选修4-4坐标系与参数方程专题复习.doc

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1、 选修4-4坐标系与参数方程专题复习一、基础知识梳理1.伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x,y)对应到点，即点(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线x叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.3.点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的XOM叫做点M的极角，记为.有序数对叫做点M的极坐标，记为M. 极坐标与表示同一个点

2、.极点O的坐标为.4.若,则,规定点与点关于极点对称，即与表示同一点.如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的.5.极坐标与直角坐标的互化：，.6.圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是； 在极坐标系中，以(a0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是；在极坐标系中，以(a0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是.7.直线的极坐标方程：在极坐标系中，表示以极点为起点的一条射线；表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是.8.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标中

3、x,y都是某个变数t的函数 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系x,y的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.9.常见曲线的参数方程（1）圆的参数方程可表示为.（2）椭圆(ab0)的参数方程可表示为(为参数)（3）抛物线的参数方程可表示为.（4）过点P0(x0，y0)，且倾斜角为的直线的参数方程的标准形式为(t为参数)(i)直线的参数方程的一般形式：，转化为标准形式：.(ii)参数t的几何意义是：直线上定点到直线上动点的有向线段的数量.即(iii)直线与圆锥曲

4、线相交于两点A,B，交点对应的参数分别为，则弦长.(iv)定点是相交弦AB的中点.(v)设弦AB中点为点M，则点M相对应的参数，则.10.在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致.二、相关公式(1)直线的斜率：(i)定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，即tan(90)；倾斜角为90的直线没有斜率；(ii)斜率公式：经过两点、的直线的斜率为；中点坐标公式.(2)点到直线的距离及两平行直线间的距离：(i)点到直线的距离；(3)辅助角公式：，.其中：.(4)直线截圆所得弦长(其中d为圆心到直线的距离)

5、(5)(i)正余弦展开公式；(ii)二倍角公式：； 对应变形公式：【典例分析】题型一、极坐标、参数方程、直角坐标方程之间的互化1.在极坐标系中，求圆与直线的位置关系.2.求直线()截曲线的弦长.3.已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为（1）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线，是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由题型二、距离、面积问题4.在曲线：上求一点，使它到直线：的距离最小，并求出该点坐标和最小距离.5.在椭圆上找一点，写出椭圆的参数方程并在椭圆上找这一点到直线的距离的最小值和最大值，并求出相应点的坐标.6.平面直角坐

6、标系中，已知曲线，将曲线上所有点横坐标，纵坐标分别伸长为原来的倍和倍后，得到曲线. (1)试写出曲线的参数方程;(2)在曲线上求点，使得点到直线的距离最大，并求距离最大值.7.(2009海南宁夏理)已知曲线：(t为参数)，： .(1)化的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线：（t为参数）距离的最小值。8.(2016新课标2)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x+6)2+y2=25. (1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，AB=，求l的斜率.

7、9.(2014新课标I理)已知曲线，直线：(为参数).(1)写出曲线的参数方程，直线的普通方程；(2)过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值与对应点的坐标.10.(2016新课标3)在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)写出的普通方程和的直角坐标方程；(2)设点P在上，点Q在上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.11.(2017新课标1)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为. (1)若a=1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.1

8、2.(2015新课标1)在直角坐标系中，直线:=2，圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求，的极坐标方程；(2)若直线的极坐标方程为，设与的交点为,，求的面积.13.已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为(为参数).(1)求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；(2)设曲线与直线相交于、两点，以为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积.14.已知在平面直角坐标系xoy内，点P(x,y)在曲线C:(为参数)上运动，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.(1)写出曲线C和直线l的普通方程

9、；(2)若直线了l与曲线C相交于A,B两点，点M在曲线C上运动，求面积的最大值.15.以直角坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系点M的极坐标为(，)，且tan ，椭圆C：1. (1)求点M的直角坐标与曲线C的参数方程；(2)过点M的直线l与椭圆C交于A、B两点，且M为线段AB的中点，P是C上的一个动点，求PAB面积的最大值16.(2014新课标II理)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为 (1)求得参数方程；(2)设点在上，在处的切线与直线垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定的坐标题型三、直线参数方程中t的几何意义17.已知直线经过点,

