选修2-1-第三章-空间向量及其运算知识点.doc

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1、选修选修 2-1-2-1-第三第三章章- -空间向量及其空间向量及其运算知识点运算知识点Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a littlebit more.-author-dateXDBFBWTBXSM(HT9-3.13.1空间向量及其运算知识点空间向量及其运算知识点1 1 空间向量的有关概念空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量(2)单位向量：模为 1 的向量称为单位向量(3)相等向量：方向相同且模相等的向量(4)共线向量

2、：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量(5)共面向量：平行于同一个平面的向量2.2.空间向量的加法、减法与数乘运算空间向量的加法、减法与数乘运算XDBFBWTBXSM(HT9-向量的加减法满足平行四边形法则和三角形法则向量加法的多边形法则：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向量加法的多边形法则：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量向末尾向量的终点的向量112231nnnOAOAA AA AAAuuur uuu r uuuu r uuuu ruuuuu r. .运算律：加法交换律：abba加法结合律：(ab)ca(bc)数乘分配律：(a

3、b)ab.3 3共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)(1)共线向量定理共线向量定理XDBFBWTBXSM(HT9-对空间任意两个向量对空间任意两个向量a a，b b( (b b0)0)，a ab b的充要条件是存在实数的充要条件是存在实数，使得，使得a ab b. .推论：点点P P在在直线直线ABAB上的充要条件上的充要条件是：存在实数存在实数，使得，使得APABuuu ruuu r或对空间任意一点或对空间任意一点 O,O,有有OPOAABuuu ruuruuu r或对空间任意一点或对空间任意一点O O，有，有OPxOAyOBuuu ruur

4、uuu r其中其中x xy y1 1【推论推导过程：()(1)OPOAABOAAOOBOAOBuuu ruuruuu ruuruuu ruuu ruuruuu r】( (2 2) )共面向量定理共面向量定理XDBFBWTBXSM(HT9-如果两个向量如果两个向量a a，b b不共线不共线，那么，那么p p与与a a，b b共面的充要条件是存在唯一有序实共面的充要条件是存在唯一有序实数对数对（x,yx,y）使使p pxaxaybyb推论：空间一点空间一点 P P 位于平面位于平面 ABCABC 内的充要条件内的充要条件是存在唯一有序实数对存在唯一有序实数对（x,yx,y）使）使APxAByACu

5、uu ruuu ruuu r，或对空间任意一点或对空间任意一点O O，有，有OPOAxAByACuuu ruuruuu ruuu r或对空间任意一点或对空间任意一点O O，有，有OPxOAyOBzOCuuu ruuruuu ruuu r，其中其中x xy yz z1 1【推论推导过程：(1)OPOAxAByACxy OAxOByOCuuu ruuruuu ruuu ruuruuu ruuu r】(3)(3)空间向量基本定理空间向量基本定理XDBFBWTBXSM(HT9-如果三个向量a a，b b，c c不共面，那么对空间任一向量p p，存在有序实数组x，y，z，使得p pxa ayb bzc

6、c基底：把a a，b b，c c叫做空间的一个基底，空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底4 4 空间向量的数量积及运算律空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角两向量的夹角：已知两个非零向量a a，b b，在空间任取一点O，作OAa a，OBb b，则AOB叫做向量a a与b b的夹角，记作a a，b b，其范围是 0a a，b bXDBFBWTBXSM(HT9-，若a a，b b2，则称a a与b b互相垂直，记作a ab b.两向量的数量积两向量的数量积：已知空间两个非零向量a a，b b，向量a a，b b的数量积记作a ab b，且a ab b|a|ba|

7、b|cosa a，b b(2)空间向量数量积的运算律： 结合律：(a a)b b(a ab b)； 交换律：a ab bb ba a； 分配律：a a(b bc c)a ab ba ac c.5 5 空间向量的坐标表示及应用空间向量的坐标表示及应用设a a(a1，a2，a3)，b b(b1，b2，b3)(1)数量积的坐标运算：a ab ba1b1a2b2a3b3.XDBFBWTBXSM(HT9-(2)共线与垂直的坐标表示：a ab ba ab ba1b1，a2b2，a3b3(R R)，a ab ba ab b0a1b1a2b2a3b30(a a，b b均为非零向量)(3)模、夹角和距离公式：|

