿x轴作简谐振动，其圆频率轴作简谐振动，其圆频率 ，试写出以下初始状态下的振动方程：其初始位移，试写出以下初始状态下的

17、振动方程：其初始位移 ，初始速度，初始速度4设振动方程为：设振动方程为： cos()xAt07.5cosxcmA1075sincmsA 2200()10.6Axcm210.610cos(10)4xt1075cms1010rads07.5xcm001tgx 00cos0 , sin04xAA 位移是振幅一半时位移是振幅一半时, , 动能和势能各动能和势能各是总能量的多少是总能量的多少? ?在什么位置动能和势能各在什么位置动能和势能各是总能量的一半是总能量的一半? ?5x = A/2代入代入 中中221kxEp )21(412kAEp 22214121kAkAEk 22143kA 22212121

18、kAkxEp Ax226 弹簧振子沿弹簧振子沿x x轴做简谐振动，其振动轴做简谐振动，其振动的最大位移的最大位移xm=0.3m，最大恢复最大恢复Fm=1.2N，最大速度最大速度 m=1.2 ms-1。t=0时刻的初位移是时刻的初位移是 , ,且方向同且方向同x轴正方向一致。轴正方向一致。求求:1:1振动能量振动能量; 2; 2振动方程振动方程. .解解:1:1kAkxFmm 43 . 02 . 1 kmA 43 . 02 . 1 JkAE18.0212 2 由初始条件由初始条件一弹簧振子沿一弹簧振子沿x x轴做简谐振动，已知其振动的最大位移轴做简谐振动，已知其振动的最大位移xm=0.3=0.3

19、m m，最大恢复力最大恢复力F Fm m=1.2N=1.2N，最大速度最大速度 m m=1.2=1.2 ms-1. .当当t=0t=0时的初位时的初位移移 , ,且方向同且方向同x轴正方向一致轴正方向一致. .求求:1:1振动能量振动能量; 2; 2振振动方程动方程. .Ax230 AAx23cos0 NoImage0sin0 A6 )64cos(3 .0 txxv0 00A237)24cos(10.01 tx)24cos(05.02 tx求：全振动表达式。求：全振动表达式。 一物体同时参与同一直线上的两个一物体同时参与同一直线上的两个简谐振动，其方程分别为：（简谐振动，其方程分别为：（SI）

20、直接考察两个振动位相差：直接考察两个振动位相差： 05.021 AAA21AA 21 )SI()24cos(05.0 tx 一质点在一质点在x轴做谐振动，周期为轴做谐振动，周期为T，当质点从当质点从A/2处运动到处运动到 A处时经历的最短处时经历的最短时间为时间为 A （A） T/12 （B）T/6 （C）T/8（D） T/24 8116212tTT32x0A23 一质点沿一质点沿x轴作简谐振动，振动方程轴作简谐振动，振动方程 为为(SI)，从，从t=0时刻起，时刻起，到质点位置在到质点位置在x=-2cm处，且向处，且向x轴正方向运轴正方向运动的最短时间间隔为动的最短时间间隔为 C s。 （A

21、） 1/8 （B）1/4 （C）1/2 （D） 1/6 92212T-214 10 cos(2)3xtx011222tTT 一质点同时参与两个在同一直线上的一质点同时参与两个在同一直线上的谐振动，其振动方程分别为谐振动，其振动方程分别为 ， cm，则关于合振动有结论，则关于合振动有结论 B 。 （A）振幅等于）振幅等于1cm，初相等于，初相等于 ； （B）振幅等于）振幅等于1cm，初相等于，初相等于 ； （C）振幅等于）振幅等于7cm，初相等于，初相等于 ； （D）振幅等于）振幅等于1cm，初相等于，初相等于 。 10014cos(2/6)cmxt)6/72cos(32txx64376 一物体质量为一物体质量为0.25kg，在弹性力作用，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的倔强系数下作简谐振动，弹簧的倔强系数k25 ，如果起始振动时具有势能，如果起始振动时具有势能0.06J和动能和动能0.02J，求（，求（1）振幅；（）振幅；（2）动能恰等于势）动能恰等于势能时的位移；（能时的位移；（3）经过平衡位置时物体的）经过平衡位置时物体的速度。速度。作业作业11Nm1