10、倾斜角.(1)写出直线的参数方程；(2)设与圆相交于两点,求点到两点的距离之和与距离之积.18.平面直角坐标系xOy中，曲线C：(x1)2y21.直线l经过点P(m，0)，且倾斜角为.(1)求圆C和直线l的参数方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|PB|1，求实数m的值.19.在直角坐标系xoy中，直线的参数方程为(t为参数)，在极坐标系与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为。(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线交于点A、B，若点P的坐标为，求.20.在平面直角坐标系中，直线的参数方程是(为参数)，以为极点，轴的正

11、半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线与曲线交于两点.(1)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；(2)把直线与轴的交点记为，求的值.21.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位。且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B若点P的坐标为(1,2),求的最小值22.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l的参数方程为(t为参数，0)，曲线C的极坐标方程为sin24cos.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2

12、)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当变化时，求|AB|的最小值.题型四、轨迹问题23.设过原点的直线与圆：的一个交点为，点为线段的中点.(1)求圆C的极坐标方程；(2)求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线.24.将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)求曲线C的标准方程；(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.25.在极坐标系中，已知圆C的圆心，半径r3.(1)求圆C的极坐标方程;(2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且2，求动点

13、P的轨迹方程.26.(2010海南宁夏)已知直线C1（t为参数），C2（为参数），(1)当=时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点作的垂线，垂足为，为的中点，当变化时，求点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线27.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，其中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，为曲线与的交点.(1)当时,求点的极径；(2)点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程.28.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，直线的参数程为(为参数)，设直线与的交点为,当变化时点的轨迹为曲线.(1)求出曲线的普通方程；(2)以坐标原点为极点，轴

14、的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点为曲线的动点，求点到直线的距离的最小值及对应点的坐标.29.(2013新课标II)已知动点，都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为与()，为的中点(1)求的轨迹的参数方程；(2)将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点30.(2017新课标2)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为(1)若M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足，求点P的轨迹的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值31.(2017新课标3)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方

15、程为(t为参数)，直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.题型五、极坐标的运用32.(2013新课标)已知曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)把的参数方程化为极坐标方程；(2)求与交点的极坐标().33.(2011新课标)在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线(1)当求的方程；(2)在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的

16、交点为，与的异于极点的交点为，求34.极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以正半轴为极轴，已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程是(为参数，射线与曲线交于极点外的三点.(1)求证：；(2)当时，两点在曲线上，求与的值35.(2012新课标理)已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的极坐标为.(1)求点的直角坐标；(2)设为上任意一点，求的取值范围.36.在直角坐标系xoy中，曲线的参数方程为.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为. (1)求与交点的直角坐标；(2

17、)过原点O作直线l，使l与，分别交于点A,B(A,B与点O均不重合)，求的最大值.37.(2015新课标2)在直角坐标系中，曲线(为参数，)，其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线(1)求与交点的直角坐标；(2)若与相交于点，与相交于点，求的最大值38.在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是(为参数)和(为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C1和C2的极坐标方程；(2)射线OM： = 与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q，求| PQ |的最大值.39.在直角坐标系xOy中，将曲线(t为参数)上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变

18、为原来的2倍，得到曲线C1；以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为. (1)求曲线C1的极坐标方程；(2)已知点，直线l的极坐标方程为，它与曲线C1的交点为O,P，与曲线C2的交点为Q，求MPQ的面积.40.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(，为参数)，在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点(1)求曲线，的方程；(2)若点，在曲线上，求的值41.在直角坐标系中xOy中，已知曲线E经过点P(1,233)，其参数方程为x=acosy=2sin（为参数），以原点O为极点，x轴的正

19、半轴为极轴建立极坐标系 (1)求曲线E的极坐标方程；(2)若直线l交E于点A、B，且OAOB，求证：1|OA|2+1|OB|2为定值，并求出这个定值42.(2016新课标1)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：=4cos .(1)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为=0，其中0满足tan 0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.43.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)曲线C2的参数方程为(，为参数)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：=与C1，C2各有一个交点.当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合.(1)求出a与b的值，并分别说明C1，C2是什么曲线；(2)设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当=时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积.试卷第35页，总35页