线性代数矩阵的初等变换与初等矩阵ppt课件.ppt

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1、一、初等变换一、初等变换二、初等矩阵二、初等矩阵三、求逆矩阵的初等行变换法三、求逆矩阵的初等行变换法下页第第5 5节节 矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的初等变换与初等矩阵5.1 5.1 初等变换初等变换 交换第交换第i行与第行与第j行记为行记为rirj . . 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 3 8 -1 1 1 -2 1 3 1 -9 3 7r2r4 1 5 -1 -1 3 8 -1 1 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行交换矩阵的某两行(列列)； (2)以数以数k 0乘矩阵的某一行乘矩

2、阵的某一行(列列)； (3)把矩阵的某一行把矩阵的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.例如例如下页第第5 5节节 矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的初等变换与初等矩阵-1 1 3-1 交换第交换第i列与第列与第j列记为列记为cicj . . 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 3 8 -1 1c1c3 5-2-9 8-1 3 7 1 1 1 1 3例如例如下页5.1 5.1 初等变换初等变换 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行交换矩阵的某两行(列列)； (2)以数以数k 0

3、乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(列列)； (3)把矩阵的某一行把矩阵的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上. 用数用数k乘以第乘以第i行记为行记为kri . . 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 3 8 -1 14r2 4 4-812 1-1 5-1 1 3-9 7 3-1 8 1例如例如下页5.1 5.1 初等变换初等变换 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行交换矩阵的某两行(列列)； (2)以数以数k 0乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(列列)； (3)把矩阵的某一行把矩阵

4、的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上. 用数用数k乘以第乘以第i列记为列记为kci . . 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 3 8 -1 14c3-4 412-4 1 5-1 1 -2 3 1 -9 7 3 8 1例如例如下页5.1 5.1 初等变换初等变换 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行交换矩阵的某两行(列列)； (2)以数以数k 0乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(列列)； (3)把矩阵的某一行把矩阵的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.

5、第第i行的行的k倍加到第倍加到第j行记为行记为rj+ +kri . . 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 3 8 -1 1r3-3r1 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 0 -7 2 4例如例如下页5.1 5.1 初等变换初等变换 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行交换矩阵的某两行(列列)； (2)以数以数k 0乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(列列)； (3)把矩阵的某一行把矩阵的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上. 第第i列的列的k倍加到第倍加到

6、第j列记为列记为cj+ +kci . . 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 3 8 -1 1c3+c1 0 2 4 2 1 5-1 1 -2 3 1 -9 7 3 8 1例如例如下页5.1 5.1 初等变换初等变换 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行交换矩阵的某两行(列列)； (2)以数以数k 0乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(列列)； (3)把矩阵的某一行把矩阵的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上. 定义定义2 对单位矩阵对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为施以

7、一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）初等矩阵（或初等方阵）. 初等矩阵有下列三种：初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k)、E(j,i(k) . =E(2, 4) 例如，下面是几个例如，下面是几个4阶初等矩阵：阶初等矩阵：1000010000100001E=0001100000100100r2r4=E(2, 4) 1000010000100001E =0001100000100100c2c4下页5.2 5.2 初等矩阵初等矩阵=E(3(4) 1000010000100001E=00401000010000014 r3=E(3(4) 1000010000100001E=0

8、0401000100000014 c3下页 定义定义2 对单位矩阵对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）初等矩阵（或初等方阵）. 初等矩阵有下列三种：初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k)、E(j,i(k) . 5.2 5.2 初等矩阵初等矩阵例如，下面是几个例如，下面是几个4阶初等矩阵：阶初等矩阵：=Er(2,4(k) 1000010000100001E =010k100000100001r2+kr4=Ec(2,4(k)1000010000100001E=10 000 001 000 1010kc2+kc4下页 定义定义2

9、 对单位矩阵对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）初等矩阵（或初等方阵）. 初等矩阵有下列三种：初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k)、E(j,i(k) . 5.2 5.2 初等矩阵初等矩阵例如，下面是几个例如，下面是几个4阶初等矩阵：阶初等矩阵： 初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵.初等矩阵的可逆性初等矩阵的可逆性E(j,i(k)-1=E(j,i(-k) . E(i(k)-1=E(i(k -1)；E(i, j)-1=E(i, j)； 这是因为，初等矩阵的行列式要么为

