线性代数初等变换与初等矩阵.ppt

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1、1.2 线性代数初等变换与初等矩阵,1.2.1 初等变换1.2.2 初等矩阵及性质（难点）1.2.3 初等变换与逆矩阵 (重点),1.2.1 初等变换,m个方程，n个未知数,对此线性方程组,可做如下三种变换:,(1) 互换两个方程的位置;,(2) 把某一个方程的两边同乘以一个非零常数c;,(3) 将某一个方程加上另一个方程的k倍.,这三种变换都称为初等变换.,这三种变换都是可逆的,我们又把初等变换称为线性方程组的同解变换.,定义1.8,下面三种变换称为矩阵的初等变换:,(1) 对换矩阵的两行(或两列);,以任意非零数乘以矩阵的某一行(列)的每一个元素;,某一行(列)的每个元素乘以同一常数加到另

2、一行(列)的对应元素上去.,初等行变换 row,初等列变换 column,交换i, j两行,数乘第 i 行,数乘第 i行加到第 j 行,交换i, j两列,数乘第 i 列,数乘第 i 列加到第 j 列,1.2.2 初等矩阵,定义1.10 由单位阵I经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵有三种类型:(1)对调I中的第i,j行，得到的矩阵记为Rij； 对调I中的第i,j列，得到的矩阵记为Cij。(2)用不为零的数乘以I中的第i行，得到的矩阵记为Ri()；用不为零的数乘以I中的第i列，得到的矩阵记为Ci()。,(3)以数乘以I中的第i行加到第j行上去，得到的 矩阵记为Rij()；以数乘以I中

3、的第i列加到第j列上去，得到的矩阵记为Cij()。,(1),(2),(3),性质1.4 用初等矩阵左乘某矩阵,其结果等于对该矩阵作相应的初等行变换;用初等矩阵右乘某矩阵,其结果等于对该矩阵作相应的初等列变换.,（1） 对换矩阵A的第i和第j行,（2）用一非零数乘以矩阵A中第i行,（3） 矩阵A的第i行乘以一常数加到第j行,（1） 对换矩阵A的第i和第j列,（2）用一非零数乘以矩阵A中第i列,（3） 矩阵A的第i列乘以一常数加到第j列,初等矩阵与初等变换有什么关系呢？,验证（3）,初等矩阵是可逆的,并且其逆矩阵也是同一类型的初等矩阵,用初等矩阵左乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等行变换；用

4、初等矩阵右乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等列变换。 一般地，矩阵A经过有限次初等变换后得到B，可以记为：B=PAQ,其中P是有限次初等行变换所对应的初等矩阵的乘积，Q是有限次初等列变换所对应的初等矩阵的乘积。,性质1.5 有限个初等矩阵的乘积必可逆。证明：由可逆方阵的性质1.4易得。,结论 可逆矩阵经过有限次初等变换得到的矩阵 仍是可逆阵.,证明,设A可逆,经过有限次初等变换后得到 B=PAQ,其中P,Q分别为有限个初等矩阵的乘积,因而可逆.,由逆矩阵的性质可知B可逆,且有,定理1.6 可逆矩阵可以经过有限次初等行变换化为单 位阵。即可逆矩阵与单位矩阵等价。,定理1.2 方阵P为可逆阵

5、的充分必要条件是P可以表示 为有限个初等矩阵的乘积.,证明,(充分性) 如果P可以表示为有限个初等矩阵的乘积,由定理1.2,P为可逆阵.,(必要性) 由定理1.4,可逆矩阵P可以经过有限次行的初等变换化为单位阵, 即存在初等矩阵,使得,1.2.3 初等行变换与逆矩阵,由定理1.2可知，可逆矩阵A可以分解成若干初等矩阵的乘积。设A=P1P2Pt则有 Pt-1P2-1P1-1A=I 且 Pt-1P2-1P1-1 I = A-1,上面两个式子表明，对矩阵A与I施行同样的行变换，在把A化成单位阵时，I同时就化成A-1。 即得 Pt-1P2-1P1-1（A I） （I A-1）,思想原理：,用初等变换求逆矩阵：,把可逆矩阵A与同阶单位矩阵并行摆放，得到,对这个矩阵实施行的初等变换，最终使左半部分变成I，则右半部分就变成,例,解,同理可以用初等列变换求逆矩阵,注意： 在这两种求逆矩阵的过程中，初等行变换和初等列变换不能混用。,例,求矩阵,的逆。,解,练一练,解,思考题（与习题1.6类似的题型）,1）,2）,1）,2）,