8、a a|a aa aa21a22a23，cosa a，b ba ab b|a|b|a|b|a1b1a2b2a3b3a21a22a23b21b22b23.设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB|AB|a2a12b2b12c2c12.XDBFBWTBXSM(HT9-6. 用空间向量解决几何问题的一般步骤：(1)适当的选取基底a a，b b，c c；(2)用a a，b b，c c表示相关向量；(3)通过运算完成证明或计算问题题型一题型一空间向量的线性运算空间向量的线性运算用已知向量来表示未知向量，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角XDBFBWTBXSM(HT9-形或平行四

9、边形中，表示为其他向量的和与差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系例例 1 1：三棱锥三棱锥O OABCABC中，中，M M，N N分别是分别是OAOA，BCBC的中点，的中点，G G是是ABCABC的重心，用基的重心，用基向量向量OAOA，OBOB，OCOC表示表示MGMG，OGOG.解析：MGMAAG12OA23AN12OA23(ONOA)12OA2312(OBOC)OA16OA13OB13OC.OGOMMG12OA16OA13OB13OC13OA13OB13OC.XDBFBWTBXSM(HT9-例例 2 2：如图所示，如图所示，ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D

10、1 1中，中，ABCDABCD是平行四边形若是平行四边形若AEAE1 12 2ECEC，A A1 1F F2 2FDFD，且，且1=x+y+zEFABADAAuuu ruuu ruuu ruuu r, ,试求试求x x、y y、z z的值的值.解连接AF，EFEAAF.EA13AC13（ABAD）AFADDFADFDAD13A1DAD13（A1AAD）12133ADA Auuu ruuu rEFEAAF1111333ADAAABuuu ruuu ruuu r题型二题型二共线定理应用共线定理应用XDBFBWTBXSM(HT9-向量共线问题：向量共线问题：充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表

11、示 a a 与 b b，化简得出 a ab b，从而得出 a ab b，即 a a 与 b b 共线点共线问题点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明 A、B、C 三点共线，即证明AB与AC共线例例 3 3：如图所示，四边形如图所示，四边形ABCDABCD，ABEFABEF都是平行四边形且不共面，都是平行四边形且不共面，M M，N N分别分别是是ACAC，BFBF的中点，判断的中点，判断CECE与与MNMN是否共线？是否共线？111111()()222222CECBBEMNMCCBBNACCBBABEACBACBBECBBEuuruuruuruuuruuu ruuruuu r

12、uuu ruuruuruuruuu ruuruuruuruuruurXDBFBWTBXSM(HT9-CE2MN，CEMN，即CE与MN共线例例 4 4：如图所示，在正方体如图所示，在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E在在A A1 1D D1 1上，且上，且A A1 1E E2 2EDED1 1，F F在对在对角线角线A A1 1C C上，且上，且A A1 1F F2 23 3F FC C. .求证：求证：E E，F F，B B三点共线三点共线证明：设ABa a，ADb b，AA1c c.XDBFBWTBXSM(HT9-A1E2ED1=23AD2

13、3b b，A1F23FC25A1C=25(ACAA1)25(ABADAA1)25a a25b b25c cE FA1FA1E25a a415b b25c c25a a23b bc，EBEA1A1AAB23b bc ca aa a23b bc c，EF25EB.所以E，F，B三点共线题型题型三三共共面面定理应用定理应用XDBFBWTBXSM(HT9-点共面问题点共面问题：证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明 P、A、B、C 四点共面，只要能证明PAxPByPC，或对空间任一点 O，有OPOAxPBy PC或OPxOAyOBzOC(xyz1)即可例例 5 5：已知已知A A、B B、C

