初等变换与初等方阵.ppt

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1、1.5初等变换与初等方阵,定义(初等变换)矩阵的3种初等行(列)变换：,定义(矩阵等价),等价矩阵的简单性质：自反性：对称性：传递性,阶梯形矩阵：,非阶梯型矩阵：,行阶梯形矩阵的特点,(1)若有零行,则零行全部在矩阵的下方.(2)从第一行起,每行第一个非0元素前面的零的个数逐行增加.,简化行阶梯型矩阵(行最简形)：,行最简形的特点,(1)具有行阶梯形的特点.(2)非0行的第一个元素为1,且该“1”所在的列的其余元素全为0.,矩阵的标准形,矩阵的标准形的特点,左上角是一个r阶单位阵,其余元素都为零.,定理3任一非零矩阵A,都可以通过有限次初等行变换把它化为阶梯型矩阵,例用初等行变换把矩阵,化为阶

2、梯型矩阵,解,定义,对单位矩阵施以一次初等行(列)变换后所得,到的矩阵称为相应的行(列)初等矩阵。,初等行矩阵分别记为：,初等列矩阵分别记为：,第i行,第j行,第i列,第j列,第i行,第i列,第i行,第j行,第i列,第j列,定理4(初等变换与初等方阵的关系),例如,例如,定理5,初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆阵也为同型的初等矩阵，且有：,定理6,非退化矩阵经过初等变换后仍为非退化矩阵，而退化矩阵经过初等变换后仍为退化矩阵。,定理7,对任一非零矩阵A,必可经过有限次初等变换之后都可化为标准形,定理8,证,任一可逆方阵A必可通过若干次初等行变换化成同阶单位矩阵I.,例,定理9,证：,由定理8以及初等行矩阵与初等列矩阵之间的关系即可得证。,求逆矩阵的初等变换法：由定理9知有初等方阵,例,解,定理10,例,解：,由定理9知若方阵A逆，可通过矩阵的初等变换来求形如AX=B的矩阵的方程的解X或初等列变换来求形如XA=B的矩阵的方程的解X.,例,解：由AX=A+2X，得(A-2I)X=A,