10、这是因为，初等矩阵的行列式要么为1,要么为要么为-1,要么为要么为k(k0) . .其逆阵分别为其逆阵分别为:下页 定理定理1 设设A是一个是一个m n矩阵矩阵，对对A施行一次初等行变换相当于施行一次初等行变换相当于在在A的左边乘以相应的的左边乘以相应的m阶初等矩阵阶初等矩阵；对对A施行一次初等列变换施行一次初等列变换相当于在相当于在A的右边乘以相应的的右边乘以相应的n 阶初等矩阵阶初等矩阵.E(1, 2)A= =与交换与交换A的第一行的第一行(列列)与第二行与第二行(列列)所得结果相同所得结果相同.AE(1, 2)= = 例如例如，设设=343332312423222114131211aaa

11、aaaaaaaaaA343332312423222114131211100001010aaaaaaaaaaaa21a22a23a24a14131211aaaa34333231aaaa1000010000010010343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa12a22a32a312111aaa332313aaa342414aaa下页 定理定理1 设设A是一个是一个m n矩阵矩阵，对对A施行一次初等行变换相当于施行一次初等行变换相当于在在A的左边乘以相应的的左边乘以相应的m阶初等矩阵阶初等矩阵；对对A施行一次初等列变换施行一次初等列变换相当于在相当于在A的右边乘以相应

12、的的右边乘以相应的n 阶初等矩阵阶初等矩阵.E(1(3)A= =与与A的第一行的第一行(列列)乘以乘以3所得结果相同所得结果相同.AE(1(3)= = 例如例如，设设=343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA11121314212223243132333430 00100 01a aaaaaaaaaaa113a123a133a143a21222324aaaa34333231aaaa11121314212223243132333430 0 0010 00 0100 0 01a aaaaaaaaaaa113a213a313a122232aaa332313aaa34

13、2414aaa下页=与第三行与第三行(列列)的的2倍加到第一行倍加到第一行(列列)所得结果相同所得结果相同.=例如例如，设设=343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA343332312423222114131211100010201aaaaaaaaaaaa31112aa+34333231aaaa1000010200100001343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa13112aa+23212aa+33312aa+322212aaa332313aaa342414aaaE(1,3(2)A= AE(1,3(2)= 32122aa+33

14、132aa+34142aa+24232221aaaa下页 定理定理1 设设A是一个是一个m n矩阵矩阵，对对A施行一次初等行变换相当于施行一次初等行变换相当于在在A的左边乘以相应的的左边乘以相应的m阶初等矩阵阶初等矩阵；对对A施行一次初等列变换施行一次初等列变换相当于在相当于在A的右边乘以相应的的右边乘以相应的n 阶初等矩阵阶初等矩阵.5.3 5.3 求逆矩阵的初等变换方法求逆矩阵的初等变换方法定理定理2 若若n阶矩阵阶矩阵A可逆，则可以通过可逆，则可以通过初等初等行行变换变换将将A化为单位矩阵化为单位矩阵. . 证证： 因为因为A可逆可逆,即即|A|0，所以，所以A的第一列不全为的第一列不全

15、为0,不妨设不妨设a11 0. .将将A的第一行元素乘以的第一行元素乘以1/a11 ,再将变换后的第一行的再将变换后的第一行的(-ai1)倍加到第倍加到第i行，行，i=2,3,n,使第一列其他元素全化为零，得如下形式矩阵使第一列其他元素全化为零，得如下形式矩阵B1:1110,0BA=由定理由定理1 1知，知， 121,mBFF F A=其中其中Fi是对应初等矩阵是对应初等矩阵. .22100100BA= 一直进行下去，最终把一直进行下去，最终把A化成了化成了单位矩阵单位矩阵E. . 同理可得同理可得B2: 下页 即即B2的第二行第二列元素化为的第二行第二列元素化为1, 第二列的其它元素全化为零