14、 C三点不共线，对于平面三点不共线，对于平面ABCABC外一点外一点O O，若，若O OP P2 25 5O OA A1 15 5OBOB2 25 5O OC C，则点，则点P P是否与是否与A A、B B、C C一定共面？试说明理由一定共面？试说明理由解析：解析：XDBFBWTBXSM(HT9-212212212 (+)(+)(+)=+553553553OPOAOBOCOP PAOP PBOP PCOPPAPBPCuuu ruuruuu ruuu ruuu r uuruuu r uuruuu r uuu ruuuruuruuruuu rAP15AB25AC，故A、B、C、P四点共面.例例 6

15、 6：如图所示，已知：如图所示，已知 P P 是平行四边形是平行四边形 ABCDABCD 所在平面外一点，连结所在平面外一点，连结 PAPA、PBPB、PCPC、PDPD，点，点 E E、F F、G G、H H 分别为分别为PABPAB、PBCPBC、PCDPCD、PDAPDA 的重心，应用向的重心，应用向量共面定理证明：量共面定理证明：E E、F F、G G、H H 四点共面四点共面证明：分别延长 PE、PF、PG、PH 交对边于 M、N、Q、R.XDBFBWTBXSM(HT9- E、F、G、H 分别是所在三角形的重心，M、N、Q、R为所在边的中点顺次连结M、N、Q、R，所得四边形为平行四边

16、形，且有PE23PM，PF23PN，PG23PQ，PH23PR.EGPGPE23PQ23PM23MQ23(MNMR)23(PNPM)23(PRPM)23(32PF32PE)23(32PH32PE)EFEH.由共面向量定理得E、F、G、H四点共面.例例 7 7：正方体正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E，F F分别是分别是BBBB1 1和和A A1 1D D1 1的中点，求证向量的中点，求证向量A A1 1B B，XDBFBWTBXSM(HT9-B B1 1C C，E EF F是共面向量是共面向量证明：如图所示，EFEBBA1A1F12B1BA1B

17、12A1D112(B1BBC)A1B12B1CA1B.由向量共面的充要条件知A1B，B1C，EF是共面向量题型题型四四空间向量数量积的应用空间向量数量积的应用XDBFBWTBXSM(HT9-例例 8 8：如图所示，平行六面体如图所示，平行六面体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，以顶点中，以顶点A A为端为端点的三条棱长都为点的三条棱长都为 1 1，且两两夹角为，且两两夹角为 6060. .(1)(1)求求ACAC1 1的长；的长；(2)(2)求求BDBD1 1与与ACAC夹角的余弦值夹角的余弦值解析：解析：(1)记ABa a，ADb b，AA1c c，则|a

18、a|b b|c c|1，a a，b bb b，c cc c，a a60，a ab bb bc cc ca a12.|AC1|2(a ab bc c)2a a2b b2c c22(a ab bb bc cc ca a)1112121212 6，|AC1| 6，即AC1的长为 6.(2)BD1b bc ca a，ACa ab b，|BD1| 2，|AC| 3，BD1AC(b bc cXDBFBWTBXSM(HT9-a a)(a ab b)b b2a a2a ac cb bc c1.cosBD1，ACBD1AC|BD1|AC|66.AC与BD1夹角的余弦值为66.已知空间四边形已知空间四边形ABCD

19、ABCD的每条边和对角线的长都等于的每条边和对角线的长都等于a a，点，点E E、F F分别是分别是BCBC、ADAD的中点，则的中点，则AEAEAFAF的值为的值为( () )Aa2B.12a2C.14a2D.34a2XDBFBWTBXSM(HT9-解析：解析：设ABa a，ACb b，ADc c，则|a a|b b|c c|a，且a a，b b，c c三向量两两夹角为 60.AE12(a ab b)，AF12c c，AEAF12(a ab b)12c c14(a ac cb bc c)14(a2cos60a2cos60)14a2.题型题型五五空间向量坐标运算空间向量坐标运算例例 9 9：如