16、第二列的其它元素全化为零. 推论推论 方阵方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是A可以表示为有限个可以表示为有限个初等矩阵的乘积初等矩阵的乘积. .下页 证证 （必要性）假设（必要性）假设A可逆，由定理可逆，由定理2，A经有限次初等行变换经有限次初等行变换可化为单位阵可化为单位阵E , 即存在初等矩阵即存在初等矩阵 sF,F,F21使使 AFFFE12s=11111111121121ssss-=AFFFFEFFFF而而 1111211,-ssFFFF是初等矩阵是初等矩阵. . （充分性）如果（充分性）如果A可表示为有限个初等矩阵的乘积，因为可表示为有限个初等矩阵的乘积，因为初等矩阵都是

17、可逆的，而可逆矩阵的乘积仍然可逆的，所以初等矩阵都是可逆的，而可逆矩阵的乘积仍然可逆的，所以A是可逆矩阵是可逆矩阵. . 利用初等行变换求逆矩阵的方法利用初等行变换求逆矩阵的方法( (要求：熟练掌握要求：熟练掌握) ) 构造一个构造一个 n2n 矩阵矩阵( (A| |E) )，对矩阵，对矩阵( (A| |E) )作初等行变换，作初等行变换，当左部当左部A变成单位矩阵变成单位矩阵E时，右部单位矩阵时，右部单位矩阵E则变成则变成A-1-1. .即即 1- A EE A行变换下页)|(121EAPPPPmm-121121(|)mmmmP PP PA P PP PE-=若若, ,则则1121,mmP

18、PP PA-=)|(1-=AE可知，当通过初等行变换将矩阵可知，当通过初等行变换将矩阵A变成变成E时，经过同样的变换把时，经过同样的变换把E变成变成了了A-1. .于是有于是有即即1121,mmP PP PEA-=EAPPPPmm=-1211BB- 行变换AE A一般地有一般地有. ,343122321 1- - = =AA求求设设解：解：例例1.1. - - - - - - -103620012520001321 = =100343010122001321EA213123rrrr- - - 若矩阵若矩阵A可逆可逆,则矩阵则矩阵(A |E)可经初等行变换化为可经初等行变换化为(E |A- -1

19、).下页 - - - - - - - - -111100012520011201 - - - - - - -111100563020231001.111253232311 - - - - -= =- -A10013235010322001111- - - - - - - 132325rrrr- - - 1232rrrr+ +- -0.5r2-r3下页例例2. 设设 110011101A=111112121B=求求1A B-解解2( 1) 12(1) 31( 1) 3110111101001011112011112101121002122-+-+-= A B12(1) 13323( 1) 210

20、10011001 2100111120101 2010011 2110011 211+-+- 从而从而11 2101 2011 211-=A B解矩阵方程解矩阵方程AXB则得则得 X A- -1B 例例3 求矩阵求矩阵 A= 的逆矩阵的逆矩阵.12-30 1210-512-30 1210-510 00 1000 1解解： 1 0 1 1 0 0 0 1 -2 -2 1 0 0 2 -2 3 0 1r2-2r1r3+3r1 1 0 1 1 0 0 0 1 -2 -2 1 0 0 0 2 7 -2 1r3-2r2 1 0 0 -2.5 1-0.5 0 1 0 5 -1 1 0 0 2 7 -2 1

21、r2+r3r1-0.5r3 1 0 0 -2.5 1-0.5 0 1 0 5 -1 1 0 0 1 3.5 -1 0.5，-2.5 5 3.5 1-1-1-0.5 1 0.5A-1= .r30.5下页(A E )=一、矩阵的秩的概念一、矩阵的秩的概念二、初等变换求矩阵的秩二、初等变换求矩阵的秩下页第第6 6节节 矩阵的秩矩阵的秩 定义定义1 设设A是是mn矩阵，在矩阵，在A中任取中任取k行行k列列(1kminm,n)， 位于位于k行行k列交叉位置上的列交叉位置上的k2个元素，按原有的次序组成的个元素，按原有的次序组成的k阶阶 行列式，称为行列式，称为A的的k阶子式阶子式. 如矩阵如矩阵 第第1

22、,31,3行及第行及第2,42,4列交叉位置上的元素组成的一个二阶子式为列交叉位置上的元素组成的一个二阶子式为 -=230012112011A1202三阶子式共有三阶子式共有4 4个个 110112003-112111002-102121032102121032-下页6.1 6.1 矩阵的秩的概念矩阵的秩的概念第第6 6节节 矩阵的秩矩阵的秩 定义定义2 若矩阵若矩阵A有一个有一个r阶子式不为零，而所有阶子式不为零，而所有r+1阶子式阶子式(如果存在的话如果存在的话)全等于零，则全等于零，则r称为矩阵称为矩阵A的秩，记作的秩，记作r(A). 规定零矩阵的秩为零规定零矩阵的秩为零. . 易见：易

23、见：（1）若）若A是是mn矩阵，则矩阵，则r(A) minm,n. （2）若）若mn矩阵矩阵A中中有一个有一个r阶子式不等于零阶子式不等于零 ，则，则r(A) r； 若所有若所有r+1阶子式全等于零，阶子式全等于零，则则r(A) r. （3） r(A) = r(AT) .（4） r(kA) = r(A)，k0 .（5） 对对n阶方阵阶方阵A，若，若|A|0，则则r(A)=n ,称称A为为满秩矩阵满秩矩阵 ; 若若|A| = 0，则，则r(A)n ,称称A为为降秩矩阵降秩矩阵.结论：结论：n阶方阵阶方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是A满秩满秩. . 下页例例1. 求下列矩阵的秩求下列

24、矩阵的秩. . =690346422321C解解: C的最高阶子式的最高阶子式三三阶子式全部阶子式全部都等于零，即都等于零，即 =9036423216034422212324640096=132264396=但二阶子式但二阶子式 126030= - 所以所以 . 2)(=Cr下页例例2. 求下列矩阵的秩求下列矩阵的秩. . 解解: 显然显然 C所有所有的的四四阶子式和五阶子式全阶子式和五阶子式全都等于零都等于零1220230004011223002235000046000000000000C=但存在三阶子式但存在三阶子式 所以所以 ( )3.r=C下页定理定理1 初等变换不改变矩阵的秩初等变换

25、不改变矩阵的秩. . 定义定义3 满足下面两个条件的矩阵称为满足下面两个条件的矩阵称为行行阶梯形矩阵阶梯形矩阵，简，简称称阶梯形矩阵阶梯形矩阵： （1 1）若有零行，）若有零行，零行都在非零行的下方零行都在非零行的下方( (元素全为零的行元素全为零的行称为零行，否则称为非零行称为零行，否则称为非零行) )； （2 2）从第一行起，下面每一行）从第一行起，下面每一行从从左向右第一个非零元素左向右第一个非零元素前面零的个数逐行增加前面零的个数逐行增加. . 如如000022003121100001210032210下页6.2 6.2 初等变换求矩阵的秩初等变换求矩阵的秩 定理定理2 任何一个秩为任

26、何一个秩为r 的矩阵的矩阵A=(aij) mn都可以通过初等都可以通过初等行变换化为行阶梯形矩阵行变换化为行阶梯形矩阵Br，且，且Br的非零行数为的非零行数为r. 即即 结论：结论：行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵Br的非零行的个数，即为矩阵的非零行的个数，即为矩阵A的秩的秩. . 111122121*0*000000000000rnrnrrr rrnbccbccABbcc+ =初等行变换下页例例3. 求矩阵求矩阵 -=22321200111203220011A的秩的秩. . 下页21314121100211002230210502311002000001232203320rrrrrrA-+-= -3

27、23435110021100205023050210332000316 59 50000000000rrrr- 所以，所以， r(A)=3. . 解：解：对矩阵作初等行变换，将其化成行阶梯形矩阵对矩阵作初等行变换，将其化成行阶梯形矩阵下页例例4. 设方阵设方阵 -=132120211A判断判断A是否可逆是否可逆. 解法解法1: 因为因为 05132120211|=-=A, 所以，所以，A满秩满秩(可逆可逆). 解法解法2: 用初等行变换将用初等行变换将A化成行阶梯形矩阵，得化成行阶梯形矩阵，得 3231122112112112021021021231013005 2rrrr- - -所以所以r(A)=3，A满秩，故满秩，故A可逆可逆. 下页作业： 84页页 15 (1) 17 结束