20、图所示，如图所示，PDPD垂直于正方形垂直于正方形ABCDABCD所在平面，所在平面，ABAB2 2，E E为为PBPB的中点，的中点，XDBFBWTBXSM(HT9-coscosDPDP，AEAE3 33 3，若以，若以DADA，DCDC，DPDP所在直线分别为所在直线分别为x x，y y，z z轴建立空间直轴建立空间直角坐标系，则点角坐标系，则点E E的坐标为的坐标为 ( () )A(1,1,1)B.1，1，12C.1，1，32D(1,1,2)设PDa(a0)，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E1，1，a2 ，DP (0,0 ，a) ，AE1，1，a2 ， cos

21、DP，AE 33， a22a2a2433，a2.E的坐标为(1,1,1)XDBFBWTBXSM(HT9-例例 1010：已知a a(2，1,3)，b b(1,4，2)，c c(7,5，)若a a，b b，c c三向量共面，则实数=_解 析 ： 由 题 意 得c cta ab b (2t， t 4， 3t 2) ， 72t，5t4，3t2.t337，177，657.例例 1111：已知已知ABCABC 的顶点的顶点 A(1,1,1)A(1,1,1)，B(2,2,2)B(2,2,2)，C(3,2,4)C(3,2,4)，试求，试求ABCABC 的面积的面积XDBFBWTBXSM(HT9-AB(1,1

22、,1)，AC(2,1,3)，|AB| 3，|AC| 14，ABAC2136，cosAcosAB，AC63 14642.sinA1364217.SABC12|AB|AC|sinA12 3 141762.例例 1212：已知a a(1,0,2)，b b(6,21,2)，若a ab b，则与的值可以是()A2，12B13，12C3,2XDBFBWTBXSM(HT9-D2,2解析由题意知：1622，210，解得2，12或3，12.例例 1313：已知空间中三点已知空间中三点A A( (2,0,2)2,0,2)，B B( (1,1,2)1,1,2)，C C( (3,0,4)3,0,4)，设，设a aAB

23、AB，b bACAC. .，若若kakab b与与kaka2 2b b互相垂直，求实数互相垂直，求实数k k的值的值方法一ka ab b(k1，k,2)ka a2b b(k2，k，4)，且ka ab b与ka a2b b互相垂直，(k1，k,2)(k2，k，4)(k1)(k2)k280，k2或52，XDBFBWTBXSM(HT9-方法二由(2)知|a a| 2，|b b| 5，a ab b1，(ka ab b)(ka a2b b)k2a a2ka ab b2b b22k2k100，得k2 或52.例例 1414：已知空间三点已知空间三点A A(0,2,3)(0,2,3)，B B( (2,1,6

24、)2,1,6)，C C(1(1，1,5)1,5)(1)求以AB，AC为边的平行四边形的面积；(2)若|a a| 3，且a a分别与AB，AC垂直，求向量a a的坐标解(1)cosAB，ACABAC|AB|AC|23614 1471412.sinAB，AC32，以AB，AC为边的平行四边形的面积为S212|AB|AC|sinAB，XDBFBWTBXSM(HT9-AC14327 3.（2 2）设a a(x，y，z)，由题意得x2y2z232xy3z0 x3y2z0，解得x1y1z1或x1y1z1，例例 1515：如图所示，在正方体如图所示，在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1

25、1D D1 1中，中，E E、F F分别在分别在A A1 1D D、ACAC上，且上，且A A1 1E E2 23 3A A1 1D D，AFAF1 13 3ACAC，则，则 ( () )A AEFEF至多与至多与A A1 1D D、ACAC之一垂直之一垂直B BEFEF与与A A1 1D D、ACAC都垂直都垂直C CEFEF与与BDBD1 1相相交交D DEFEF与与BDBD1 1异面异面XDBFBWTBXSM(HT9-解析：设AB1，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0

26、,1,0)，E13，0，13 ，F23，13，0，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A1D(1,0，1)，AC(1,1,0)，EF13，13，13 ，BD1(1，1，1)，EF13BD1，A1DEFACEF0，从而EFBD1，EFA1D，EFAC.例例 1616：已知已知O O(0,0,0)(0,0,0)，A A(1,2,3)(1,2,3)，B B(2,1,2)(2,1,2)，P P(1,1,2)(1,1,2)，点，点Q Q在直线在直线OPOP上运上运动，当动，当QAQAQBQB取最小值时，点取最小值时，点Q Q的坐标是的坐标是_XDBFBWTBXSM(HT9-解析：解析：设OQOP(，2

27、)，则QA(1，2，32)，QB(2，1，22)QAQB(1)(2)(2)(1)(32)(22)6216106(43)223.当43时，QAQB取最小值为23.此时，OQ(43，43，83)，综合练习XDBFBWTBXSM(HT9-一、选择题1、下列命题：其中不正确的所有命题的序号为_若A、B、C、D是空间任意四点，则有ABBCCDDA0；|a a|b b|a ab b|是a a、b b共线的充要条件；若a a、b b共线，则a a与b b所在直线平行；对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OPxOAyOBzOC(x、y、zR R)，则P、A、B、C四点共面设命题p：a a，b b，c

28、c是三个非零向量；命题q：a a，b b，c c为空间的一个基XDBFBWTBXSM(HT9-底，则命题p是命题q的充要条件解析：选，中四点恰好围成一封闭图形，正确；中当a a、b b同向时，应有|a a|b b|a ab b|；中a a、b b所在直线可能重合；中需满足xyz1，才有P、A、B、C四点共面；只有不共面的三个非零向量才能作为空间的一个基底，应改为必要不充分条件2、有下列命题：其中真命题的个数是()若p pxa ayb b，则p p与a a，b b共面；若p p与a a，b b共面，则p pXDBFBWTBXSM(HT9-xa ayb b；若MPxMAyMB，则P，M，A、B共面

29、；若P，M，A，B共面，则MPxMAyMB.A1B2C3D4解析其中为真命题中，若a a，b b 共线，则共线，则 p pxa ayb b；3、已知A(1,0,0)，B(0，1,1)，OAOB与OB的夹角为 120，则的值为()XDBFBWTBXSM(HT9-A66B.66C66D 6解析：OAOB(1，)，cos120122 212，得66.经检验66不合题意，舍去，66.4、 如图所示，已知PA平面ABC，ABC120，PAABBC6，则PC等于()A6 2B6C12D144解析PC2(PAABBC)2=PA2AB2BC22ABBC363636XDBFBWTBXSM(HT9-236cos

30、60144|PC|12证明设ABa a，ACb b，ADc c，则BGBAAGBA34AMa a14(a ab bc c)34a a14b b14c c，BNBAANBA13(ACAD)a a13b b13c c43BG.BNBG，即B、G、N三点共线5、正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM12MC1，N为B1B的中点，则|MN|为 ()XDBFBWTBXSM(HT9-A.216aB.66aC.156aD.153a解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，Na，a，a2 .设M(x，y，z)点M在AC1上且AM12MC

31、1，(xa，y，z)12(x，ay，az)x23a，ya3，za3.M2a3，a3，a3， |MN| XDBFBWTBXSM(HT9-a23a2aa32a2a32216a.6、如图所示，已知空间四边形OABC，OBOC，且AOBAOC3，则 cosOA，BC的值为 ()A0B.12C.32D.22解析设OAa a，OBb b，OCc c，由已知条件a a，b ba a，c c3，且|b b|c c|，XDBFBWTBXSM(HT9-OABCa a(c cb b)a ac ca ab b12|a|ca|c|12|a|ba|b|0，cosOA，BC0.7、如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1

32、D1中，M为A1C1与B1D1的交点若ABa a，ADb b，AA1c c，则下列向量中与BM相等的向量是 ()A A12a a12b bc cB.12a a12b bc cC12a a12b bc cD.12a a12b bc cXDBFBWTBXSM(HT9-解析BMBB1B1MAA112(ADAB)c c12(b ba a)12a a12b bc c.8、8、平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量AB，AD，AA1两两的夹角均为 60，且|AB|1，|AD|2，|AA1|3，则|AC1|等于()A5B6C4D8设ABa a，ADb b，AA1c c，则AC1a ab bc c，AC1

33、2a a2b b2c c22a ab b2b bc c2c ca a25，|AC1|5.9、在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是()XDBFBWTBXSM(HT9-A.OM3OA2OBOCBOMOAOBOC0CMAMBMC0DOM14OBOA12OC解析：C 中MAMBMC.故M、A、B、C四点共面二、填空题10 、 同 时 垂 直 于a a (2,2,1) 和b b (4,5,3) 的 单 位 向 量 是_解析设与a a(2,2,1)和b b(4,5,3)同时垂直b b单位向量是c c(p，q，r)，则XDBFBWTBXSM(HT9-p2q2r21，2p2qr0，4p5q3r0，解得p

34、13，q23，r23，或p13，q23，r23，所求向量为13，23，23或13，23，23 .11 若向量a a(1，2)，b b(2，1,2)且a a与b b的夹角的余弦值为89，则_.解析由已知得89a ab b|a|b|a|b|2452 9，8 523(6)，解得2 或255.XDBFBWTBXSM(HT9-12 在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)、B(10，1,6)、C(x,4,3)为顶点的ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为_解析由题意知ABAC0，|AB|AC|，可解得x2.13 已知a a3b b与 7a a5b b垂直，且a a4b b与 7a a2b

35、b垂直，则a a，b b_.解析由条件知(a a3b b)(7a a5b b)7|a a|216a ab b15|b b|20，及(a a4b b)(7a a2b b)7|a a|28|b b|230a ab b0.两式相减，得 46a ab b23|b b|2，a ab b12|b b|2.XDBFBWTBXSM(HT9-代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a a|b b|.cosa a，b ba ab b|a|b|a|b|12|b b|2|b b|212.a a，b b60.14.如图所示，已知二面角l的平面角为0，2，ABBC，BCCD，AB在平面内，BC在l上，CD在平面内，若AB

36、BCCD1，则AD的长为_解析:AD2(ABBCCD)2=AB2BC2CD22ABCD2ABBC2BCCD1112cos()32cos.XDBFBWTBXSM(HT9-15 已知a a(1t,1t，t)，b b(2，t，t)，则|b ba a|的最小值为_解析b ba a(1t,2t1,0)，|b ba a|1t22t125t15295，当t15时，|b ba a|取得最小值3 55.三、解答题16、如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q在CA1上，且CQQA141，设ABa a，ADb b，AA1c c

37、，用基底a a，b b，c c表示以下向量：(1)AP；(2)AM；XDBFBWTBXSM(HT9-(3)AN；(4)AQ.(1)AP12(ACAA1)12(ABADAA1)12(a ab bc c)(2)AM12(ACAD1)12(AB2ADAA1)12(a a2b bc c)(3)AN12(AC1AD1)12(ABADAA1)(ADAA1)12(AB2AD2AA1)12(a a2b b2c c)12a ab bc c.(4)AQACCQAC45(AA1AC)15AC45AA115AB15AD45AA115a a15b bXDBFBWTBXSM(HT9-45c c17、如图，已知M、N分别为

38、四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GMGA13.求证：B、G、N三点共线18 (13 分)直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D、E分别为AB、BB的中点XDBFBWTBXSM(HT9-(1)求证：CEAD；(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值(1)证明：设CAa a，CBb b，CCc c，根据题意，|a a|b b|c c|且a ab bb bc cc ca a0.CEb b12c c，ADc c12b b12a a.CEAD12c c212b b20，CEAD，即CEAD.(2)ACa ac c，|AC| 2|a a|，|CE|52|a a|.ACCE(a aXDBFBWTBXSM(HT9-c c)b b12c c12c c212|a a|2，cosAC，CE12|a a|2252|a a|21010.即异面直线CE与AC所成角的余弦值为1010.